2019-2020学年吉林省长春市东北师大附中净月校区高一上学期第一次质检数学试题(解析版)

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2019-2020学年吉林省长春市东北师大附中净月校区高一上
学期第一次质检数学试题

一、单选题
1．下列表示正确的是(A．0N【答案】A
【解析】利用元素与集合的关系直接求解．【详解】
在A中，0∈N，故A正确；在B中，
B．
1
Z2
C．3N
D．Q
1
Z，故B错误；2
在C中，﹣3∉N，故C错误；在D中，π∉Q，故D错误．故选：A．【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．函数f(xA．(2,]【答案】C
【解析】根据函数成立的条件即可求出函数定义域．【详解】
要使函数有意义，则2﹣x≥0，即x≤2．
故函数的定义域为(,2]．故选：C．【点睛】
本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．3．设集合
，则
=
2x的定义域是(
B．(2,
C．(,2]
D．(,2
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A．
B．D．


C．
【答案】C
【解析】试题分析：由补集的概念，得【考点】集合的补集运算
【名师点睛】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．
4．函数f(xx22x1的单调递增区间为(A．(1,【答案】C
【解析】判断函数的对称轴以及开口方向，然后求解即可．【详解】
函数f(xx2x1的开口向下，对称轴为x＝1，函数f(xx2x1的单调递增区间是(,1]．故选：C．【点睛】
本题考查二次函数的简单性质的应用，考查计算能力．5．已知集合A{x||x|≥2}，B{x|x23x0}，则AA．
C．{x|x>3或x0}【答案】B
【解析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【详解】
∵A＝{x|x≤﹣2，或x≥2}，B＝{x|x＜0，或x＞3}，∴A∩B＝{x|x≤﹣2，或x＞3}．故选：B．【点睛】
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2
2
，故选C．
B．(1,C．(,1]D．(,1
B(
B．{x|x>3或x?2}D．{x|x>3或x0}

考查描述法的定义，绝对值不等式和一元二次不等式的解法，以及交集的运算．6．以下选项正确的是（）A．ab是a2b2的充分条件C．ab是a2b2的必要条件【答案】B
【解析】若a1,b2，此时ab，但是不满足a2b2，选项A错误；
B．ab是ac2bc2的必要条件D．ab是|a||b|的充要条件
若a2,b1，此时a2b2，但是不满足ab，选项C错误；若a1,b2，此时ab，但是不满足ab，选项D错误；本题选择B选项.
7．下列各式中成立的是(
1
n77
A．nm
m
7
B．12(3433
32
C．xy(xy
3
3
D．
3
9=33
【答案】D
n【解析】由指数的运算法则和根式与分数指数幂的互化，A中应为n7m7；Bm
中等式左侧为正数，右侧为负数；C中x＝y＝1时不成立，排除法即可得答案．【详解】
7
nA中应为n7m7；m
B中等式左侧为正数，右侧为负数；C，x＝y＝1时不成立错误．D中
3
7

9=3333正确；

2323
12
故选：D．【点睛】
本题考查根式与分数指数幂的互化、指数的运算法则，考查运算能力．8．下列四个函数中，在0,上为增函数的是（）．A．fx3x
B．fxx3x
2
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C．fx【答案】C
1x1
D．fxx
【解析】A，B可直接通过一次函数的单调性和二次函数的单调性进行判断；C利用
1
y以及平移的思路去判断；D根据yx的图象的对称性判断.
x
【详解】
A．fx3x在R上是减函数，不符合；B．fxx3x在,
2
33
,上是减函数，在上是增函数，不符合；
22
C．fx函数，符合；
11
可认为是y向左平移一个单位所得，所以在1,上是增x1x
D．fxx图象关于y轴对称，且在,0上是增函数，在0,上是减函数，不符合；故选：C.【点睛】
（1）一次函数ykxbk0、反比例函数y负判断；
（2）二次函数的单调性判断要借助函数的对称轴和开口方向判断；
（3）复杂函数的单调性判断还可以通过平移、翻折等变换以及图象进行判断.9．已知函数fxx2x3，x0,3，则函数fx的最小值为（）
2
k
k0的单调性直接通过k的正x
A．3【答案】B
B．2C．6D．0
【解析】根据函数在给定区间上的单调性可求得最小值．【详解】
由题意得fxx2x3(x12,x0,3，
2
2

∴函数fx在区间0,1上单调递减，在区间1,3上单调递增，∴当x1时，函数fx取得最小值，且fxminf12．故选B．【点睛】
求二次函数在给定区间上的最值时，一般要根据函数图象的开口方向和对称轴与区间的
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关系，运用数形结合的方法求解，考查分析判断能力和数形结合方法的运用．10．已知函数yf(x是定义在R上的奇函数，且满足f(2xf(x0，当
x[2,0]时，f(xx22x，则当x[4,6]时，yf(x的最小值为（）
A．8【答案】B
【解析】根据题意，求得函数fx是以4为周期的周期函数，进而利用x[2,0]时，函数fx的解析式和函数的奇偶性，即可求解[4,6]上的最小值，得到答案．【详解】
由题意知f(2xf(x0，即f(2xf(x，则fx4f[(x22]f(x2fx，所以函数fx是以4为周期的周期函数，
又当x[2,0]时，f(xx22x，且f(x是定义在R上的奇函数，∴x[0,2]时，f(xx22x，
∴当x[4,6]时，f(xf(x4(x422(x4x210x24(x521，所以当x5时，函数f(x的最小值为f(51.故选B．【点睛】
本题主要考查了函数周期性的判定及应用，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数周期性的判定方法，得出函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
二、填空题
11．函数yf(x是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x2x时，f(x__________.【答案】2x
B．1
C．0
D．1
1
1，则当x0x
11x
【解析】根据题意由﹣x＞0及f（﹣x）＝﹣f（x）可求．【详解】
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∵当x＞0时，f(x2x设x＜0则﹣x＞0∴f（﹣x）＝2x
1
1，x
11x
由函数f（x）为奇函数可得﹣f（﹣x）＝f（x）
11x1
故答案为：2x1
x
∴f（x）＝2x【点睛】
本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，解题中要注意函数的定义域是R，不用漏掉对x＝0时的考虑．
x
12．若函数fx25，且fm3，则m．
【答案】3
【解析】试题分析：【考点】函数值.
fm2m53,m3
(a1x1,x1
13．已知函数f(x12在(,上单调递增，则a的取值范围
axax1,x12
是________.【答案】,0
【解析】由分段函数fx在各子区间单调递增，衔接点处满足递增，可得关于a的不等式组，，由此求得实数a的取值范围.【详解】
2
3
a1x1,x1
函数fx12在,上单调递增，
axax1,x12
又函数y
12
axax1的对称轴x01；2
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a1012a0解得a0；
32
1
aa1a112
故答案为[【点睛】
本题考查分段函数单调性，已知分段函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：
（1）若函数在区间[a,b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上都是单调的；（2）在分段函数的衔接点的取值也满足单调性.
2
,0.3
x26x4,x0
14．已知函数fx，若互不相等的实数x1,x2,x3满足
3x4,x0
fx1fx2fx3，则x1x2x3的取值范围是________.
【答案】3,6
x26x4,x0
【解析】作函数fx的图象，从而利用数形结合求解即可．
3x4,x0
【详解】
x26x4,x0
作函数fx的图象，不妨设x1x2x3
3x4,x0
fxx26x4x35，则x2x36，当3x45,x13
2
x13,0,则x1x2x33,6
故答案为：3,6
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【点睛】
本题考查了函数与方程的应用，考查数形结合的思想应用，利用二次函数对称性及寻找临界位置是关键
三、解答题
15．已知函数f(x3x
1
的定义域为集合A，集合x1
B{x|2mx1m}.
（1）当m2时，求A（2）若A
B；
BA，求实数m的取值范围.
【答案】（1）A∪B＝[﹣4，3]；（2）m≤﹣2
【解析】（1）先求出集合A，再将m＝﹣2代入集合B，最后求A∪B；（2）根据集合包含关系可求；【详解】
3x0由题得，故A＝{x|1＜x≤3}，
x10
（1）当m＝﹣2时，B＝{x|﹣4≤m≤3}，所以A∪B＝[﹣4，3]；
2m1m

（2）因为A⊆B，则B≠∅，所以2m1，解得m≤﹣2；
1m3
【点睛】
本题考查集合包含关系的判定，涉及函数定义域，含参数集合的取值判定，属于基本题．16．已知关于x的不等式x22x1a20（1）若a2?时,求不等式的解集
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（2）a为常数时,求不等式的解集
【答案】（1）x3x1；（2）答案见解析。
【解析】（1）结合二次不等式对应的二次函数及二次方程进行求解即可得到所求解集；（2）对参数a进行分类讨论，并结合“三个二次”的关系求解．【详解】
（1）当a2时，不等式为x22x30，即(x1x30，解得3x1．
所以不等式的解集为x3x1．
（2）当a为常数时，由题意得原不等式为x1ax1a0，不等式对应方程的两根为x1a1，x2a1．①当a0时，则a1a1，解得a1xa1；②当a0时，不等式为x22x1x10，解得x1；③当a0时，则a1a1，解得a1xa1．综上可得，当a0时，不等式的解集为xa1xa1；当a0时，不等式的解集为1；
当a0时，不等式的解集为xa1xa1．【点睛】
（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．
（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据不等式的判别式的符号进行分类，最后在根存在的条件下，再根据根的大小进行分类．
2




ax2217．已知函数f(x是奇函数，且f(11.
3xb
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（1）求实数a,b的值；
（2）判断函数f(x在(,2上的单调性，并加以证明.
x22
【答案】（1）a＝1；b＝0（2）函数f（x）在（﹣∞，2）上单调递增；证
3x
明见解析
【解析】（1）运用奇函数的定义，可得b＝0；再由代入法，解方程可得a；
x22（2）函数f（x）在（﹣∞，2上单调递增；运用定义法证明，注意取值、
3x
作差和变形、定符号和下结论．【详解】
ax22
（1）函数fx是奇函数，且f11，
3xb
可得f（﹣x）＝﹣f（x），
ax22ax22即为，
3xb3xb
可得﹣3x+b＝﹣3x﹣b，解得b＝0；又
a2
1，3
解得a＝1；
x22
（2）函数f（x）在（﹣∞，2）上单调递增；
3x
理由：设x1＜x22，则f（x1）﹣f（x2）
2211
（x1）（x2）
x1x332
x1x221
（x1﹣x2）（），
x1x23
由x1＜x22
可得x1﹣x2＜0，x1x2＞2，
则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），则f（x）在（﹣∞，2上单调递增．
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【点睛】
本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查单调性的判断和证明，运用定义法解题是关键，属于中档题．
18．已知函数fxax2ax2a(a0，若fx在区间2,3上有最大值1．
2

（1）求a的值；
（2）若gxfxmx在2,4上单调，求数m的取值范围．【答案】（1）-1；（2）,62,.
【解析】（1）根据函数的开口方向和对称轴，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值是f（2）=1，求出a的值即可；（2）求出f（x）的解析式，求出g（x）的表达式，根据函数的单调性求出m的范围即可．【详解】


1因为函数的图象是抛物线，a0，
所以开口向下，对称轴是直线x1，所以函数fx在2,3单调递减，
所以当x2时，ymaxf22a1，a1

2因为a1，fxx22x1，
所以gxfxmxx2mx1，
2
gx的图象开口向下,对称轴为直线x
2m
，2
gx在2,4上单调，

2m2m
2，或4.22
从而m6，或m2
所以，m的取值范围是,62,.【点睛】
本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题;二次函数在小区间上的单调性，需要讨论二次函数对称轴和区间的位置关系,结合函数图像的特点得到函数的单调性，进而得到最值.
19．已知函数f(xx2bxc(b,cR，且fx0的解集为1,2.

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（1）求函数fx的解析式；（2）设g(x的最小值.
【答案】（1）f(xx3x2；（2）1.
【解析】（1）根据不等式解集,结合不等式与方程的关系,即可求得b、c的值,可得函数解析式.
（2）将fx的解析式代入,求得g(x的解析式.根据奇函数的性质,分类讨论x的不同取值情况,求得g(xmax与g(xmin.根据gx1gx2M即可求得M的最小值.【详解】
（1）因为fx0的解集为1,2
所以x11,x22是方程x2bxc0的两根则由韦达定理可得
2
x
，若对任意的x1,x2R都有gx1gx2M，求M
f(x3x1
123
,
12c
b3
解得c2
所以f(xx3x2（2）g(x
2
xx
2,为R上的奇函数
f(x3x1x1

当x0时,g00当x0时,
1,则函数gx在(0,1]上单调递增,在[1,上单调递减,且x
1
x时,g(x0,在x1时,gx取得最大值,即g(xmaxg(1；
2
x
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g(x
1

1,则函数gx在(,1]上单调递减,在[1,0上单调递减,x
1
且x时,g(x0,在x1时,gx取得最小值,即g(xming(1；
2
当x0时,
g(x
1
x
对于任意的x1,x2R都有gx1gx2M则等价于g(xmaxg(xminM即
11
M22
所以M的最小值为1.【点睛】
本题考查了二次函数解析式的求法,分类讨论思想的综合应用,利用函数单调性求函数的最值,属于中档题.
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