历年初中数学竞赛真题库含答案

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1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题

第一试
一、选择题
本题共有8个小题,每小题都给出了(ABCD)四个答案结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.
1. 设等式a(xaa(yaxaay在实数范围内成立,其中axy3x2xyy2两两不同的实数,则2的值是
2xxyy15A3 B C2 D
33答(
2. 如图,ABEFCD,已知AB=20CD=80BC=100,那么EF的值是 A 10 B12 C 16 D18 答(
3. 方程x2x10的解是
A1515 B 22151515 D 222C答(
1nnx(19911991n是自然数)已知:.那么(x1x2n,的值是
2
1
14.

(A)19911 (B)19911 (C)(1n1991 (D)(1n19911 答(
5. 1239910012nM,其中为自然数,n为使得等式成立的最大的自然数,则
(A)能被2整除,但不能被3整除; (B)能被3整除,但不能被2整除; (C)能被4整除,但不能被3整除; (D)不能被3整除,也不能被2整除. 答(
6. acd是整数,b是正整数,且满足abcbcdcda,那么
abcd的最大值是
(A)1(B)5(C)0(D)1. 答(
7. 如图,正方形OPQR内接于ΔABC已知ΔAORΔBOP和ΔCRQ的面积分别是S11S23S31,那么,正方形OPQR的边长是
(A)2(B)3(C)2 (D)3 答(

8. 在锐角ΔABC中,AC1ABcA60,ΔABC的外接圆半径R1,则
11(A)< c < 2 (B)0< c
22答(

Cc > 2 Dc = 2 答( 二、填空题
1.是平行四边形ABCDBC边的中点,AE交对角线BDG,如果ΔBEG的面积是1,则平行四边形ABCD的面积是
2.已知关于x的一元二次方程ax2bxc0没有实数解.甲由于看错了二次项系数,误求得两根为2和4;乙由于看错了某一项系数的符号,误求得两根为-1和4,那么,2b3c
a

(x1m(x1p13.设mnpq为非负数,且对一切x >0,恒成立,则 xnxq(m22np2q
4.四边形ABCD中,∠ ABC135,∠BCD120AB6BC53
CD = 6,则AD =

第二试
x + y x y x y
x
y四个数中的三个又相同的数值,求出所有具有这样性质的数对(x , y

二、ΔABC中,ABACBCD点在BC上,E点在BA的延长线上,且
BDBEAC,ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点(如图)
求证:BFAFCF

三、将正方形ABCD分割为 n2个相等的小方格(n是自然数),把相对的顶点AC染成红色,把BD染成蓝色,其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色.证明:恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数.



1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
.选择题
本题共有8个题,每小题都给出了(A, (B, (C, (D四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.
1.满足abab1的非负整数(a,b的个数是
(A1; (B2; (C3; (D4.
2.x0是一元二次方程ax2bxc0(a0的根,则判别式b24ac与平方式M(2ax0b2的关系是
(A>M (B=M (C>M; (D不确定.

3.x213x10,x4x4的个位数字是
(A1; (B3; (C5; (D7. (
4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为
(A7; (B6; (C5; (D4. (
5.如图,正比例函数yxyax(a0的图像与反比例函k(k0的图像分别相交于A点和C.RtAOBxCOD的面积分别为S1S2,S1S2的关系是 y(AS1S2 (BS1S2 (CS1S2 (D不确定








(
6.在一个由88个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S1,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S2,S1的整数部分是 S2(A0; (B1; (C2; (D3. (

7.,ABCD, AB//CD, AB=2CD, A60,E是底边AB上一点,FE=FB=AC, FA=AB.
AE:EB等于

(A1:2 (B1:3 (C2:5 (D3:10 (
8.x1,x2,x3,,x9均为正整数,
x1x2x9,x1x2x9220,则当x1x2x3x4x5的值最大时,x9x1的最小值是
(A8; (B9; (C10; (D11. ( .填空题
1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于________________.
1x2x41x42.x0,的最大值是__________.
x3.ABC,C90,AB线PPEABEBC2,AC3,则AEEB .
4.a,b都是正实数,且111ba0,则(3(3 . ababab第二试
一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x26xa0的两根,当这样的三角形只有一个时,求a的取值范围.
二、如图,在ABC中,ABAC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点,且BED2CEDA.
求证:BD2CD.




三、某个信封上的两个邮政编码MN均由012356这六个不同数字组成,现有四个编码如下:
A320651 C612305



B105263 D316250
已知编码ABCD各恰有两个数字的位置与MN相同.D恰有三个数字的位置与MN相同.试求:MN.
1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
.选择题
本题共有8个小题,每小题都给出了(A, (B, (C, (D四个结论,其中只有一个是正确的.把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.
1.多项式x12x61除以x21的余式是
(A1; (B-1; (Cx1; (Dx1; 2.对于命题
.内角相等的圆内接五边形是正五边形. .内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A,Ⅱ都对 (BⅠ对,Ⅱ错 (CⅠ错,Ⅱ对. (D,Ⅱ都错. 3.x是实数,yx1x1.下列四个结论: .y没有最小值; .只有一个x使y取到最小值;
.有有限多个x(不止一个使y取到最大值; .有无穷多个x使y取到最小值. 其中正确的是
(A (B (C (D 4.实数x1,x2,x3,x4,x5满足方程组
x1x2x3a1;xxxa;2342x3x4x5a3; xxxa;5144x5x1x2a5.其中a1,a2,a3,a4,a5是实常数,a1a2a3a4a5,x1,x2,x3,x4,x5的大小顺序是 (Ax1x2x3x4x5; (Bx4x2x1x3x5; (Cx3x1x4x2x5; (Dx5x3x1x4x2. 5.不等式x1(x123x7的整数解的个解
(A等于4 (B小于4 (C大于5 (D等于5 6.ABC,A是钝角,O是垂心,AOBC, cos(OBCOCB的值是
(A22 (B 22(C31 (D. 22(

7.锐角三角ABC的三边是a, b, c,它的外心到三边的距离分别p,那么m:n:p等于
111(A::; (Ba:b:c abcm, n, (CcosA:cosB:cosC (DsinA:sinB:sinC. (
432311可以化简成 9998.33(3(A33(321; (B33(321 (C321 (D321 (
.填空题
3x26x51. x变化时,分式12的最小值是___________.
xx122.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.
3.若方程(x21(x24k有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,k=____________.
4.锐角三角形ABC,A30.BC边为直径作圆,AB, ACD, E,连接DE, 把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC,设它积分别为S1, S2,S1:S2=___________.
第二试
.H是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小,这时乘积SABCSHBC的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.

.ABC, BC=5, AC=12, AB=13, 在边AB ,AC上分别取点D, E, 使线段DEABC成面积相等的两部分.试求这样的线段DE的最小长度.
,x2,.x2bxc0x2cxb0x1,x2x1x20. x1x20,x10,x20; (1求证:x10,x20,x1(2求证:b1cb1; (3b,c所有可能的值.



1994年全国初中数学联赛试题
第一试
(43日上午830930
考生注意:本试共两道大题,满分80.
一、选择题(本题满分48分,每小题6分)

本题共有8个小题都给出了ABCD,四个结论,其中只有一个是正确的,请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内,每小题选对得6分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内),一律得0.
〔答〕(
2.设a,b,c是不全相等的任意实数,若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,x,y,z A.都不小于0 B.都不大于0
C.至少有一个小0 D.至少有一个大于0 〔答〕(
3如图1所示,半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上,且与其余三边BCCDDA相切,若BC=2DA=3,则AB的长
A.等于4 B.等于5 C.等于6 D.不能确定 〔答〕(


A1 B-1 C22001 D-22001 (
5.若平行直线EFMN与相交直线ABCD相交成如图2所示的图形,则共得同旁内角
A4 B8 C12 D16 〔答〕(

〔答〕(


7.设锐角三角形ABC的三条高ADBECF相交于H。若BC=a,AC=b,AB=c,AH·AD+BH·BE+CH·CF的值是
〔答〕(

A1001 B1001,3989
C1001,1996 D1001,1996,3989 〔答〕( 二、填空题(本题满分32分,每小题8分) 各小题只要求在所给横线上直接填写结果.


3在△ABC中,AD是高,BE是角平分线,BC=6CA=7AB=8DE=______. 4.把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上,使它们两两外切,若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住,则这个大圆形纸片的最小半径等于______. 第二试

(43日上午10001130
考生注意:本试共三道大题,满分60. 一、(本题满分20分)

如图所示,在△ABC中,AB=AC.任意延长CAP,再延长ABQ,使AP=BQ.求证:△ABC的外心OA,P,Q四点共圆。

思路一:△OCP≌△OAQ→→∠CPO=AQO→→OAPQ四点共圆(视角定理. 思路二: PAO≌△QBO→→∠OPA=∠AQO→→OAPQ四点共圆(视角定理.

连接OBOA ∠OBA=∠OAB=∠OAC ∴∠PAO=∠QBO PA=QB AO=BO ∴△PAO≌△QBO ∠OPA=∠AQO
所以OAP,Q,四点同园



二、(本题满分20分)
周长为6,面积为整数的直角三角形是否存在?若不存在,请给出证明;若存在,请证明共有几个?
三、(本题满分20分)
某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n(n=0,1,2,……,15个题的人数的一个统计.
n 0 1 2 3 ……
12 13 14 15

做对n个题的人数 7 8 10 21 ……

15 6 3 1
如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题,做对10个题10个题以下的学生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了多少人? 1994年全国初中数学联赛参考答案

第一试答案 一、选择题;
小题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B B D C B C
二、填空题:


第二试提示及答案.
一、连结OAOCOPOQ.证明△OCP≌△OAQ,于是 CPO=AQO,所以OAPQ四点共圆.

三、这个表至少统计了200.






1995年全国初中数学联赛试题
第一试
一、选择题
1.已知a355,b444,c533,则有[ ] Aabc
Bcba Ccab Dacb

A1 B2 C3 D4
3.如果方程(x1(x22xm0的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么实数m的取值范围是


4.如果边长顺次为25395260的四边形内接于一圆,那么此圆的周长为 ]
A62π B63π C64π D65π
5.设AB是⊙O的一条弦,CD是⊙O的直径,且与弦AB相交,记M=|SCABS

[ DAB|,N2SOAB,则
]
AMN BMN CMN DMN的大小关系不确定 6.设实数ab满足不等式||a|-(ab|<|a|ab||,则[ ] Aa0b0 Ba0b0 Ca0b0 Da0b0 二、填空题
1.在122232…,95295个数中,十位数字为奇数的数共有____个。


4以线段AB为直径作一个半圆,圆心为OC是半圆周上的点,OC2AC·BC则∠CAB______ 第二试

一、已知∠ACE=∠CDE90°,点BCE上,CACBCD,经ACD三点的圆交ABF(如图)求证F为△CDE的内心。




二、在坐标平面上,纵坐标与横坐标都是整数
理由


三、试证:每个大于6的自然数n,都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。









































































历年初中数学竞赛真题库含答案

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