2021年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案(完整版)

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2021年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（完整版）
（竞赛时间：3月2日上午9:00--11:00）
一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分） 以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．若a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，则a20132014bc2015的值为【 】
（A）2013 （B）2014 （C）2015 （D）0 【答】D．

解：最大的负整数是－1，∴a=－1； 绝对值最小的有理数是0，∴b=0； 倒数等于它本身的自然数是1，∴c=1. 2013（1）2014012015=0. ∴a20132014bc2015=xyz5，2. 已知实数x,y,z满足则代数式4x4z1的值是【 】
4xy2z2.（A）3 （B）3 （C） 7 （D）7 【答】A．
解：两式相减得3x-3z-3，则4x4z13.
3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1 中的线段MN在图2中的对应线段是【 】
（A）a （B）b （C）c （D）d


daMN图1图2bc


【答】C．
（第3题图）
BAadMcbN解：将图1中的平面图折成正方体，MN和线段c重合.不妨设图1中完整的正ABMN图1图2方形为完整面，△AMN和△ABM所在的面为组合面，则△AMN和△ABM所在的面为两个相邻的组合面，比较图2，首先确定B点，所以线段d与AM重合，MN与线段c重合. 4. 已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，则下列7个代数式ab，b24ac，其值为正的式子的个数为【 】 bc，2ab中，abc，abc，ac，（A）2yy个 （B）3O1xABOx（第5题图）
个 （C）4个 （D）4-1（第4题图）
个以上



【答】C．
解：由图象可得：a0，b0，c0，∴ab0，ac0，bc0. 抛物线与x轴有两个交点，∴b24ac0.当x=1时，y0，即abc0. 当x=1时，y0，即abc0.从图象可得，抛物线对称轴在直线x=1的左边，即个. 5. 如图，Rt△OAB的顶点O与坐标原点重合，∠AOB=90°，AO=2BO，当A点在反比例函数y （x>0）的图象上移动时，B点坐标满足的函数解析式为【 】

b1，∴2ab0.因此7个代数式中，其值为正的式子的个数为42a1x
（A）y11 （x<0） （B）y（x<0）

4x8x11（C）y （x<0） （D）y（x<0）
2xx 【答】B．
解：如图，分别过点A,B分别做y轴的垂线AN,BM，那么ANO∽OMB，则SANOOA2(4.SOMBOB111SANOONAN,SOMB.2281OMBM，故y1. 44x
6．如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC=DB=1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为【 】
（A）1 （B）2 （C）3 （D）6

【答】B．
解：设KH中点为S，连接PE、ES、SF、PF、PS，可证明四边形PESF为平行四边形，
∴G为PS的中点, 即在点P运动过程中，G始终为PS的中点，所以G的运行轨迹为△CSD的中位线, ∵CD=AB－AC－BD=6－1－1=4，∴点G移动的路径长为4=2.
二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）
327．已知x2，化简2x3(x9得 . 212KQSAMCPDBENGRHF【答】3x-6．
解：∵x2，∴2x30，x90， 原式=2x3x93x6. 8. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率3225
为 .
【答】6．
25解：设口袋中蓝色玻璃球有x个，依题意，得所以P（摸出一个红色玻璃球）=66. 691025x2，即x=10，69x5x2x114，则x221= . 9. 若xx【答】8．
x2x114，∴x3. 解：∵xx则(x29，即x2
1x112x18. 7.∴x2x210．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，将Rt△OAB绕O点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，则AB扫过的面积为 .

ABCDO

（第10题图）
【答】．
解：∵Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，


∴AO=CO=23，BO=DO=4，
∴阴影部分面积=S扇形OBDS△AOBS扇形OACS△COD=S扇形OBDS扇形OAC
904290(232 ==. 36036011．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上时，CA1=
.
【答】221．

解：过A1作A1M⊥BC，垂足为M，设CM=A1M=x，则BM=4－x，
在Rt△A1BM中，
A1M2A1B2BM29(4x2，
AEA1DB（第11题图）C∴9(4x2=x2，∴x =A1M=22，
2∴在等腰Rt△A1CM中，C A1=221.
12．已知a、b、c、d是四个不同的整数，且满足a+b+c+d =5，若m是关于x的方程（x－a）（x－b）（x－c）（x－d）=2014中大于a、b、c、d的一个整数根，则m的值为
. 【答】20．
解：∵（m－a）（m－b）（m－c）（m－d）=2014，且a、b、c、d是四个不同的整数，由于m是大于a、b、c、d的一个整数根，∴（m－a）、（m－b）、（m－c）、（m－d）是四个不同的正整数. ∵2014=1×2×19×53，

∴（m－a）+（m－b）+（m－c）+（m－d）=1+2+19+53=75. 又∵a+b+c+d =5，∴m =20. 三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分）
13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？
解：设购买小笔记本x本，大笔记本y本，钢笔z支， 则有5x7y10z346，y2z. 易知0＜x≤69，0＜y≤49，0＜z≤34, ……………………………………4分
∴5x14z10z346，5x24z346，即x34624z. 5∵x，y，z均为正整数，34624z≥0，即0＜z≤14 ∴z只能取14，9和4. …………………………………………………8分
34624z=2，y2z=28. xyz44. 534624z②当z为9时， x=26，y2z=18. xyz53. 534624z③当z为4时， x=50，y2z=8. xyz62. 5①当z为14时， x综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支. ……………………………………………………………………14分
14.如图，在矩形ABCD中，AD=8，直线DE交直线AB于点E，交直
线BC于F，AE=6. （1）若点P是边AD上的一个动点（不与点A、D重合），PHDE于H,设DP为x,四边形AEHP的面积为y,试求y与x的函数解析式； （2）若AE=2EB. ①求圆心在直线BC上，且与直线DE、AB都相切的⊙O的半径长；
②圆心在直线BC上，且与直线DE及矩形ABCD的某一边所在直线都相切的圆共有多少个？（直接写出满足条件的圆的个数即可.）


14、解：（1）在RtAED中，AE6,AD8,ED10.
PHDEAD90,PDHEDA,PHDEAD.xDHPH43.DHx,PHx. 1086556ySAEDSPHD24x2.25…………………………………………………………5分
（2）①

AD//BC,EBF∽EAD. EF3BF. 1068EF5,BF4.………………………7分
若⊙O1与直线DE、AB都相切，且圆心O1在AB的左侧，过点O1作O1G1DF于G1，则可设O1G1O1Br1.
111SEO1FSEBO1SEBF,r15r13342223r1.…………………10分
2. 解得若⊙O2与直线DE、AB都相切，且圆心O2在AB的右侧，过点O2作O2G2DF于G2，则可设O2G2O2Br2.
11FO2DCDFO2G2.22
11(4r2（63）（105）r2.22SFO2D解得r26.
即满足条件的圆的半径为6.…………………………………………13分

②632或个.………………………………………………………………………………………16分


15. 如图1，等腰梯形OABC的底边OC在x轴上，AB∥OC，O为坐标原点，OA = AB =BC，∠AOC=60°，连接OB，点P为线段OB上一个动点，点E为边OC中点.

（1）连接PA、PE，求证：PA=PE；
（2）连接PC，若PC+PE=23，试求AB的最大值；
（3）在（2）在条件下，当AB取最大值时，如图2，点M坐标为（0，－1），点D为线段OC上一个动点，当D点从O点向C点移动时，直线MD与梯形另一边交点为N，设D点横坐标为m，当△MNC为钝角三角形时，求m的范围.




解：（1）证明：如图1，连接AE. yABPOECx图1yABODCxM图2
OAAB,AOBABO.AB//OC,ABOBOC.AOC60,AOBBOC30.OBC90.E为OC的中点，OC2BC2OA.OAE为等边三角形.OB垂直平分线段AE.PAPE.
…………………………………………………………5分


(2∵PC+PE=23，∴PC+PA=23. 显然有OB=AC≤PC+PA=23.……………7分
在Rt△BOC中,设AB=OA=BC=x，则OC=2x，OB=3x， ∴3x≤23，∴x≤2. 即AB的最大值为2. …………………………10分 (3 当AB取最大值时，AB=OA=BC=2，OC=4. 分三种情况讨论：


①当N点在OA上时，如图2，若CN⊥MN时，此时线段OA上N点下方的点（不包括N、O）均满足△MNC为钝角三角形. 过N作NF⊥x轴，垂足为F，
∵A点坐标为（1，3），∴ 可设N点坐标为（a，3a），则DF=a－m，NF=3a，FC=4－a. ∵△OMD∽△FND∽△FCN，ODOMDFNF. NFFC

∴mam3a. 14a3a解得，m14分
43431，即当0<m<43431时，△MNC为钝角三角形；…②当N点在AB上时，不能满足△MNC为钝角三角形；………………15分

③当N点在BC上时，如图3，若CN⊥MN时，此时BC上N点下方的点（不包括N、C）均满足△MNC为钝角三角形. OBBC,CNMN,MN//OB.ODMBOC30. OM1,ODm3.∴当3<m<4时，△MNC为钝角三角形. 综上所述，当0<m<18分

43431或3<m<4时，△MNC为钝角三角形. …

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