【精品】高考数学试题重庆文

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高考数学试题重庆文
2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆文）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合U{1,2,3,4,5,6,7}，A{2,4,5,7}，B{3,4,5}，则(A(B
（A）{1,6}（B）{4,5}（C）{2,3,4,5,7}（D）{1,2,3,6,7}
（2）在等差数列an中，若an0且a3a764，a5的值为
（A）2（B）4（C）6（D）8
（3）以点（2，－1）为圆心且与直线3x4y50相切的圆的方程为
（A）(x2(y13（B）(x2(y13 （C）(x2(y19（D）(x2(y13
（4）若P是平面外一点，则下列命题正确的是
（A）过P只能作一条直线与平面相交（B）过P可作无数条直线与平面垂直 （C）过P只能作一条直线与平面平行（D）过P可作无数条直线与平面平行 （5）2x3的展开式中x的系数为
2222222225（A）－2160（B）－1080（C）1080（D）2160 （6）设函数yf(x的反函数为yf必过
（A）(,1（B）(1,（C）(1,0（D）(0,1
（7）某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是 （A）2（B）3（C）5（D）13 （8）已知三点A(2,3,B(1,1,C(6,k，其中k为常数。若ABAC，则AB与AC的夹角为 （A）arccos(11(x，且yf(2x1的图像过点(,1，则yf1(x的图像2121224242424（B）或arccos（C）arccos（D）或arccos 2525252522（9）高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两1 / 7
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个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 （A）1800（B）3600（C）4320（D）5040 31,sin(，则cos(的值等于
222223311（A）（B）（C）（D）
2222x2y291上三个不同的点，则（11）设A(x1,y1,B(4,,C(x2,y2是右焦点为F的椭圆2595“AF,BF,CF成等差数列”是“x1x28”的
（10）若,(0,，cos(（A）充要条件（B）必要不充分条件（C）充分不必要条件（D）既非充分也非必要 （12）若a,b,c0且a2ab2ac4bc12，则abc的最小值是
（A）23（B）3（C）2（D）3
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共24分。把答案填写在答题卡相应位置上。
225，，则tan。 52（14）在数列{an}中，若a11，an1an2(n1，则该数列的通项an。
（13）已知sin2（15）设a0,a1，函数f(xloga(x2x3有最小值，则不等式loga(x102 / 7
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的解集为。
x2y30（16）已知变量x，y满足约束条件x3y30。若目标函数zaxy（其中a0）仅在点(3,0y10处取得最大值，则a的取值范围为。
三．解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分13分）
甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为111、、。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。求： 632（Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率； （Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率； （18）（本小题满分13分）
2设函数f(x3cosxsinxcosxa（其中0,aR）。且f(x的图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是（Ⅰ）求的值；
。
6（Ⅱ）如果f(x在区间[325,]上的最小值为3，求a的值； 36（19）（本小题满分12分）
设函数f(xx3ax3bx的图像与直线12xy10相切于点(1,11。 （Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）讨论函数f(x的单调性。 （20）（本小题满分12分）
如图，在增四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB1,BB131，E为BB1 上使B1E1的点。平面AEC1交DD1于F，交A1D1的延长线于G，求： （Ⅰ）异面直线AD与C1G所成角的大小； （Ⅱ）二面角AC1GA1的正切值； （21）（本小题满分12分）
2xb已知定义域为R的函数f(xx1是奇函数。
2a（Ⅰ）求a,b的值；
22（Ⅱ）若对任意的tR，不等式f(t2tf(2tk0恒成立，求k的取值范围；
（22）（本小题满分12分）
如图，对每个正整数n，An(xn,yn是抛物线x4y上的点，过焦点F的直线FAn角抛物线于另一点2Bn(sn,tn。
（Ⅰ）试证：xnsn4(n1；
n（Ⅱ）取xn2，并记Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的
两条切线的交点。试证：FC1FC2
FCn2n2n11；
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2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆文）参考答案
一．选择题：DDCDBCCDBBAA 二．填空题：（13）-2（14）2n1（15）(2,（16）a1 2三．解答题：满分74分 （17）解：（Ⅰ）由互斥时间有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式，所求概率为1111p(3(3(3
6326152125的独立重复实验，故所求概率为p3(2C3((
666723133cos2xsin2wxasin(2xa （18）解：（Ⅰ）f(x222321依题意得2，解得
63223a （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(xsin(x327115x0, 又当x,时，，故sin(x1， 363623（Ⅱ）这是n3，p13a. ]上取得最小值22361331a3.故a 因此，由题设知. 2222（19）解：（Ⅰ）求导得f'(x3x6ax3b. 由于f(x的图象与直线12xy10相切与点(1,11，
13a3b11, 所以f(111，f'(112，即 解得a1，b3. 36a3b12.22（Ⅱ）由a1，b3得f'(x3x6ax3b3(x2x33(x1(x3. 令f'(x0，解得x1或x3；又令f'(x0，解得1x3. 所以当x(,1时，f(x是增函数；当x(3,时，f(x也是增函数；但x(1,3时，f(x
从而f(x在[5,是减函数.
（20）解法一：（Ⅰ）由AD//D1G知C1GD1为异面直线AD与C1G所成的角.连接C1F.因为AE和C1F分别是平行平面ABB1A1和CC1D1D与平面AEC1G的交线，所以AE//C1F，由此可得D1FBE3.再由FD1GFDA得DG3.
16（Ⅱ）作D1HC1G于H，连接FH。由三垂线定理知FHC1G，故D1HF为二面角FC1GD1即二面角AC1GA1的平面角。
在RtGHD1中，由DG3，D1GH1在RtC1D1G中，由C1D11，DG3得C1GD11。
6得D1H3。23 / 7
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32. 32解法二：（Ⅰ）由AD//D1G知C1GD1为异面直线AD与C1G所成的角。
因为EC1和AF是平行平面BB1C1C与AA1D1D与平面AEC1G的交线，
所以EC1//AF. 由此可得AGA1EC1B1, 4从而AGAA131，于是DG3。 11在RtC1D1G中，由C1D11，DG得。 CGD31116（Ⅱ）在A1C1G中，由C1AG，知ACAGC11G为钝角。作A1HGC1交GC1的延长线11146于H，连接AH。由三垂线定理知GHAH，故AHA1为二面角AC1GA1的平面角。
从而tanD1HF在RtA1HG中，由AG31，AGH11从而tanAHA1D1FD1H6得A1H31。
2AA1A1H312。 312解法三：（Ⅰ）以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系.于是，
A(0,0,31,C1(1,1,0,D(0,1,31,E(1,0,1,AD(0,1,0,EC(0,1,1因为EC1和AF分别是平行平面BB1C1C和AA1D1D与平面AEC1G的交线，
所以EC1//AF.设G（0,y,0），则AG(0,y,(31. 由EC1//AG得11，于是y31。 y(31故G(0,31,0,C1G(1,3,0. 设异面直线AD与C1G所成的角的大小为，则cosADC1GADC1G3,从而。 26（II）作A1HC1G于H，由三垂线定理知AHGH,故AHA1为二面角AC1GA1的平面角。设H(a,b,0，则A1H(a,b,0，C1H(a1,b1,0。 a3b0。 由A1HC1G得A1HC1G0，由此得又由H,C1,G共线得C1H//C1G,，从而




①
a1b1，于是 133ab(310
联立1和2得a由A1H( ②
33313331,b.故H(,。 444433231231,A1A31得(4424 / 7
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tanAHA1A1AA1H312 3121b0，解得b1。 2a11x21212从而有f(xx1，又由f(1f(1知，解得a2。 2a4a1ax2111x（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知f(xx1
22221由上式易知f(x在(,上为减函数。
又因f(x是奇函数，从而不等式f(t22tf(2t2k0等价于f(t22tf(2t2kf(2t2k
22因f(x是减函数，由上式推得t2t2tk
2即对一切tR有3t2tk0
1从而判断别式412k0，解得k
32x1解法二：由（Ⅰ）知f(xx1,又由题设条件得
22222t2t122tk12t2k1t22tt22t12t2k0即(22(21(22(210 t22t12t2k1222223t2tk1,因底数21,故3t22tk0 整理得21上式对一切tR均成立,从而判别式412k0,解得k
3(22证明：(Ⅰ对任意固定的n1,因为焦点F(0,1,所以可设直线AnBn的方程为y1knx,将它与抛物线（21）解：（Ⅰ）因为f(x是奇函数，所以f(00，即22方程x4y联立得x4knx40, 由一元二次方程根与系数的关系得xnsn4
（Ⅱ）对任意固定的n1，利用导数知识易得抛物线x4y在An处的切线的斜率kAn故x4y在An处的切线方程为yyn

222xn，
2xn(xxn，①
2ytnSn(xSn，②
2类似地，可求得x4y在Bn处的切线方程为
22xnsnxnsnx由②减去①得yntn， 22222222xnsnxnsnxnsnxnsnxnsnxx从而， ， 442224xsxnn， ③

2xSn,1. 将③代入①并注意xnsn4得交点Cn的坐标为(n2222xnsn2xnsnxnx42242=22(n2.由两点间的距离公式得|FCn|(244xxn2xn5 / 7
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从而|FCn||xn|2. 2|xn|1111(|x1||x2|…+|xn|2(…+ 2|x1||x2||xn|1111(222…+2n2(2…+n 2222nn1nn1221. =(21(22现在xn2n，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得，
|FC1||FC2|…+|FCn|6 / 7

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