历年初中数学竞赛真题库(含答案)

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1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题

第一试
一、选择题
本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．
． 设等式a(xaa(yaxaay在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不3x2xyy222xxyy同的实数，则的值是 15（A）3 ； （B）3； （C）2； （D）3． 答（ ）
． 如图，AB‖EF‖CD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是 （A） 10； （B）12； （C） 16； （D）18． 答（ ）
x2x10． 方程的解是
15152（A）2； （B）；
15151522（C）2或； （D）．
答（ ）
111x(1991n1991n2n(x1x，的值是 2． 已知：（n是自然数）．那么11（Ａ）1991； （Ｂ）1991；
nn1（Ｃ）(11991； （Ｄ）(11991．
答（ ）
n1239910012M，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则． 若Ｍ
（Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ）
． 若a，c，d是整数，b是正整数，且满足abc，bcd，cda，那么 abcd的最大值是
（Ａ）1；（Ｂ）5；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ）
． 如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是S11，S23，那么，正方形OPQR的边长是
（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ）
和
S31S11
S23
S3=1


． 在锐角ΔABC中，AC1，ABc，A60，ΔABC的外接圆半径R≤1，则
11（Ａ）2< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤2；
答（ ）
（C）c > 2； （D）c = 2． 答（ ） 二、填空题
１．Ｅ是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果ΔBEG的面积是１，则平行四边形ABCD的面积是 ．
2２．已知关于x的一元二次方程axbxc0没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，2b3ca ．

(x1m(x1p1nxxq恒成立，则 3．设m，n，p，q为非负数，且对一切x >０，(m22np2q ．
135120４．四边形ABCD中，∠ ABC，∠BCD，AB6，BC53，
CD = 6，则AD = ．

120
135




第二试
xx + y， x － y， x y， y
四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）．
二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且 BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．
求证：BF＝AF＋CF

2三、将正方形ABCD分割为 n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．






1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
一.选择题
本题共有8个题,每小题都给出了(A, (B, (C, (D四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. abab11.满足的非负整数(a,b的个数是 (A1; (B2; (C3;
(D4. 22x0axbxc0(a0b4ac与平方式2.若是一元二次方程的根,则判别式M(2ax0b2的关系是
(A>M (B=M (C>M; (D不确定. 244x13x10xx3.若,则的个位数字是 (A1; (B3; (C5; (D7. 答( 4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为
(A7; (B6; (C5; (D4. 答( 5.如图,正比例函数yx和yax(a0的图像与反比例函数k(k0x的图像分别相交于A点和C点.若RtAOB和积分别为S1和S2,则S1与S2的关系是 y
COD的面

答( 6.在一个由88个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S1,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和(AS1S2 (BS1S2 (CS1S2 (D不确定
S1记为S2,则S2的整数部分是
(A0; (B1; (C2; (D3. 答(

A60,又E7.如图,在等腰梯形ABCD中, AB//CD, AB=2CD, 是底边AB上一点,且FE=FB=AC, FA=AB. 则AE:EB等于 (A1:2 (B1:3 (C2:5 (D3:10 答( x,x,x,,x98.设123均为正整数,且 x1x2x9x1x2x9220xx2x3x4x5xx1,,则当1的值最大时,9的最小值是
(A8; (B9; (C10; (D11. 答( 二.填空题
1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于________________. 1x2x41x4x2.若x0,则的最大值是__________. C90,A和B的平分线相交于P点，又PEAB于E点，若ABC3.在中,BC2,AC3，则AEEB . 111ba0(3(3b4.若a,b都是正实数，且abab，则a . 第二试
一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x6xa0的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围. 二、如图，在ABC中，ABAC,D是底边BC上一点，E是线段AD上一点，且BED2CEDA. 求证：BD2CD.

三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：
A：320651 B：105263 C：612305 D：316250 已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个数字的位置与M
2

和N相同.试求：M和N.
1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
一.选择题
本题共有8个小题,每小题都给出了(A, (B, (C, (D四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. 12621.多项式xx1除以x1的余式是 (A1; (B-1; (Cx1; (Dx1; 2.对于命题
Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形. Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (AⅠ,Ⅱ都对 (BⅠ对,Ⅱ错 (CⅠ错,Ⅱ对. (DⅠ,Ⅱ都错. yx1x13.设x是实数,.下列四个结论: Ⅰ.y没有最小值; Ⅱ.只有一个x使y取到最小值; Ⅲ.有有限多个x(不止一个使y取到最大值; Ⅳ.有无穷多个x使y取到最小值. 其中正确的是
(AⅠ (BⅡ (CⅢ (DⅣ
x,x,x,x,x4.实数12345满足方程组 x1x2x3a1;xxxa;2342x3x4x5a3;xxxa;5144x5x1x2a5.
a,a,a,a,aaa2a3a4a5x,x,x,x,x其中12345是实常数,且1,则12345的大小顺序是
xx2x3x4x5xx2x1x3x5(A1; (B4; xx1x4x2x5xx3x1x4x2(C3; (D5. 2x1(x13x7的整数解的个解 5.不等式(A等于4 (B小于4 (C大于5 (D等于5 6.在ABC中,A是钝角,O是垂心,AOBC, 则cos(OBCOCB的值是
22(A2 (B2
31(C2 (D2. 答( 7.锐角三角ABC的三边是a, b, c,它的外心到三边的距离分那么m:n:p等于
111::(Aabc; (Ba:b:c

别为m, n, p,

(CcosA:cosB:cosC (DsinA:sinB:sinC. 答( 42133(3331999可以化简成
8.3333(213(21 (C321 (D321 (A; (B答( 3二.填空题
1. 当x变化时,分式的最小值是___________. 2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球. 22(x1(x4k有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k3.若方程=____________. 4.锐角三角形ABC中,A30.以BC边为直径作圆,与AB, AC连接DE, 把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC,设它们的S1, S2,则S1:S2=___________. 分别交于D, E,面积分别为3x26x5122xx1第二试
一.设H是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况下SS底边BC的距离变小,这时乘积ABCHBC的值变小,变大,还是不的结论. 二.ABC中, BC=5, AC=12, AB=13, 在边AB ,AC上分别取点D, 让顶点A至变?证明你E, 使线段DE将ABC分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE的最小长度. 22,x2,且x1x20,xbxc0及xcxb0分别各有两个整数根x1,x2及x1三.已知方程x20. x10,x20; (1求证:x10,x20,x1(2求证:b1≤c≤b1; (3求b,c所有可能的值.






1994年全国初中数学联赛试题
第一试
(4月3日上午8：30—9：30
考生注意：本试共两道大题，满分80分.
一、选择题（本题满分48分，每小题6分）
本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.

〔答〕(
2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,z A．都不小于0 B．都不大于0 C．至少有一个小0于 D．至少有一个大于0 〔答〕(
3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长
A．等于4 B．等于5 C．等于6 D．不能确定 〔答〕(
A．1 B．-1

C．22001
D．-22001



〔答〕(
5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角
A．4对 B．8对 C．12对 D．16对 〔答〕(

〔答〕(

7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。若BC=a,AC=b,AB=c,则AH·AD+BH·BE+CH·CF的值是
〔答〕(

A．1001 B．1001,3989 C．1001,1996 D．1001,1996,3989 二、填空题（本题满分32分，每小题8分） 各小题只要求在所给横线上直接填写结果.
〔答〕(


3．在△ABC中，设AD是高，BE是角平分线，若BC=6，CA=7，AB=8，则DE=______. 4．把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于______.

第二试

(4月3日上午10：00—11：30
考生注意：本试共三道大题，满分60分. 一、（本题满分20分）

如图所示，在△ABC中，AB=AC.任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ.求证：△ABC的外心O与A,P,Q四点共圆。




思路一：△OCP≌△OAQ→→∠CPO=∠AQO→→OAPQ四点共圆（视角定理.） 思路二： △PAO≌△QBO→→∠OPA=∠AQO→→OAPQ四点共圆（视角定理.）

连接OB、OA。
∠OBA=∠OAB=∠OAC ∴∠PAO=∠QBO PA=QB AO=BO ∴△PAO≌△QBO ∠OPA=∠AQO
所以O与A，P,Q,四点同园



二、（本题满分20分）
周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？
三、（本题满分20分）
某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n(n=0,1,2,……,15个题的人数的一个统计.
n 0 1 2 3 …… 12 13 14 15 做对n个题的人数 7 8 10 21 …… 15 6 3 1

如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了多少人？ 1994年全国初中数学联赛参考答案

第一试答案 一、选择题；
小题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B B D C B C
二、填空题：


第二试提示及答案.
一、连结OA，OC，OP，OQ.证明△OCP≌△OAQ，于是 ∠CPO=∠AQO，所以O，A，P，Q四点共圆.

三、这个表至少统计了200人.






1995年全国初中数学联赛试题
第一试
一、选择题
1．已知a＝355,b＝444,c＝533,则有［ ] A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b

A．1 B．2 C．3 D．4
3．如果方程(x－1(x2－2x－m＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是

4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为 ［ ]
A．62π B．63π C．64π D．65π
5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则 [ ]
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定
6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b｜＜｜a－|a＋b｜｜，则[ ] A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0 C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0 二、填空题
1．在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。





4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2＝AC·BC，则∠CAB＝______．

第二试

一、已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）求证F为△CDE的内心。



二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数
理由。


三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。





























































































































































２００１年全国初中数学联合竞赛试题及答案










２００２年全国初中数学联合竞赛试题及答案











历年初中数学竞赛真题库(含答案)

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