2007年浙江省高中数学竞赛A卷(参考答案)

发布时间：


2007年浙江省高中数学竞赛Ａ卷（参考答案）4.15
一、选择题
1. 如果f(x1logx2logx29logx364，则使f(x0的x的取值范围为（ ） A. 0x1 B. 1x 解：显然x0，且x1。

88 C. 1x D. x 333x。
8f(x1logx2logx29logx3641logx2logx3logx4logx383x1，即1x；当0x1时，x1，此时无解。 8388由此可得， 使f(x0的x的取值范围为1x。 应选 Ｂ 。
3要使f(x0。当x1时，2.已知集合Axcos2x2(12sinx(2210,xR，Bxsinxcosx,xR，则AB＝ （ ）
A. xx B. Ｒ C. D. x2kx(2k1,k 44 解：cos2x2(12sinx(2210
2 sinx(12sinx20 (sinx2(sinx10
没有实数x可以使上述不等式成立。故A。从而有 AB。 应选 Ｃ。 3. 以1,1,1,2,2,2为六条棱长的四面体个数为 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
解：以这些边为三角形仅有四种：(1,1,1，(1,1,2，(1,2,2，(2,2,2。 固定四面体的一面作为底面：
当底面的三边为(1,1,1时，另外三边的取法只有一种情况，即(2,2,2；
当底面的三边为(1,1,2时，另外三边的取法有两种情形，即(1,2,2，(2,1,2。 其余情形得到的四面体均在上述情形中。由此可知，四面体个数有３个。 应选 Ｂ。 4. 从１至169的自然数中任意取出３个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有（ ）种。

1

A. 89 B. 90 C. 91 D. 92
解：若取出的３个数构成递增等比数列 a,aq,aq，则有1aaqaq169。由此有222q13。当q固定时，使三个数a,aq,aq2为整数的a的个数记作N(q。由aq2169，知N(q应是169169169N(318，N(410，的整数部分。，N(2422232q2N(56,N(64，N(73,N(82,N(92,N(10N(11N(12N(131.
因此，取法共有N(1N(2N(1391。 应选 Ｃ

5. 若在复平面上三个点A(0,B(z0z,C(z0z构成以Ａ为直角顶点的等腰直角三角形，其中12z0i，则△ＡＢＣ的面积为（ ）
33A. 124 B. C. 1 D. 333z0z1i12izz0iz0，z0。 z0z1i3 解：依题意，△ＡＢＣ的面积为11112ABACz0zz0z(1i(1iz0。 应选 Ａ。 22232007重
的末二位数字是 （ ）

20076. 20072007A. 01 B. 07 C. 43 D. 49
解：记Nk200720072007ｋ重 。题目要求N 2007的末二位数。
N20072007N2006(20007N20062000M7N2006
其中Ｍ为正整数。由此可得N2007的末二位数与7数字的变化规律。 n
2 3 43 4 01 5 07 N2006的末二位数字相同。首先来观察7的末二位

n6 49 7 43 8 01 9 07 7n的末二位数字
49 7n的末二位数字的变化是以４为周期的规律循环出现。

2

N2006(2007N2005(50241N2005 （N2005为奇整数）
4M11 （M1为正整数）
4(M113
因此，7N200674(M113与73的末二位数字相同，为43。 应选 Ｃ。
二、填空题
227. 设an为a14的单调递增数列，且满足an1an168(an1an2an1an，则an 。
22解：an1an168(an1an2an1an
2 (an1an8(an1an164an1an
(an1an424an1an an1an42an1an （由题意可知取正号。）
(an1an24an1an2
因此，a公差为２的等差数列，即n an2n。从而可得an4n2。 答案为4n2。38. 设a,b,c为方程xk1xk20的根（k1k21），则1a1b1c 。 1a1b1c3解： 由题意，xk1xk2(xa(xb(xc。由此可得
abc0，abbccak1，abck2以及 1k1k2(1a(1b(1c。
1a1b1c3(abc(abbcca3abc3k13k2。
1k1k21a1b1c(1a(1b(1c答案为：3k13k2。
1k1k29. 设xk,yk(k1,2,3均为非负实数，则2007y1y2y322222x3y3x2y2x12
y12(x1x2x32的最小值为 。
解： 在直角坐标系中，作点O(0,0，A(0,2007，P1(x1x2x3,y1，P2(x2x3,y1y2，P3(x3,y1y2y3。则

3

2Ｉ＝2007y1y2y32222x3y3x2y2x12y12(x1x2x32
＝AP （应用三角不等式） 3＋P2P1＋PO3P2＋P1APAO＝2007。 AP2＋P2P1＋PO1＋PO11如果取AP1P2P3，即x1x2x30,y12007,y2y30，那么Ｉ取到最小值2007。
答案为 2007。
10. 设f(x是定义在Ｒ上的奇函数，且满足f(x2f(x；又当0x1时，f(x则xf(x＝ 。
1x，212解：依题意，f(x4f(x2f(x，即f(x是以４为周期的周期函数。 因为当0x1时，f(x11x，且f(x为奇函数，所以当1x0时，f(xx。 221x1x112此时有 f(x。可得f(1f(3。又因为f(x是以４为周21x11x32期的周期函数，所以也有f(4k111. 设N240121，（k）。 答案为 4k1 （k）。
2，则不超过n1N1的最大整数为 。
n解：
212
n1nnnn112(nn1, nNN112(nn1, nn2N 2(n1nN 2(n1nn1n12(N12(N11n1N112(N1, n12220061,
n2(2200612(N11n1
4

N不超过n11的最大整数为220072。 答案为 220072。
nxyz12. 整数xyz，且2224.625，则整数组(x,y,z为 。
解：方程两边同乘以８，得2x32y32z337。 因为xyz，所以要使左边为奇x3数，只有2z31，即z3。则22y3362x12y19。要使左边为奇数，只有2y11，即y1。从而有 2x18，即x2。故有(x,y,z(2,1,3。 答案为
(2,1,3。
三、解答题
13. 已知抛物线y2xx点。
（１） 求△ＡＢＣ的重心轨迹方程，并表示成yf(x形式；
n31k（２） 若数列xk，0x1，满足xk1f(xk。试证：xk1。
52k12111111和点A(,。过点F(,任作直线，交抛物线于B,C两84848解：（１）设过F(,的直线方程为y立方程组，
141811k(x。又设B(x1,y1，C(x2,y2，联8411yk(x84
1y2x2x8消去y，得2x(k1x2k0。从而有，
411k21k1。 ………… 5分 ，y1y2k(x1x2x1x224242设△ＡＢＣ的重心坐标为(x,y，则
1xx1232k4xx123 211k3yy1y2y8683
5

2消去ｋ，即得 y6x3x。 …………10分 （２）因为0x112，x2f(x16x13x13x1(12x1，所以
232x(12x130x23x1(12x11，
228上式右边等号成立当且仅当x1213。假设0xk，则 48232x(12xk30xk13xk(12xkk， …………15分
228上式右边等号成立当且仅当xk 013。由此得到0xk（k2,3,48）。从而有
xk1nkk1kn33331。 …………20分
5k1885n14. 设正实数a,b,c及非负实数x,y满足条件
a6b6c63,(x12y22
求I111的最小值，并论证之。 3323323322axby2bxcy2cxay2nak2nak1，有 …………5分
解：根据knk1bkbkk1I111
2a3xb3y22b3xc3y22c3xa3y29 ………… 10分 3323323322axby2bxcy2cxay93332666 （(abc3(abc9） 33323332x(abcy(abc

3333 ………… 15分
2xy22x2(x121x2上式取等号当且仅当 abc1,x0,y1。 ………… 20分

6

15. 设M1,2,,65，AM为子集。若A33，且存在x,yA，xy，xy，则称A为“好集”。求最大的aM，使含a的 任意33元子集为好集。
解：令P21ii1,2,,44\2(21ii1,2,,11，P33。
显然对任意1ij44，不存在n3，使得21jn(21i成立。故Ｐ是非好集。 因此 a21。 …………5分 下面证明：包含21的任意一个33元子集Ａ一定为好集。 设Aa1,a2,,a32,21。
若1，3，7，42，63中之一为集合Ａ的元素，显然为好集。 …………10分 现考虑1，3，7，42，63都不属于集合Ａ。构造集合
A12,4,8,16,32,64，A25,10,20,40，A36,12,24,48，A49,18,36，A511,22,44，A613,26,52，A714,28,56，A815,30,60，A917,34 A1019,38，A1123,46，A1225,50，A1327,54，A1429,58，A1531,62， A33,35,37,由上可见，A1,A2,,61,65。 ………… 15分
,A15 每个集合中两个元素都是倍数关系。考虑最不利的情况，即AA，,A15这15个集合也即A中16个元素全部选作Ａ的元素，Ａ中剩下16个元素必须从A1,A2,中选取16个元素。根据抽屉原理，至少有一个集合有两个元素被选，即集合Ａ中至少有两个元素存在倍数关系。
综上所述，包含21的任意一个33元子集Ａ一定为好集，即a的最大值为21。 ……20分


7

2007年浙江省高中数学竞赛A卷(参考答案)

推荐内容

相关推荐