2019年重庆市初中数学竞赛试题

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2019年重庆市初中数学竞赛试题
一、选择题：（32分）
1.从1到120的自然数中,能被3整除或被5整除的数共有( (A64个. (B48个. (C56个. (D46个. 2.已知x2y135,则的值为( xyzzx2yz331(A1 (B (C- (D
2243.设方程2x2+ax－2=0的两根之差的绝对值为,则a等于( (A3 (B－5 (C±3 (D±5. 4.一轮船逆水航行30公里需3小时,如果把航速每小时提高5公里,则逆水航行30公里需( 小时. 213(A2 (B2 (C2 (D1
3245.如图1,从一个2×3的矩形中,挖去一个直径是1的圆, 下面4个数中最接近阴影部分的面积是( (A4 (B4.5 (C5
(D5.5 6.三进位制数201可用十进位制数表示为2×32+0×31+1=19;二进位制数1011可用十进位制数表示为 1×23+0×22+1×21+1=11。前者按3的降幂排列，后者按2的降幂排列。现有三进位制数a=221,二进位制数b=10111,则a与b的大小关系为(

(Aa>b. (Ba=b. (Ca (D不能确定. 7.如图2,梯形ABCD中,AB∥DC,E是AD的中点.有以下4个命题:
00①如果AB+DC=BC,那么∠BEC=90;②如果∠BEC=90,那么AB+DC=BC; 0③如果BE平分∠ABC,那么∠BEC=90;④如果AB+DC=BC,那么CE平分∠DCB. 其中真命题有(

(A1个 (B2个 (C3个 (D4个
8.如图3,直角ΔABC中,∠C=900,AC=CD=BD,DE⊥AB于E, 设AE=a,BE=b,则a等于(
b


(A3∶2 (B4∶3 (C5∶4 (D6∶5. 二、填空：（32分）
1.已知0－1则a、ab、a－b、a+b这四个数中最大的数是_________. 2.n边形的内角和加上一个外角的总和为15000,则n=______. 3.因式分解:4x2－4x－y2+4y－3=__________________________________. 4.今年参加数学竞赛的人数比2000年增加了30%,其中男生增加了20%,女生增加了50%.设今年参加数b学竞赛的总人数为a,其中女生人数为b,则=__________. a5.如图4,已知AG⊥BD,AF⊥CE,BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB。 若BF=2，ED=3，GC=4，则ΔABC的周长为________. 6.如图5,ABCD是正方形,E、F是AB、BC的中点，连结EC交DB、DF于 G、H，则EG∶GH∶HC=___________. 57.关于x的不等式(2a－bx>a－2b的解是x<,则关于x的不等式ax+b<0 2的解是_____________. 8.若a2－3a+1=0,则3a3－8a2+a+3=_______. a12三、（18分）父亲和儿子在100米的跑道上赛跑，已知儿子跑5步的时间父 亲能跑6步，儿子跑7步的距离与父亲跑4步的距离相等。现在儿子站在100 米的中点处，父亲站在100米的起点处同时开始跑,问父亲能否在100米的终 点处超过儿子?并说明理由.




1四、(18分如图6,在ΔABC中,D、E是AC、BC的中点，BF=AB，BD与FC相交于G，连结EG。
3（1）求证：EG∥AC。（2）求SΔBFG∶SΔBEG的值。



五、（20分）一盒录影带可录制2集电视剧加一个小品，或录制2个小品加3首流行歌曲。某同学准备录制7集电视剧、11个小品和20首流行歌曲，他最少需要多少盒录影带？（注：每集电视剧时间相同，每集小品时间相同，每首流行歌曲时间相同，每集小品时间大于每首流行歌曲时间）





参考答案
一、
1.被3整除,每10个中有3个,共有3×12=36个;被5整除,每10个中有2个,共有2×12=24个;除去既能被3整除又能被5整除,即能被15整除的数8个(每15个中有1个,所以选C.(因为36+24－8=56 2.选B.(先用x表示y、z,再代入求值的分式 3.选C. 4.选C.(原来V逆=10,提速后V逆=15 5.选C.[2×3－π(2≈5] 6.选A。三进位制数221化为十进位制数:2×32+2×31+1×30=25. 423+1×22+1×21+1×20=23。 二进位制数10111化为十进位制数:1×2+0×7.选D.(延长BE、CD交于F 8.选A.(设BD=DC=CA=1,由ΔBED∽ΔBCA有b∶2=1∶二、
1.a－b.(取a=0.5,b=－0.5可知
2.n=10.[1500÷180，商8，余60，所以15000=（10－2）×1800+600] 3.(2x+y－3(2x－y+1. 4.因为总人数a人,女生b人,男生(a－b人,所以(a－b×即13b=5a.故b∶a=5∶13. 5.30。提示:先证ΔBDA≌ΔBDG,得BA=BG,AD=DG;同理CA=CF,AE=EF,所以DE是ΔAFG的中位线,FG=6,BA=6+2,CA=6+4. 6.设正方形边长为2,先证ΔBEC≌ΔCFD,进一步有CE⊥DF;由射影定理:CH==. +b×=a×,
222由ΔGEB∽ΔGCD有EG=GC,设EG=x,则GC=2x,(3x=1+2，易得EG∶GH∶HC=5∶4∶6. 7.由题意,有2a－b<0,且=. 化简得b=8a,从而2a－8a<0,即a>0. 将b=8a代入ax+b<0,得ax+8a<0(其中a>0,所以x<－8.


8.由题意,有a2=3a－1,a2+1=3a,a+=3. 2所以,原式=3a(3a－1－8a+a+=a2－2a+=(3a－1－2a+=a+－1=3－1=2. 三、设儿子每分钟跑a步,则父亲每分钟跑a步;设儿子每步b米,则父亲每步b米. 所以,父亲跑100米的时间为100÷(b×a=(分, 儿子跑50米的时间为50÷(ab=(分. 因为
<,所以父亲能在100米的终点处超过儿子. 四、（1）取AF的中点M，连结MD。因D为AC中点，所以DM∥CF，且DM=CF。
因为BF=AB，所以BF=FM，所以BG=GD，因为BE=EC，所以GE∥DC。
（2）因为GE是ΔBDC的中位线，所以，SΔBEG=SΔBDC=SΔABC. SΔBFG=SΔBGA=SΔBAD=所以,SΔBFG∶SΔBEG=2∶3. SΔABC. 五、设每盒录影带长度为s，每个电视剧、小品、歌曲所占录影带的长度分别为a、b、c, 则s=2a+b=2b+3c(b>c,化为a=,c=. 所以,总长w=7a+11b+20c=+11b+=
=9s+(c－b=8s+因为c0. 所以,7s于是: =7s+. 当13c－3b>0时,8s最少需9盒; 当13c－3b≤0时,7s最少需8盒.







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