折纸中数学

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《折纸中的数学》
——小课题研究 王炯亮
（1） 课题的背景 折纸起源于中国，而我酷爱折纸，因为折纸又称之为“工艺折纸”，是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动。如今折纸的发展不只是儿童的玩具，也是一种有益身心、开发智力和思维的活动。凭着我对折纸的热爱，在无数次的折纸实践中，我发现其实折纸与数学存在着密不可分的关系，在折纸中用到许多数学知识。
（2） 此小课题的目的 如何将一张平面的纸张通过折叠成有空间概念的模型，比如幸运星、千纸鹤、或是纸飞机等等？这就是需要运用到折纸中最基础的“将一条线N等分”的方法，可是如何将一条直线进行多次等分，比如2、3、4、5、6等分呢？ （3） 研究的内容和步骤
，最后形成的两个 ①二等分 将一张矩形纸进行边对边的对折（即1×½=½）


矩形的面积比为1:1，且是全等图形。
② 三等分 如下图，在一个正方形ABCD的纸中，取对角线BD进行对折； 然后打开后进行左右，边对边对折（AD对BC）；再将纸打开，在长方形EBCF中取对角线EC对折，与BD相交于点G，这时经G点作平行于BC的直线（即，红直线与上纸边AB的交点即3等分点，最后形成的两个长方
下图中红线）形的面积比为2:1 E B A

D O G

F C


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③四等分 在一张矩形的纸中，如何进行四等分呢，最简单的就是把这张纸边对边的对折再对折（½×½=¼），最后形成的两个矩形的面积比为3:1
④五等分 如下图，在一张正方形的纸中，先进行对角线对折，再取其中一个角平分对折再对折，这时取第三条角平分线与左边的交点D，作与上下边的平行线，以此边为界而形成的两个长方形面积比为4:1


⑤六等分 如下图，也是在一张正方形的纸中进行对角线对折再对折，（图二所示）边上所产生的交点与正方形的顶点重合，(在图三交红色边为点Q，经点Q作平行于底边做一折痕，最后形成的两个矩形的面积比为5:1，即六等分。


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（4）研究总结 通过上面系列的等分折法证明，生活中无处不蕴含着数学知识。数学寓于折纸之中，对数学的了解总然会在折纸中增加人的能力和创造力。当折叠纸张的时候，很自然地会出现许多几何的概念和代数概念。诸如：正方形、矩形、直角三角形、全等、对角线、中点、内接、面积、梯形、垂直平分线。在每一次折纸时，用数学的眼光去观察，会发现折纸中包含着许许多多的数学奥秘。折纸凭借着折叠时产生的几何形的连续变化而形成物象。任何一张纸都是个几何图形，折叠后产生新的几何图形，组合后可称为几何体。这中间蕴含着数学、几何、测绘、造型等多学科、综合知识的运用。通过各种几何图形的折叠实践，可以领悟出角等分和边等分是使用最为普遍的方法。也发现了折叠中常见的几种类型：线线重合折叠、点线重合折叠、点点重合折叠、沿对称轴折叠。只有掌握了上面例举的几种方法，才能折出各种各样的纸模型来。而且事实证明，如果没有很好的掌握数学知识，稍有偏差就成不了等分，所折的出来的作品就会不规则，影响效果和美感。所以想做好折纸这项手工艺术活，也必须认真学好数学，研究数学的规律，才会创造出更多的新作品来。通过折纸可启发我们的创造力和逻辑思维，更可促进手脑的协调。折纸还可以丰富我们的生活，使我们的生活变得更加绚烂多彩。




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