2008年重庆市高考数学试卷(理科)及答案

发布时间：


2008年重庆市高考数学试卷（理科）


一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）复数A．1+2i B．1﹣2i =（ ） C．﹣1 D．3
2．（5分）设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m+n是偶数”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（ ） A．相离
B．相交
C．外切
D．内切
的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ）
D．
4．（5分）已知函数A． B． C．5．（5分）已知随机变量ζ服从正态分布N（3，σ2），则P（ζ＜3）=（ ） A． B． C． D．
6．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（ ）
A．f（x）为奇函数 B．f（x）为偶函数 C．f（x）+1为奇函数 D．f（x）+1为偶函数
7．（5分）若过两点P1（﹣1，2），P2（5，6）的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D． 8．（5分）已知双曲线离心率A．﹣，则双曲线方程为（ ） =1 B．
所成的比λ的值为
的一条渐近线为y=kx（k＞0），

C． D．
9．（5分）如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（ ）

A． B． C．V1＞V2 D．V1＜V2
的值域是（ ）
C．[﹣] D．[﹣]
10．（5分）函数A．[﹣

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
] B．[﹣1，0]
11．（4分）设集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={3，4，5}，C={3，4}，则（A∪B）∩（∁UC）= ． 12．（4分）已知函数f（x）=，点在x=0处连续，则= ．
13．（4分）已知（a＞0），则= ．
14．（4分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12=﹣8，S9=﹣9，则S16= ． 15．（4分）直线l与圆x2+y2+2x﹣4y+a=0（a＜3）相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的方程为 ．
16．（4分）某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同

色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种（用数字作答）．



三、解答题（共6小题，满分76分）
17．（13分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=60°，c=3b．求： （Ⅰ）的值；
（Ⅱ）cotB+cot C的值．
18．（13分）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．求： （Ⅰ）打满3局比赛还未停止的概率；
（Ⅱ）比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望Eξ． 19．（13分）如图，在△ABC中，B=90°，AC=，D、E两点分别在AB、AC上．使，DE=3．现将△ABC沿DE折成直二角角，求
（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；
（Ⅱ）二面角A﹣EC﹣B的大小（用反三角函数表示）．

20．（13分）设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点（﹣1，f（﹣1）） 处的切线垂直于y轴． （Ⅰ）用a分别表示b和c；


（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g（x）=﹣f（x）e﹣x的单调区间．
21．（12分）如图，M（﹣2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：|PM|+|PN|=6．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）若，求点P的坐标．

22．（12分）设各项均为正数的数列{an}满足a1=2，an=（Ⅰ）若a2=，求a3，a4，并猜想a2008的值（不需证明）； （Ⅱ）记bn=a1a2…an（n∈N*），若bn≥2的通项公式．

an+2（n∈N*）．
对n≥2恒成立，求a2的值及数列{bn}


2008年重庆市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析


一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）（2008•重庆）复数A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1 D．3
=（ ）
【分析】利用复数i的幂的运算，化简复数的分母，即可． 【解答】解：故选A．

2．（5分）（2008•重庆）设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m+n是偶数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

【分析】先判断p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【解答】解：m，n均为偶数，则m+n为偶数， 即m，n均为偶数”⇒“m+n是偶数”为真命题
但m+n为偶数推不出m，n为偶数，如m=1，n=1． “m，n均为偶数”是“m+n是偶数”的充分而不必要条件 故选A

3．（5分）（2008•重庆）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（ ） A．相离
B．相交
C．外切
D．内切
【分析】求出半径，求出圆心，看两个圆的圆心距与半径的关系即可．


【解答】解：圆O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1
圆O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2 ∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|
∴两圆的位置关系是相交． 故选 B

4．（5分）（2008•重庆）已知函数则的值为（ ） A． B． C． D．
的最大值为M，最小值为m，【分析】函数问题定义域优先，本题要先确定好自变量的取值范围；然后通过函数的单调性分别确定出m与n即可． 【解答】解：根据题意，对于函数有，

，
所以当x=﹣1时，y取最大值当x=﹣3或1时y取最小值m=2∴故选C．

，

5．（5分）（2008•重庆）已知随机变量ζ服从正态分布N（3，σ2），则P（ζ＜3）=（ ）
A． B． C． D．
【分析】由正态分布的图象规律知，其在x=μ左侧一半的概率为，故得P（ζ＜3）的值．
【解答】解：ζ服从正态分布N（3，σ2），曲线关于x=3对称，，



故选D．

6．（5分）（2008•重庆）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（ ）
A．f（x）为奇函数 B．f（x）为偶函数 C．f（x）+1为奇函数 D．f（x）+1为偶函数
【分析】对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，考察四个选项，本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1进行赋值研究即可
【解答】解：∵对任意x1，x2∈R有 f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1， ∴令x1=x2=0，得f（0）=﹣1
∴令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1， ∴f（x）+1=﹣f（﹣x）﹣1=﹣[f（﹣x）+1]， ∴f（x）+1为奇函数． 故选C

7．（5分）（2008•重庆）若过两点P1（﹣1，2），P2（5，6）的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】本题考查的知识点是线段的定比分点，处理的方法一般是，由定比分点所成的比λ的值为


坐标公式转化为λ==，将已知的点的坐标代入，易得一个方程组，解方程组，即可求解．
【解答】解：由定比分点坐标公式得
λ==
不妨设点P（x，0）， 则故答案选A

8．（5分）（2008•重庆）已知双曲线（k＞0），离心率A．﹣=1 B．，则双曲线方程为（ ）

，
的一条渐近线为y=kxC． D．
【分析】首先由焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，可得=k；然后根据双曲线的离心率e==k，可消去k得a、b、c的关系式；再结合双曲线的性质a2+b2=c2，即可整理出答案．
【解答】解：因为双曲线的一条渐近线为y=kx（k＞0），所以=k， 又，所以c=b，
且有a2+b2=c2，所以a2=4b2，


所以双曲线的方程为故选C．

．
9．（5分）（2008•重庆）如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（ ）

A． B． C．V1＞V2 D．V1＜V2
【分析】根据题意推知小球半径是大球的一半，建立大球体积小球体积和阴影部分的体积的关系，可推知选项．
【解答】解：设大球的半径为R，则小球的半径为：， 由题意可得：V=所以 即：V2＞V1 故选D．

10．（5分）（2008•重庆）函数（ ） A．[﹣] B．[﹣1，0]
C．[﹣] D．[﹣]
的值域是=
＞0
【分析】特殊值法：根据特殊值代入法进行逐一排除．
直接法：由0≤x≤2π，得f（x）≤0，由（3﹣2cosx﹣2sinx）﹣（1﹣sinx）2≥0，

得≥﹣1，由此能求出函数的值域．
【解答】解法一：特殊值法：sinx=0，cosx=1， 则f（x）=，淘汰A，
令当时sinx=﹣1时，同理，令，得，所以矛盾f（x）≠，得cosx=， ，淘汰C，
，
当sinx=1时，cosx=，不满足条件，淘汰D， 故选：B． 解法二：直接法：
∵0≤x≤2π，∴sinx﹣1≤0，∴f（x）≤0，
∵（3﹣2cosx﹣2sinx）﹣（1﹣sinx）2 =2﹣2cosx﹣sin2x =（1﹣cosx）2≥0， ∴≥﹣1，
＞0，
∴函数故选：B．

的值域是[﹣1，0]．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）（2008•重庆）设集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={3，4，5}，

C={3，4}，则（A∪B）∩（∁UC）= {2，5} ．
【分析】先求出（A∪B）和（CUC），再求它们的交集即可． 【解答】解：∵A∪B={2，3，4，5）， 又∁UC={1，2，5}
∴（A∪B）∩（∁UC）={2，5} 故填{2，5}．

12．（4分）（2008•重庆）已知函数f（x）=，点在x=0处连续，则= ．
【分析】由函数f（x）=在点x=0处连续，可得，解可得a=3．由此能求出【解答】解：（2x+3）=的值．
=3，
f（0）=a点在x=0处连续， 所以即a=3，
故故答案为：．

13．（4分）（2008•重庆）已知（a＞0），则= 3 ．
． ，
【分析】将已知的等式两边同时进行次乘方，得到a的值，再把a的值代入要求的式子，利用对数的运算性质计算结果．


【解答】解：已知（a＞0），
∴故答案为 3．

，
14．（4分）（2008•重庆）设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12=﹣8，S9=﹣9，则S16= ﹣72 ．
【分析】根据等差数列的性质，a1+a9=2a5，结合题意，由S9可得a5的值，而由等差数列的性质有a1+a16=a5+a12，将S16=（a1+a16）×16中的（a1+a16）用 （a5+a12）代换并计算可得答案．
【解答】解：S9=（a1+a9）×9=﹣9，又有a1+a9=2a5， 可得，a5=﹣1，
由等差数列的性质可得，a1+a16=a5+a12，
则S16=（a1+a16）×16=（a5+a12）×16=﹣72．

15．（4分）（2008•重庆）直线l与圆x2+y2+2x﹣4y+a=0（a＜3）相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的方程为 x﹣y+1=0 ．
【分析】求出圆心的坐标，再求出弦中点与圆心连线的斜率，然后再求出弦所在直线的斜率，由点斜式写出其方程，化为一般式． 【解答】解：由已知，圆心O（﹣1，2），
设直线l的斜率为k，弦AB的中点为P（0，1），PO的斜率为kop，则﹣1
∵l⊥PO，∴k•kop=k•（﹣1）=﹣1∴k=1 由点斜式得直线AB的方程为：y=x+1 故答案为：x﹣y+1=0

16．（4分）（2008•重庆）某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要=

在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 216 种（用数字作答）．

【分析】由题意知分3步进行，为A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A43种选法；在A1、B1、C1中选一个装第4种颜色的灯泡，有3种情况；为剩下的两个灯选颜色，假设剩下的为B1、C1，若B1与A同色，则C1只能选B点颜色；若B1与C同色，则C1有A、B处两种颜色可选．故为B1、C1选灯泡共有3种选法，即剩下的两个灯有3种情况，根据计数原理得到结果．
【解答】解：每种颜色的灯泡都至少用一个，即用了四种颜色的灯进行安装，分3步进行，
第一步，A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A43种选法；
第二步，在A1、B1、C1中选一个装第4种颜色的灯泡，有3种情况；
第三步，为剩下的两个灯选颜色，假设剩下的为B1、C1，若B1与A同色，则C1只能选B点颜色；
若B1与C同色，则C1有A、B处两种颜色可选．
故为B1、C1选灯泡共有3种选法，得到剩下的两个灯有3种情况， 则共有A43×3×3=216种方法． 故答案为：216

三、解答题（共6小题，满分76分）
17．（13分）（2008•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=60°，c=3b．求： （Ⅰ）的值；
（Ⅱ）cotB+cot C的值．
【分析】（Ⅰ）先根据余弦定理求得a，b和c的关系式，再利用c=3b消去b，进而可得答案．


（Ⅱ）对原式进行化简整理得求得结果．
【解答】解：（Ⅰ）由由正弦定理和（Ⅰ）的结论余．
弦定理得∴（Ⅱ）．
，
由正弦定理和（Ⅰ）的结论得．
故

．
18．（13分）（2008•重庆）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．求： （Ⅰ）打满3局比赛还未停止的概率；
（Ⅱ）比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望Eξ．
【分析】（1）打满3局比赛还未停止即在三局比赛中没有人连胜两局，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可．
（2）ξ的所有可能值为2，3，4，5，6，分别求出ξ取每一个值的概率，列出分布列即可．
【解答】解：令Ak，Bk，Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜．
（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比
赛还未停止的概率为（Ⅱ）ξ的所有可能值为2，3，4，5，6，且．
，

．．，，
故有分布列 ξ P 从而

19．（13分）（2008•重庆）如图，在△ABC中，B=90°，AC=在AB、AC上．使，D、E两点分别2

3

4

5

6

（局）．
，DE=3．现将△ABC沿DE折成直二角角，求
（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；
（Ⅱ）二面角A﹣EC﹣B的大小（用反三角函数表示）．

【分析】（1）先依据公垂线的定义，证明DB为异面直线AD与BC的公垂线，再求DB之长，注意到它是AB长的倍，故先求出AB的长即可；
（2）过D作DF⊥CE，交CE的延长线于F，先证得∠AFD为二面角A﹣BC﹣B的平面角，再利用直角三角形中的边角关系求出其正切值即得． 【解答】解：（Ⅰ）在图1中，因，故BE∥BC．又因B=90°，从而AD⊥

DE．
在图2中，因A﹣DE﹣B是直二面角，AD⊥DE，故AD⊥底面DBCE， 从而AD⊥DB．而DB⊥BC，故DB为异面直线AD与BC的公垂线． 下求DB之长．在图1中，由又已知DE=3，从而．
（Ⅱ）在第图2中，过D作DF⊥CE，交CE的延长线于F，连接AF．由（1）知， AD⊥底面DBCE，由三垂线定理知AF⊥FC，故∠AFD为二面角A﹣BC﹣B的平面 角．在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE，因此在．从而在Rt△DFE中，DE=3，．
，
．
．，得
．因因此所求二面角A﹣EC﹣B的大小为arctan．

20．（13分）（2008•重庆）设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点（﹣1，f（﹣1）） 处的切线垂直于y轴． （Ⅰ）用a分别表示b和c；
（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g（x）=﹣f（x）e﹣x的单调区间．
【分析】（Ⅰ）把（0，2a+3）代入到f（x）的解析式中得到c与a的解析式，解出c；求出f'（x），因为在点（﹣1，f（﹣1））处的切线垂直于y轴，得到切线的斜率为0，即f′（﹣1）=0，代入导函数得到b与a的关系式，解出b即可．


（Ⅱ）把第一问中的b与c代入bc中化简可得bc是关于a的二次函数，根据二次函数求最值的方法求出bc的最小值并求出此时的a、b和c的值，代入f（x）中得到函数的解析式，根据求导法则求出g（x）的导函数，将f′（x）和f（x）代入即可得到g′（x），然后令g′（x）=0求出x的值，利用x的值分区间讨论g′（x）的正负即可得到g（x）的增减区间．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ax2+bx+c得到f'（x）=2ax+b． 因为曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），故f（0）=c=2a+3，
又曲线y=f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线垂直于y轴，故f'（﹣1）=0， 即﹣2a+b=0，因此b=2a． （Ⅱ）由（Ⅰ）得故当此时有从而﹣）e﹣x，
所以g′（x）=[f（x）﹣f′（x）]e﹣x=﹣（x2﹣4）e﹣x． 令g'（x）=0，解得x1=﹣2，x2=2．
当x∈（﹣∞，﹣2）时，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（﹣∞，﹣2）上为减函数；
当x∈（﹣2，2）时，g'（x）＞0，故g（x）在x∈（﹣2，2）上为增函数． 当x∈（2，+∞）时，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（2，+∞）上为减函数． 由此可见，函数g（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）；单调递增区间为（﹣2，2）．

21．（12分）（2008•重庆）如图，M（﹣2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：|PM|+|PN|=6． （Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）若，求点P的坐标．
时，bc取得最小值﹣．
．
，g（x）=﹣f（x）e﹣x=（x2+x，



【分析】（1）先根据题意求出a，b，c的值，再代入到椭圆方程的标准形式中，可得到答案． （2）先将转化为|PM|•|PN|cosMPN=|PM|•|PN|﹣2的形式，再由余弦定理得到|MN|2=|PM|2+|PN|2﹣2|PM|•|PN|cosMPN，二者联立后再由点P在椭圆方程上可得到最后答案．
【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆．
因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴b=所以椭圆的方程为
，
．
（Ⅱ）由，得|PM|•|PN|cosMPN=|PM|•|PN|﹣2．①
因为cosMPN≠1，P不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形． 在△PMN中，|MN|=4，由余弦定理有|MN|2=|PM|2+|PN|2﹣2|PM|•|PN|cosMPN．②
将①代入②，得42=|PM|2+|PN|2﹣2（|PM|•|PN|﹣2）． 故点P在以M、N为焦点，实轴长为由（Ⅰ）知，点P的坐标又满足的双曲线，
上．
所以由方程组解得
即P点坐标为．
或




22．（12分）（2008•重庆）设各项均为正数的数列{an}满足a1=2，an=（n∈N*）．
（Ⅰ）若a2=，求a3，a4，并猜想a2008的值（不需证明）； （Ⅱ）记bn=a1a2…an（n∈N*），若bn≥2的通项公式．
【分析】（Ⅰ）由题意可知的通项为an=2（﹣2）n﹣1（n∈N*）．
（Ⅱ）令xn=log2an，Sn表示xn的前n项和，则bn=2Sn．由题设知x1=1且；的值及数列{bn}的通项公式．
【解答】解：（Ⅰ）因a1=2，a2=2﹣2，故
an+2对n≥2恒成立，求a2的值及数列{bn}，由此可猜想|an|．由此入手能够求出a2，
由此有a1=2（﹣2）0，a2=2（﹣2）2，a3=2（﹣2）2，a4=2（﹣2）3，、 故猜想|an|的通项为an=2（﹣2）n﹣1（n∈N*）．
（Ⅱ）令xn=log2an，Sn表示xn的前n项和，则bn=2Sn． 由题设知x1=1且．②
因②式对n=2成立，有下用反证法证明：由①得．
．
．③
；①
因此数列|xn+1+2xn|是首项为x2+2，公比为的等比数列．


故．④
又由①知，
因此是是首项为，公比为﹣2的等比数列，
所以．⑤
由④﹣⑤得．⑥
对n求和得．⑦由题设．
．
即不等式22k+1＜
对k∈N*恒成立．但这是不可能的，矛盾． 因此x2≤，结合③式知x2=，因此a2=2*2=．
将x2=代入⑦式得 Sn=2﹣（n∈N*），
所以bn==（n∈N*）



知

2008年重庆市高考数学试卷(理科)及答案

推荐内容

相关推荐