初三-直线与圆的位置关系教案含答案

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课程主题 学习目标
与圆有关的位置关系
掌握直线与圆的位置关系以及切线的判定并且灵活运用
教学内容


互动精讲
知识点一： 【知识梳理】
1、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵MNOA且MN过半径OA外端，∴MN是⊙O的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件能推出最后一个。 2、切线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
B即：∵PA、PB是的两条切线 ∴PAPB
OP PO平分BPA 3、★补充：圆幂定理 A（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P，∴PAPBPCPD
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在⊙O中，∵直径ABCD，∴CE2AEBE
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线，∴ PA2PCPB
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙O中，∵PB、PE是割线，∴PCPBPDPE
1


【例题精讲】

1、(2015·南京如图，在矩形ABCD中AB4,AD5,AD,AB,BC分别与⊙O相切于E,F,G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为( A 4139 A. B. C. 13 D. 25
332
2、(2016·南京如图，O是ABC内一点，⊙O与BC相交于F、G两点，且与AB、AC 分别相切于点D、E，DE//BC，连接DF、EG. (1求证:ABAC; (2已知AB10,BC12，求四边形DFGE是矩形时⊙O的半径.
(1∵AD,AE是⊙O的切线 ∴ADAE
∴ADEAED ∵DE//BC
∴ADEB,AEDC ∴BC ∴ABAC

2



(2如图，连接AO交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OE、DG，设⊙O 的半径为r
∵四边形DFGE是矩形 ∴DFG90
∴DG是⊙O的直径
∵⊙O与AB、AC分别相切与点D、E ∴ODAB,OEAC 又ODOE
∴AN平分BAC ∵ABAC
1 ∴ANBC，BNBC6
2 在RtABN中，ANAB2BN2102628 ∵ODAB，ANBC ∴ADOANB90 ∵OADBAN ∴AODABN
ODAD ∴
BNANrAD即 684∴ADr
34∴BDABAD10r
3∵ODAB
∴GDBANB90 ∵BB
∴GBDABN BDGD∴ BNAN410r32r 即683


解得r60
1760
17∴四边形DFGE是矩形时⊙O的半径为
3、 (2016·扬州如图①，以ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O 的切线交AC于点D，且EDAC. (1试判断ABC的形状，并说明理由; (2如图②，若线段AB、DE的延长线交于点F，C75，CD23，求⊙O的半径和BF的长.


(1ABC是等腰三角形，理由如下： 如图①，连接OE ∵DE是⊙O 的切线 ∴OEDE ∵EDAC ∴AC//OE ∴OEBC ∵OBOE ∴OEBB ∴CB
∴ABC是等腰三角形
(2如图②，过点O作OGAC，垂足为G，连接OE，则得四边形OGDE是矩形
4


由(1得ABC是等腰三角形 ∴ABCC75
A180757530 设OGx
则OAOBOE2x，AG3x ∴DGOE2x
根据ACAB，得4x3x2x23 解得x1
∴OEOB2
在RtOEF中，EOFA30
243OE∴cos30，OF
cos303OF432，⊙O的半径为2 ∴BF3


知识点二：苏州历年中考题 【例题精讲】
1．(2008年苏州•第27题9分如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BM平分∠ABC交AC于M，以A为圆心，AM为半径作OA交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交OA于P、K两点．作MT⊥BC于T (1求证AK=MT； (2求证：AD⊥BC； (3当AK=BD时， 求证：

5
BNAC．
BPBM



2．（2010年•苏州•第10题3分）如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0、(0，2，⊙C的圆心坐标为(－1，0，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（ ）
2 A．2 B．1 C．2 D．22
2（第2题）（第3题）
0、(0，2，P是△3.（2010年•苏州• 第18题3分）如图，已知A、B两点的坐标分别为23，AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为 ．


4．（2010年苏州•第27题9分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F (1求证：OE∥AB；
1 (2求证：EH=AB；
2BH1BH(3若的值． ，求BE4CE

6


5.（2011年苏州市•第26题8分）如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交于⊙O于点D，连接AD． (1弦长AB等于 ▲ （结果保留根号）； (2当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；
(3当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．




6.（2012年苏州市第27题满分8分）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半 圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x(2．
5（1）当x=2时，求弦PA、PB的长度；
（2）当x为何值时PD·CD的值最大？最大值是多少？



7


7.（2013年苏州第27题8分）如图， Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F． （1）求证：BD=BF；
（2）若CF=1，cosB=，求⊙O的半径．



8.（2014•苏州第27题8分）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，=，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．
（1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧的长；
（2）求证：BF=BD；
（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系．


8





9.（2015年苏州第26题满分10分）如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点，过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，连接ED．
（1）求证：ED∥AC；
S1216S240S1S2（2）若BD=2CD，设△EBD的面积为，△ADC的面积为，且，求△ABC的面积．


10．（2016年苏州第26题10分）如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．
（1）证明：∠E=∠C；
（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；
（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG•ED的值．




9


11.（2017年苏州市第27题10分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点F． （1）求证：△DOE∽△ABC； （2）求证：∠ODF=∠BDE；
（3）连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2，若






=，求sinA的值．

12、（2018年苏州市第26题10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E．延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC． （1）求证：CD=CE；
（2）若AE=GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．



13、（2019年苏州市第26题10分）如图，AE为O的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别交于点E，F. 10


（1）求证：DO∥AC； （2）求证：DEDADC; （3）若CEFAOB2tanCAD12,求sinCDA的值. D


课堂检测
一、选择题
1. 已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交，点⊙O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为2的点共有( A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 如图，已知A、B、C为⊙O上三点，过C的切线MN//弦AB，AB2，AC5，则⊙O的半径为( 555 A. B. C. 2 D.
2243.已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为( 33 A. B. C. 3 D. 23
224如图，⊙O是以原点为圆心，23为半径的圆，点P是直线yx8 的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，(Q为切点，则切线长PQ的最小值为( A. 4 B. 25
11



C. 823 D. 213 二、填空题
5. 定点O、P的距离是5，以点O为圆心，一定的长为半径画圆，过点P 作⊙O的两条切线，切点分别是B、C，则线段BC的最大值是 . 6.如图，OA、OB是两条射线，点C、D分别在OA、OB上，CDOA，垂足为点C，OC4，OD5，若⊙P与OA、OB、CD都相切，则⊙P的半径是 .
7. 如图，ABC为等边三角形，AB2.若P为ABC内一动点，且满足PABACP，则线段PB长度的最小值为 . 8. (2017·淮安模拟如图，ABC是等腰直角三角形，ABBCa，以斜边AB上的点O 为圆心的圆分别与AC,BC相切于点E,F，与AB分别交于点G,H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为 .


1. D 2. B 3. C 4. B 5. 5 6. 1或2 237.
312a 8. 2

12



温故知新
课后作业
1、（2018•泸州）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y=上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
C．x+2
D．
A．3 B．2 【分析】如图，直线y=一次解析式得到D（0，2法可计算出OH=与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，先利用），C（﹣2，0），再利用勾股定理可计算出CD=4，则利用面积，然后利，连接OA，如图，利用切线的性质得OA⊥PA，则PA=用垂线段最短求PA的最小值． 【解答】解：如图，直线y=当x=0时，y=当y=0时，∴CD=x+2 x+2=2x+2与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，
），
，则D（0，2=0，解得x=﹣2，则C（﹣2，0）， =4，
∵OH•CD=OC•OD， ∴OH==，
连接OA，如图， ∵PA为⊙O的切线， ∴OA⊥PA， ∴PA==，
当OP的值最小时，PA的值最小， 而OP的最小值为OH的长， ∴PA的最小值为故选：D．
=．
13



2、（2018•泰州）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为
或 ．

【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，
【解答】解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．

设PQ=PA′=r， ∵PQ∥CA′， ∴∴==，
，
14


∴r=
．
如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，

∵△A′BT∽△ABC， ∴∴∴A′T=∴r=A′T===， ， ，
．
或．
综上所述，⊙P的半径为
3、（2018•宁波）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 3或4 ．

【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线15


AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形； 【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=m．

在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2， ∴x2=42+（8﹣x）2， ∴x=5，
∴PC=5，BP=BC﹣PC=8﹣5=3．
如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．

∴PM=PK=CD=2BM， ∴BM=4，PM=8， 在Rt△PBM中，PB=综上所述，BP的长为3或4=4．
．

16



4、（2018•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为
．

【分析】先利用勾股定理求出AB=10，进而求出CD=BD=5，再求出CF=4，进而求出DF=3，再判断出FG⊥BD，利用面积即可得出结论． 【解答】解：如图，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=10， ∴点D是AB中点， ∴CD=BD=AB=5， 连接DF，
∵CD是⊙O的直径， ∴∠CFD=90°， ∴BF=CF=BC=4， ∴DF=连接OF，
∵OC=OD，CF=BF， ∴OF∥AB， ∴∠OFC=∠B， ∵FG是⊙O的切线， ∴∠OFG=90°，
17
=3，


∴∠OFC+∠BFG=90°， ∴∠BFG+∠B=90°， ∴FG⊥AB，
BF=BD×FG， ∴S△BDF=DF×∴FG=故答案为=．
=，

预习思考


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初三-直线与圆的位置关系教案含答案

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