2007年河南省专升本真题高数(及答案)

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2007年河南省专升本真题高数(及答案


题号 分数

2007年河南省普通高等学校
选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试 《高等数学》试卷 一 二 三 四 五 六 总分 核分人

一. 单项选择题（每题2分，共计50分）
在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后 面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分. 1.集合的所有子集共有 {3,4,5}（ ）
 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 f(xarcsin(x13x2.函数的定义域为 （ ）
A. [0,3] B. [0,2] C. [2,3] D. [1,3]
3. 当x0时，与x不等价的无穷小量是 ( A.2x B.sinx C.ex1 D.ln(1x 14.当 是函数 的 x0f(xarctanx（ ）
A.连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点
f(12hf(1h5. 设f(x 在x1处可导，且f(11，则lim的值为h0h（ ）
A.-1 B. -2 C. -3 D.-4 6.若函数f(x在区间(a,b内有f(x0,f(x0，则在区间(a,b内，f(x图形 （ ）
A．单调递减且为凸的 B．单调递增且为凸的 C．单调递减且为凹的 D．单调递增且为凹的
7.曲线y1x3的拐点是 （ ） A. (0,1 B. (1,0 C. (0,0 D. (1,1
x228.曲线f(x的水平渐近线是 （ ）
3x22211A. y B. y C. y D. y 33339. limx0x20tantdtx4 （ ）
1 C.2 D. 1 2 10.若函数f(x是g(x的原函数，则下列等式正确的是 （ ）
 A. 0 B.

A.f(xdxg(xC B. g(xdxf(xC C.g(xdxf(xC D. f(xdxg(xC 11.cos(13xdx （ ）
11A.sin(13xC B. sin(13xC 33C. sin(13xC D. 3sin(13xC
12. 设y(t1(t3dt，则y(0 （ ）
0x A.-3 B.-1 C.1 D.3 13. 下列广义积分收敛的是 （ ）
dxdx A. B. 11xxdx1dxC. D. 10xxxx114. 对不定积分2dx，下列计算结果错误是 sinxcos2x（ ）
1 A. tanxcotxC B. tanxC
tanxC. cotxtanxC D. cot2xC
yx215. 函数在区间[1,3]的平均值为 （ ）
2613A. B. C. 8 D. 4 3316. 过Oz轴及点(3,2,4的平面方程为 （ ） A. 3x2y0 B. 2yz0 C. 2x3y0 D. 2xz0
x2z2117. 双曲线3绕z轴旋转所成的曲面方程为 4y0（ ）
x2y2z2x2y2z21 B. 1 A. 3434(xy2z2x2(yz21 D. 1 C. 34343xy9 18.lim（ ）
x0xyy0 A. 11 B. C.0 D. 极限不存在 66



的坐标为 ________ 30.设f(xe2x1，则 f(2007(0_________ x3t1dy__________ 31.设，则2dxt1y2tt132. 若函数f(xax2bx在x1处取得极值2，则a______，b_____ f(xdx _________ 33. f(x34．1x2dx_________ 035.向量a3i4jk的模|a|________ 36. 已知平面1：x2y5z70与平面2：4x3ymz130垂直，则m______ 37.设f(xy,xyx2y2，则f(x,y________ 38.已知I2201dy1y2yf(x,ydx，交换积分次序后，则I_______ 11139.若级数收敛，则级数的和为 _______ uuun1nn1nn140.微分方程y2yy0的通解为________ 得评卷人 分 三、判断题（每小题2分，共10分） 你认为正确的在题后括号内划“√”，反之划“×”. 41.若数列xn单调，则xn必收敛. ( 42.若函数f(x在区间a,b上连续，在(a,b内可导，且f(af(b，则一定不存在，使. (a,bf(0( xsinx由洛比达法则1cosxsinx43.. limlimlim1xxsinxx1cosxxsinx( ln2301e2xdxln244.. 02( 45.函数f(x,y在点P(x,y处可微是f(x,y在P(x,y处连续的充分条件.(
得评卷人
四、计算题（每小题5分，共40分） 分


46．求limxsinx. x0

1xdy的导数. 1xdx48.求不定积分[e2xln(1x]dx. 47.求函数yx2349.计算定积分022cos2xdx . 50.设zf(exsiny,3x2y，且f(u,v为可微函数，求dz. 51．计算x2dxdy，其中D为圆环区域：1x2y24. D2x展开为x的幂级数，并写出收敛区间. 24x 53．求微分方程x2dy(y2xyx2dx0的通解. 得评卷人 分 五、应用题（每题7分，共计14分） 54. 某工厂欲建造一个无盖的长方题污水处理池，设计该池容积为V立方米，底面造价每平方米a元，侧面造价每平方米b元,问长、宽、高各为多少米时，才能使污水处理池的造价最低？
55. 设平面图形D由曲线yex,直线ye及y轴所围成.求： （1）平面图形D的面积;
(2 平面图形D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积.
 得评卷人

六、证明题（6分） 分


56.若f(x在[a,b]上连续，则存在两个常数m与M，对于满足ax1x2b的任意两点x1,x2，证明恒有
m(x2x1f(x2f(x1M(x2x1.
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选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试
(答案
52．将一
1解：子集个数2n238D。
1x112 解： 0x2B。
3x03解：根据常用等价关系知，只有2x与x比较不是等价的。应选A。
114 解：limarctan ；limarctanC。
x0x0x2x25 解f(12hf(1hlimlim[2f(12hf(1h3f(13C 。 h0h0h：

6 解：f(x0单调增加；f(x0凸的。应选B。 7 解：y6x0x0(0,1，应选A 。
x2211yC 。 8 解：limx3x2339 解：limx22xtanx21limB 。
x0x02x44x310 解：根据不定积分与原函数的关系知，g(xdxf(xC。应选B。
0tanxdx11cos(13xd(13xsin(13xCA。 3312 解：y(x1(x3y(03D 。
dx13解：由p积分和q积分的收敛性知，收敛，应选C 。
1xx14解：分析结果，就能知道选择C。
11 解：cos(13xdx15解：1x12 xdxf(xdx216baab333113B。
316解：经过Oz轴的平面可设为AxBy0，把点(3,2,4代入得2x3y0应选C。
也可以把点(3,2,4代入所给的方程验证，且不含z。
x2z2x2y2z22221中x换成xy得1，应选A。 17解：把34343xy9xy11limlimB 。 18解：limx0x0x0xy6xy9xy9y0y0xy(3y0319解：zyxylnx(e,12(e,1elneeC 。
32Fxzz220 解：令Fzyxz1Fxz;Fz2zy3xz，xFz2y3xz3应选A。
1xx232xydxxdy4xdx1C 。 ,x21解：C：从0变到1，2C0yx1122 解：对级数、需要利用积分判别法，超出大纲范围。级2n2n(lnnn2nlnn111数有结论：当时收敛，当时发散。级数、p1p1pnn2n(lnnn23n1n2nn1与级数利用比较判别法的极限形式来确定---发散的，应选C。
n2n1t23解： 令x1t，级数化为n1t收敛区间为(3,3，即
3n03n03x1(3,3x(4,2D。
24解：1i 不是特征方程的特征根，特解应设为ex(C1cosxC2sinx。1nn

应选B。
25解：有f(x0f(x0e2xf(x0e2x0A 。 二
26解：f[f(x1]2(f(x152f(x32(2x534x13 。
002n27解：构造级数，利用比值判别法知它是收敛的，根据收敛级数的必n0n!2n0。 要条件limnn!a;limf(x3a6。
x02x029解：y2x15x2y4M(2,4。 30解：f(n(x2ne2x1 f(2007(022007e1。
dydy4t11。 31解：
dxt1dx332解：f(x2axb02ab0；ab2a2;b4。
f(xdf(xdxln|f(x|C。 33解：f(xf(x1134解：1x2dxS圆。
04435解：|3i4jk|916126。
36解：n1{1,2,5};n2{4,3,m}465m0m2。
28解：limf(x37解：f(xy,xyx2y2(xy22xyf(x,yx22y。
238解：D(x,y|0y,yx1y2
2 222所以(x,y|0x,0yx(x,y|x1,0y1x，22次序交换后为220dxf(x,ydy2dx02x11x20f(x,ydy。
1111111139解：Sn，而uuuuuuuu23n11n112n11lim0，所以SlimSn。 nunu1n140解：有二重特征根1，故通解为yC1exC2xex（C1,C2为任意常数）。 三
41解：如数列n单调，但发散，应为×。 42解：如yx2在1,3满足上述条件，但存在0[1,3]，使得f(0，应为×。
043解：第二步不满足或，是错误的，事实上0

sinxxsinxx1。应为×。 limlimxxsinxxsinx1x1解：因01e2x1，由定积分保序性知：ln2301e2xdxln2ln2，应为√。
0245解：f(x,y在点P(x,y处可微可得f(x,y在点P(x,y处连续，反之不成立，应为应为√。 四
4446解： limxx0sinxlimex0limx0sinxlnxelimx0limsinxlnxsinx~xex0limxlnx
e01。
147解： 两边取自然对数得 ln|y|2ln|x|ln|1x|ln|1x|，----3（1分）
12111 两边对x求导得：y，-------（3分） yx31x1x211即yy，------（4分） x3(x13(x1eex2lnx1xx01x1elimxx0dy1x211。-----（5分） x23dx1xx3(x13(x1148解：[e2xln(1x]dxe2xd(2xln(1xdx ----（1分）
21xe2xxln(1xdx -----（3分） 21x11e2xxln(1x1dx--（4分） 21x1e2xxln(1xxln(1xC。----（5分）
249解：因22cos2x2(1cos2x4cos2x，所以
故 022cos2xdx04cosxdx2|cosx|dx-----（2分）
02 2cosxdx2cosxdx------（4分）2202sinx2sinx224。-----220（5分）
50解：令exsinyu,3x2yv ，有zf(u,v，利用微分的不变性得 dzfu(u,vdufv(u,vdvfud(exsinyfvd(3x2y----（3分）


fu(exsinydxexcosydyfv(6xydx3x2dy------（4分） (exsinyfu6xyfvdx(excosyfu3x2fvdy---（5分） 51解：积分区域D如图07-1所示：D的边界x2y21、x2y24用极坐标表示分别为r1，r2；故积分区域D在极坐标系系下为
y(r,|02,1r2，----（2分）
22r2故x2dxdydr2cos2rdr----（3分） r101Dxo42222r23 cosdrdrcos2d
010411521522 cosd2cos2d---（4分）
图07-1 4080



15215115 (1cos2d(sin2。---（5分）
8082402x111152解： 因；---（2分） 2xx2x2x4x2(12(1221xnx(1,1。 1xn01xxx(2,2；x(2,2。--（3分）所以 xn02xn021122nn1(1nn2x1x1xx(2,2--（4分） 故2n1x2n022n024x2n021nn n0122n1x2n1x(2,2。--（5分）
53解：方程可化为y分）
12xy1，这是一阶线性非齐次微分方程，---（12x112x它对应的齐次方程y2y0的通解为yCx2ex，---（2分）
x设原方程有通解yC(xxe，代入方程得C(xxe1，
1x即 C(x2e，--（3分）
x111x所以 C(x2edxexC，---（4分）
x121x21x故所求方程的通解为yCxex2。---（5分） 五
V54解：设长方体的长、宽分别为x,y ，则高为，又设造价为z，---（1xy分）
21x

由题意可得
V2bV2bVaxy(x0,y0；---（3分） xyyxz2bVz2bV而ax2;在定义域内都有意义. ay2;
yyxx zaxy2b(xy2bVzay022bVxx令得唯一驻点xy3，-----（5分）
z2bVaax0y2y由题可知造价一定在内部存在最小值，故xy32aV取值，此时高为3。
2b2bV就是使造价最小的a2bV2bVaV233所以，排污无盖的长方体的长、宽、高分别为、、时，aa2b工程造价最低。---（7分）
55解：平面图形D如图07-2所示：---（1分）
取x为积分变量，且x[0,1] yexy（1）平面图形D的面积为
1eS(eexdx----（3分）
3


0(exex1。----（4分）
0（2）平面图形D绕y轴旋转一周所生成 旋转体的体积为
Vy2xeedx2exdx2xexdx
000111 o
x1

x11图07-2 1x2 2e2102xdexe2xex2exdx
00011 e2e2exe110(e2。-----（7分）
ee1或Vy(lny2dy(lny2y12lnydy e2lnydye2ylny12dy
11eee e2e2(e1(e2。 六
56证明： 因f(x在[x1,x2]有意义，从而f(x在[x1,x2]上连续且可导，即f(x在[x1,x2]上满足拉格朗日中值定理的条件，-----（2分）
f(x2f(x1f(，----（3分） 故存在(x1,x2，使得
x2x1又因f(x在[a,b]上连续，根据连续函数在闭区间上最值定理知，f(x在

[a,b]上既有最大值又有最小值，不妨设m,M分别是最小值和最大值，从而x(a,b时，有mf(xM。------（5分）
即 mf(x2f(x1xM， 2x1故 m(x2x1f(x2f(x1M(x2x1。---（6分）


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