东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中)2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题(含评分细则

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2020年高三第一次联合模拟考试
理科数学
第Ⅰ卷（选择题共60分）
、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.



1.已知集合AA.(,1(3,B.(,1][3,
x2x
2
1
，B
1则CR(AB(x


C.[3,

D.(,1][1,
z是实数，那么复
z的实部与虚部满足的关系式2.已知复数zabi(a,bR，
i1数为

A.aB.abC.a2b0D.a2b0
，下列命题中正确的是3.已知是两个不同的平面，直线m
（

，则mA.若B.若，则m
∥
C.若m
，则∥
D.若m，则
4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n，如
∥
果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是
1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方
法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取n13，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（）
A.9
5.已知aln3,bA.ba

B.10C.11D.12
log3e,cloge(注
B.cba

：e为自然对数的底
数）
C.bca
，则下列关系正确的是（）
D.abc
c

6.已知在边长为3的等边ABC的中，

1
BDDC，则ADAC=(
2
C.12
D.6
A.6B.9
1


7.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED平面ABCD，FC平面ABCD，
ED2FC2，则四面体ABEF的体积为(
1A.
3
8.已知函数f(x
2B.3
C.1
4D.
3
2
sin2x3cos2x的图像向右平移(0
个单位后，其图像关于
5D.12
A(0,b，直线
x上c
2a
y轴对称，则
A.
12
2
B.
2
6
C.
3
x
y
9.已知椭圆2
b2
1(ab0的右焦点为F(c,0，上顶点为
a
存在一点P满足(FPFAAP0，则椭圆的离心率取值范围为(
1
1
A.[2,12B.[22,151,1C.[521
f(1x，当
D.(0,2]
10.已知定义在R上的函数f(x，满足f(1x[1,时
1x2,x
f(x
x1
2f(2,x
[1,3[3,
，则函数f(x的图像与函数g(x
lnx,x
ln(2x,x1
的图像
在区间[5,7]上所有交点的横坐标之和为(

A.5B.6C.7D.9
11.已知数an列的通项公式为an2n

2，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记
2
n
的前2020项和为
n

bn为数阵从左至右的n列，从上到下的n行共n2个数的和，则数列
b
2


1011A.
2020
12.已知双曲线
2019B.
2020
2
2020C.
20211010D.
2021
y
1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，且312
F1PF2的平分线交x轴于点A，则PA（）
255
B.
F1PF2120，
A.5
C.35
5

5
D.5
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上
13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动
力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的
主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为.
14.已知函数f（x）exaex在［0,1］上不单调，则实数a的取值范围为
2*
.
15.数列an满足a11，an（2Sn1）2Sn2（n2,nN*），则an=
16.已知函数f（x）（x2a）23x21b，当时（从①②③④中选出一个作
.
为条件），函数有.（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可）
1
①a
35
②a③a1,2b022
⑥1个极小值点
⑦6个零点
④a1,9b
2
4
⑧4个零点
2或b0
⑤4个极小值
一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知2bcosC2ac（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若a2，D为AC的中点，且BD3，求c.
18.（本小题满分12分）
如图，三棱柱A1B1C1ABC中，BB1平面ABC，ABBC，AB2，BC1，
3



1
（Ⅱ）F是线段CC1上一点，且直线AF与平面ABB1A1所成角的正弦值为3，求二
3面角F
BA1A的余弦值.
19.（本小题满分12分）
为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A症状：入睡困难；B症状：醒的太早；C症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A症状人数为8.5万，出现B症状人数为9.3万，出现C症状人数为6.5万，其中含
AB症状同时出现1.8万人，AC症状同时出现1万人，BC症状同时出现2万人，ABC症
状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人.
（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？
（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？

失眠


不失眠

合计
患心脑血管疾病



不患心脑血管疾病



合计
参考数据如下：
4


P(K2k0
k0
0.500.4550.053.841
0.400.7080.0255.024
0.251.3230.0106.635
0.152.0720.0057.879
0.102.7060.00110.828
P(K2k0
k0

2
n(adbc2
参考公式：K
(ab(cd(ac(bd
20.(本小题满分12分
1221
已知以动点P为圆心的⊙P与直线l:x相切，与定圆⊙F：(x12y2
相
24外切.
(Ⅰ求动圆圆心P的轨迹方程C；
(Ⅱ过曲线C上位于x轴两侧的点M、N(MN不与x轴垂直分别作直线l的垂线，垂足记为M1、N1，直线l交x轴于点A，记AMM1、AMN、ANN1的面积分别为S1、
S2、S3，且S224S1S3，证明：直线MN过定点.
21.(本小题满分12分
12
已知函数f(x(x1ln(x1-ax2x(aR.
2
(Ⅰ设f(x为函数f(x的导函数，求函数f(x的单调区间；(Ⅱ若函数f(x在(0,上有最大值，求实数a的取值范围.

5


二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
.本题满分10分.
在直角坐标系xOy中，参数方程

xcosysin
（其中为参数）的曲线经过伸缩变换
2x

得到曲线C，以原点O为极
点，y
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D的极
坐标方程为sin（

3102
Ⅰ）求曲线C的普通方程及曲线D的直角坐标方程；
Ⅱ）设M、N分别为曲线C和曲线D上的动点，求MN的最小值.
23.[选修4-5：不等式选将]
设函数f（x）x2x3
（Ⅰ）求不等式f（x）9的解集；
（Ⅱ）过关于x的不等式f（x）3m2有解，求实数m的取值范围
一模答案
、选择题题号12答案BB、填空题
3D
4A
5B
6A
7B
8D
9C
10C
11D
12B
1,n1
13.14.15.an
2n12n3
⑤、③⑦、④⑧均可
216.①⑥、②,n2
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.解析：
（Ⅰ）由正弦定理得2sinBcosC2sinAsinC，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2⋯分⋯
6


又由sinAsin(BCsinBcosCcosBsinC，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.4⋯分⋯得2cosBsinCsinC0，因为0C，所以sinC


0，所以









cosB

1
．因为0B，所以2．

B．

23

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6⋯分⋯

uuuruuuruuur
（Ⅱ）因D为AC的中点，所以
BABC2BD，
为uuu⋯
uuur2uuur2
r所以BC2(2BD2，即a22cac12，⋯⋯
2
因为a2，解方程2c80，得c4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2⋯分c





⋯⋯⋯⋯⋯⋯.8⋯分⋯



⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯0⋯分
18.解析：
(I连结AB1交A1B于O，连结EO,OC1
QOAOB,AEEB,OEDC1
1
BB1，DC1//BB1,2
1
BB1,OE//BB1,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯分⋯2
又

OE//DC1，因此，四边形DEOC1为平行四边形，即ED//OC1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2⋯分⋯QOC1面C1AB,ED面C1AB,DE//平面C1BA1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.5⋯分⋯z
(II建立空间直角坐标系Bxyz，如图过F作FHBB1，连结AH
QBB1面ABC,AB面ABC,ABBB1QABBC,BCIBB1,AB面CBB1C1
QAB面BAA1B1,面BAA1B1面CBB1C1,
QFH面CBB1C1,FHBB1,面BAA1B1I面CBB1C1BB1,FH面BAA1B1
，
即FAH为直线AF与平面ABB1A1所成角，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.7⋯分⋯
11
记为，sin,AF3,
AF3
RtACF5AC2CF2AF2CF29,CF2,
uuuruuur
F(0,2,1,A1(2,3,0,BF(0,2,1,BA1(2,3,0,
在

中，
7


ur设平面BAC1的法向量m（x,y,z），

uruuur
0urBF2ym
uruuur，取y2,m(3,2,4
3y0mBA12x


平面BAA1的法向量n(0,0,1，⋯⋯
urr|4
⋯⋯⋯.1⋯1⋯分
|cosm,n291
4
因此，二面角A的余弦值29.⋯FBA1
29

.1⋯0⋯
分
.1⋯2
分⋯
19.解析：
设出现B症状的人｝、C｛出现C症状的人｝（card表A｛出现A症状的人｝、B示有限集合元素个数）根据数
1可知

cardAIB1.8,cardAIC1,cardBIC2,cardAIBIC0.5，所以
AcardBcardAIBcardAIcardAUBUCcardcardCcardBICcard

=8.5+9.3+6.51.810.5
1.3206.20.51.5⋯⋯.4⋯分⋯
得患病总人数为20万人，比例大约为20%.

.6⋯分⋯

0.5
失眠人数（万）
患病人数（万）不患病人数（万）

不失眠人数（万）
77380
1288100
.9⋯
4
51520

分
2
100573157
k2
12888020
2
4.0013.841.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1⋯分
有95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在“强关联”.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2⋯分
20．解析：
8



1的R1，所以点P到直线x
2
距离与到F1,0的距离相等，故点P的轨迹方程C为y24x..4⋯分

11Ⅱ）设Mx1,y1Nx2,y2，则M1N2,y22,y1

22
设直线MN:xtynt0代入y24x中得y24ty4n0Ⅰ）设Px,y，eP半径为R，则Rx1,PF2
1
⋯

y1y24t,y1y24n0.
QS12x1
y1、x2S34S1S3
x
1
2
x12y1y2
ty1n
2
n12
y1y2
2
1ty


2
1ty1y2n
2
ty1
y
2
n

2
22



2
2
n

1



4nt4t

n
1
2
2

2

2t2n14n

2

又S21
1ny1y21y
12221n22


21121S22n16t2216n4n
2
4222S224S1S38nt24n1t22n


直线MN恒过1
,0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2⋯分2
21．解析：
（Ⅰ）fxlnx1ax

.6⋯分⋯

12
4n
2

4n
.8⋯分
⋯
y2
2
4y1y2


2

t2n.⋯⋯⋯
⋯⋯⋯.1⋯0⋯分


2
1


⋯⋯

nn
12
2.⋯⋯
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
.1⋯1⋯分
9




令hx


fx
lnx1ax，



hx

1x1

a；.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
⋯.1⋯分⋯

o
1当a
0时，hx0，
f'


x

在1,上递增，


无减区间

hx0.⋯⋯⋯⋯0时，令hx


⋯⋯⋯.3⋯分⋯
1
01




o
2当
a
1x，a



令hx


0x
1
1a


所以，f'x在1,1



1上单调递增，在1
1,上单调递减；.⋯⋯⋯aa









⋯⋯⋯.5⋯


分（Ⅱ）
由
（Ⅰ）可知，当a0时，
'fx
在0,上递增，f'x
'f00

x在0,
上递增，无最大值，不合题
意；
2x．
10



所
当x以，
0时，hx2x1ax
1
，则t

2x1ax12at1

1x10．

2ax1

．

4取t21
a

1，且htt

a1ha

又因为h1

00，所以由零

点存在性定理

，存在x0


1
1,t，a
使得

hx0
0；
⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1⋯分
当x0,x0时，hx0，即fx0；当xx0,时，hx0，即fx0；所上单调递上单调递增，在以，fx0,x0减，在0,上有最大值fx0．x0,综1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2⋯分0a
上，
在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2．B．铅．笔．在
答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。本题满分10分
在




选修4-4：坐标系与参数方程
x2cos
22．（Ⅰ）曲线C的参数方程为
（其中为参数），.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2⋯分⋯
o
1当
1xxa1时，h1a1
a0
0，
0,
fx
o
2当

上递减，
上递减，无最大值，不合题
意；


在0,
0a1时


，
110，a
'



由（Ⅰ）可知fx在





0,11上单调
a



递增，在11,a
上单调递
减；
.

⋯.9⋯分⋯
设gx



ln
x1x，则gx


x1xx1,

令g
x0
0x1；令g0x1
单调递增；
g
x在0,1x
上单调递减，在
0，
g
g1即
时，
lnxx1
xx
1
x，即lnx
11
由
此，当
x0ln


ysin
2
因此，曲线C的普通方程为xy21，.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.3⋯分⋯
4
曲线D的极坐标方程为2
（sincos）
310
，
22
因此，曲线D的直角坐标方程为xy350．.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.5⋯分⋯
Ⅱ）设M（2cos,sin），则|MN|的最小值为M到直线xy350的距离为d，
d
|2cossin35||5sin(35|d22
.7⋯分⋯
当sin(1时，.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.8⋯分⋯
|MN|
最小值为10．.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯0⋯分选修4-5：不等式选讲

2x1,x
2


23.解：（Ⅰ）fx
5,2x
3，.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
⋯.
2x1,x
3

当x2时，2x19，解得x4，所以x4；

当2x3时，5
9，解得x
；

2x．
12


当x3时，2x19，解得x5，所以x5，综上所述，不等式fx9的解集为{x|x5或x

4}．
.7⋯分⋯
.5⋯分⋯


ⅡQx2x3x2x35当且仅当x2x3
0即2x3时取等）
.1⋯0⋯分
.8⋯分⋯

3m25m
13


东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中)2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题(含评分细则

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