东北师大附中2018级(2021届)高三年级第三次摸底考试(数学)学科试题及答案

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东北师大附中2018级
高三年级第三次摸底考试数学（理）学科试题
注意：本试卷共150分，考试时间120分钟.
xy2
4.若x,y满足约束条件x1，则zyx的取值范围是
y2
A.1,0

B.1,2

C.0,1

D.0,2

第Ⅰ卷
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一．．．项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.．
1.已知集合AxR|x1|2}，BxRx22x30}，则AA.3,12.复数z

B.1,3

C.1,1

5.已知等差数列an的前n项和为Sn，且S918，a71，则a1A.4
B.2C.

2
1
D.12


6.已知抛物线C:y8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的
B=
一个交点．若FP4FQ，则|QF|
D.,33,
A.
2
,则|z|1i
75
B.3C.D.2
22
7.函数f(x2x2lnx的单调递减区间是A.(,
A.1B.2C.2D.22
3.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1m22.5lgE2lgE1．其中星等为mi的星的亮度为Eii1,2．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是(当x较小时，10x12.3x2.7x2A.1.22
B.1.24
C.1.26
D.1.28
111111
B.(,C.(0,D.,,
222222
8.若函数f(xsin(xA.

6
(0在区间(0,1上有最大值，则的取值范围为
22
,B.0,33
525
,,C.D.333
9.关于直线m,n与平面,，有以下四个命题：
①若m//,n//且//，则m//n；②若m,n且，则mn；③若m,n//且//，则mn；④若m//,n且，则m//n；其中真命题的序号是
A.①②B.③④C.①④D.②③
1/7


10.若0xy1，则
A.2x3y1B.(x(y1C.logx3logy40D.logy4logx30
11.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，点E,F分别在A1D,AC上，
1313
16.设点P在曲线ya(ae上，点Q在曲线ylogax上，若|PQ|min
x
22
，则a的e
D1
取值范围是________.
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）
C1B1
21
且A1EA1D，AFAC，则EF与C1D1所成角的余弦值为
3336A.B.96
36C.D.
33
ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，设(ab(sinAsinB(c3bsinC.（1）求A；
（2）若a2，且sinB,sinA,sinC成等差数列，求ABC的面积．
A1
E

D
FA

CB


x2y2
12.已知双曲线C:221(a0,b0的左右焦点分别为F1,F2，O为坐标原点，点M为
ab
双曲线右支上一点，若F11F22OM，MF2F


18.（本小题满分12分）
某市为进一步改善市内交通状况，准备修建一条新的地铁线路，为了调查市民对沿线地铁站配置方案的满意度，现对居民按年龄（单位：岁）进行问卷调查，从某小区年龄在[15,65]内的居民中随机抽取100人，将获得的数据按照年龄区间[15,25,[25,35,[35,45,[45,55,[55,65]分成5组，同时对这100人的意见情况进行统计得到频率分布表．经统计，在这100人中，共有65人赞同目前的地铁站配置方案．
分组持赞同意见的人数占本组的比例

3
，则双曲线C的离心率的取值范围为
A.(1,31]B.[3,31]C.[31,33D.[31,
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上.13.若向量a与b的夹角为60，b4，(a2b(a3b72，则a________.14.若cos(x
[15,25
15
a
0.6
[25,35[35,45
b0.80.8

1
，则sin2x________.43
82012
15.已知数列{an}满足log3an1log3an1(nN*，且a2a4a69，则
[45,55[55,65]
log3(a5a7a9＝________.
0.6
2/7


（1）求a和b的值；
（2）在这100人中，按分层抽样的方法从年龄在区间[25,35，[35,45内的居民（包括持反对意见者）中随机抽取6人进一步征询意见，再从这6人中随机抽取3人参加市里的座谈，记抽取参加座谈的3人中年龄在[25,35的人数为X，求X的分布列和数学期望．
19.（本小题满分12分）
如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB//CD，BCCD1，AB2．PBC是等边三角形，平面PBC⊥平面ABCD，点M在棱PC上．（1）当M为棱PC中点时，求证：APBM；P（2）是否存在点M使得二面角DMBC的余弦值为若存在，求CM的长；若不存在，请说明理由．

20.（本小题满分12分）
21.（本小题满分12分）已知函数f(x
1
xalnx．x
（1）若a2，证明：当x1,时，f(x0；（2）若f(x存在两个极值点x1,x2（x1x2）且a
5
，求f(x1f(x2的最大值．2

请在22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.
x23cosθ,
xOy在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方
y2sinθ
x3tcosα,
程为（t为参数）．
y1tsinα
3
，4
M
D
C
B
（1）求C和l的直角坐标方程；
A
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(3,1，求l的倾斜角．
23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.
设函数f(x4|2xa||2x1|．
（1）当a2时，求不等式f(xx的解集；
x2y26
已知椭圆C:221(ab0的离心率为，短轴长为2，O为坐标原点．
ab3
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l与椭圆C交于A,B不同两点，线段AB中点在圆xy1上，求AOB面积
2
2
（2）若f(x2，求a的取值范围．

的最大值．
3/7



第三次摸底考试数学（理）答案
1-12BCCDABCADDCA

则X的分布列为
XP

115
235
315
7e
13.614.15.516.[e,
9
17.解：（1）由题意，
(ab(sinAsinB(c3bsinC，
(ab(aba2b2c23bc，即b2c2a23bc，
1233110
2X的数学期望是E(X
5555
19.证明：（1）连结AC，由题意，底面ABCD是等腰梯形且AB2,BCCD1，则
b2c2a23bc3
，在ABC中，A(0,，AcosA
62bc2bc2
（2）
ABC

3
,由余弦定理知AC3,AC2BC2AB2,ACB

2
,ACBC.
a2，且sinB,sinA,sinC成等差数列，由正弦定理得bc2a4，
平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC平面ABCDBC,AC平面PBC，
b2c2a2(bc22bca2162bc43
又由（1）知A，cosA
2bc2bc2bc26
bc12(23，ABC的面积SABC

BM平面PBC,ACBM,M为棱PC中点,且PBC是等边三角形，BMPC,
又
PCACC,BM平面APC，APBM.
bcsinA12(231
3(23222
（2）假设存在点M使得二面角DMBC的余弦值为由题意过点P作POBC交BC于点O,
3
.4
18.解：（1）由题意，8152012a65，a10。
平面PBC⊥平面ABCD,
8152012a10
65，即10252520100，b0.50.80.60.80.6bb
（2）年龄在区间[25,35的居民共有20人，年龄在区间[35,45的居民共有10人，按分层抽样抽取6人，则共有4人年龄在[25,35内。则X的可能取值为1,2,3
122130
C4C2C4C2123C4C24141
,P(X13,P(X2P(X333
C6205C6205C6205
PO平面ABCD,取AB中点E,连结OE,则OE//CA,由（1）知OE平面PBC,
所以以O为原点，以OC,OE,OP所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角
Oxyz.O(0,0,0,P(0,0,
3113
,C(,0,0,B(,0,0,D(1,,0,2222
1t3
,0,t.22
z
P
坐标系
x
M
设CMtCP(0t1，则M(
DA
E
C
O

4/7

y
B

33t133
,0DM(,,t，DB(,
22222
设平面DMB的一个法向量为a(x,y,z，则
由
ykxm222
3k1x6kmx3m30，，得22
x3y3

6km3m23
则x1x2，x1x2，2
14k23k1
aDM
1t33
xytz0222
36k2m212(m21(3k2112(3k21m20
t2t233
aDBxy0，令x3，则y3，za(3,3,
22tt
易知平面MBC的一个法向量为b(0,1,0，则
3km3k2mm
所以x02，y0kx0m2，m2
3k13k13k1
2m3km3k122
2,2xy1将2代入，得，m23k13k19k1

2
|cosa,b|
ab|a||b|

3t22
39(
t

33t22t2
，4，2，则(4ttt22
12(
t
(3k21272k2(3k21
此时12(3k1m12[3k1]022
9k19k1
2
2
2
即t
222
，CM|CM||CP|333
1222c622
，得ca，ba1，a23
33a3
又因为AB1k2
2
x1x24x1x21k2
2322
，3k1m2
3k1
20.解:（1）由题意知e
原点到直线l的距离d
m1k
2
，
2x
椭圆C的标准方程为y21.
3
所以SAOB
m123
1k223k21m223k11k2
（2）当直线l的斜率不存在时，令x1，得y
12666
，SAOB1，
2333

3m3k1
2
3
3k1m
2
2
3k21
22
9k213k21(3k13k219k21
当直线l的斜率存在时，设直线l方程为ykxm(k0，Ax1,y1，Bx2,y2，弦中点
3(3k216|k|k2(3k21k2(3k21
3232222222
9k1(9k1(3k16k
Dx0,y0，
5/7


32k2(3k21(3k21212k2(3k2136k4
32
1
3k2136k2k2
3k21
1232
1
3k2136k2
32124

3
22k23k21
12
3k2136k2当且仅当k23k2
1，即6k23k2
1时，即k33
时取等号.综上，AOB面积的最大值为
32
.法二：S1AOB
2m1k2
1k2233k213k21m23m
2
2
33k21m2m233k213k1m23k212

当且仅当3k212m2时，即3k21时，即k
3
3
时取等号.综上，AOB面积的最大值为
32
.21.解:（1）当x1,时，lnx0，故当a2时,f(x
1
x
x2lnx,所以只需证g(x
1
x
x2lnx0即可.12x22x1(x12
因g(xx21xx2=x2
0.

所以g(x在(0,为单调递减函数
而g(1=0，所以当x1,时，有g(x0,即当x1,时，f(x0成立.
（2）f(x的定义域为(0,，f(x1ax2ax1
x21xx
2
.所以当a
5
2
时，x2ax1=0有两个正根x1,x2，即f(x存在两个极值点.由于f(x的两个极值点x1,x2满足方程x2ax10所以x11x21，x1x2a，则有x1
xa5
，由x11x2，解得0x1122
f(x1f(x2
1xx1
1alnx1x2alnx21x2

x2x1xxxx
2x1aln1x2(x2x1(x2x1ln11x22x22(
1xx1
12(x1lnx11x1
令h(x2(1x2(1xlnx,0x1xx
2
.那么h(x2(
1x212(11x2lnx2(x1x1x,0x12
.2(1
1
x2
lnx6/7

11
当0x时，h(x2(12lnx0
2x
所以h(x在0,上是增函数，所以h(x的最大值为h(35ln2
23.解：
11

4x5,x1,
1
（1）当a2时，f(x1,1x,

2
2
即f(x1f(x2的最大值为35ln2
22.解：（1）曲线C的直角坐标方程为x2y2
124
1．
当cos0时，l的直角坐标方程为ytanx13tan，当cos0时，l的直角坐标方程为x
3．
（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程
(12sin2t22(3cos3sint90．①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(3,1在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则
t1t20．
又由①得t1tcos3sin
2
2(312sin2

，故3cos3sin0，于是直线l的斜率ktan
3
3
，于是直线l的倾斜角是56。


7/7


2
4x3,x12
.可得f(xx的解集为{x|
53x35
}．（2）f(x2等价于|2xa||2x1|2．即是|x
a2||x1
2
|1而|x
a2||x12||a11
22|，且当x2
时等号成立．故f(x2等价于|
a21
2
|1．由|a1|2可得a3或a1，所以a的取值范围是(,3][1,．

东北师大附中2018级(2021届)高三年级第三次摸底考试(数学)学科试题及答案

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