2018年山东省普通高校招生（春季）考试数学试题（解析版）

卷一

一、选择题(本大题20个小题，每小题3分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上)

1. 已知集合，，则等于（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】分析：根据交集的定义求解.

详解：因为，，所以

选B.

点睛：集合的基本运算的关注点

(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．

(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．

(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．

2. 函数的定义域是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负以及分母不为零列方程组，解方程组得定义域.

详解：因为，所以

所以定义域为，

选D.

点睛：求具体函数定义域，主要从以下方面列条件：偶次根式下被开方数非负，分母不为零，对数真数大于零，实际意义等.

3. 奇函数的局部图像如图所示，则（ ）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】分析：根据奇函数性质将，转化到，,再根据图像比较大小得结果.

详解：因为奇函数，所以,

因为>0>，所以,即，

选A.

点睛：奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．

4. 不等式的解集是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】分析：根据对数函数单调性化简不等式，再根据绝对值定义解不等式.

详解：因为，所以

所以

因此，

选A.

点睛：解对数不等式，不仅要注意单调性，而且要注意真数大于零的限制条件.

5. 在数列中， ，，则等于（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】分析：由递推关系依次得.

详解：因为，所以,

选C.

点睛：数列递推关系式也是数列一种表示方法，可以按顺序求出所求的项.

6. 在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】分析：先根据图形得A,B坐标，再写出向量AB.

详解：因为A(2,2),B(1,1)，所以

选D.

点睛：向量坐标表示：向量平行：，向量垂直：，向量加减：

7. 的圆心在（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】分析：先根据圆方程得圆心坐标，再根据坐标确定象限.

详解：因为的圆心为(-1,1)，所以圆心在第二象限,

选B.

点睛:圆的标准方程中圆心和半径；圆的一般方程中圆心和半径.

8. 已知，则“”是“”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】分析：根据指数函数单调性可得两者关系.

详解：因为为单调递增函数，所以

因此“”是“”的充要条件，

选C.

点睛：充分、必要条件的三种判断方法．

1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．

2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．

9. 关于直线，下列说法正确的是（ ）

A. 直线的倾斜角为 B. 向量是直线的一个方向向量

C. 直线经过点 D. 向量是直线的一个法向量

【答案】B

【解析】分析：先根据方程得斜率，再根据斜率得倾斜角以及方法向量.

详解：因为直线，所以斜率倾斜角为，一个方向向量为，因此也是直线的一个方向向量，

选B.

点睛：直线斜率,倾斜角为，一个方向向量为.

10. 景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同走法的种数是（ ）

A. 6 B. 10 C. 12 D. 20

【答案】C

【解析】分析：根据乘法原理得不同走法的种数.

详解：先确定从那一面上，有两种选择，再选择上山与下山道路，可得不同走法的种数是

因此选C.

点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：

(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.

11. 在平面直角坐标系中，关于的不等式 表示的区域(阴影部分)可能是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】分析：根据A,B符号讨论不等式 表示的区域，再对照选择.

详解：当时，所以不等式 表示的区域直线上方部分且含坐标原点，即B；当时，所以不等式 表示的区域直线方部分且不含坐标原点；当时，所以不等式 表示的区域直线上方部分且不含坐标原点；当时，所以不等式 表示的区域直线方部分且含坐标原点；选B.

点睛：讨论不等式 表示的区域，一般对B的正负进行讨论.

12. 已知两个非零向量与的夹角为锐角，则（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】分析：根据向量数量积可得结果.

详解：因为，两个非零向量与的夹角为锐角，所以,

选A.

点睛：求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.

13. 若坐标原点到直线的距离等于，则角的取值集合是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】分析：先根据点到直线距离公式得角关系式，再解三角方程得结果.

详解：因为坐标原点到直线的距离为，所以所以，即，选A.

点睛：由 求最值，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足.

14. 关于的方程，表示的图形不可能是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】分析：先化方程为标准方程形式，再根据标准方程几何条件确定可能图像.

详解：因为，所以

所以当时，表示A; 当时，表示B; 当时，表示C;

选D.

点睛：对于，有当时，为圆；当时，为椭圆；当时，为双曲线.

15. 在的展开式中，所有项的系数之和等于（ ）

A. 32 B. -32 C. 1 D. -1

【答案】D

【解析】分析：令x=y=1，则得所有项的系数之和.

详解：令x=y=1，则得所有项的系数之和为，

选D.

点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.

16. 设命题，命题，则下列命题中为真命题的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】分析：先确定p,q真假，再根据或且非判断复合命题真假.

详解：因为命题为真，命题为真，所以为真， 、为假，

选A.

点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.

17. 已知抛物线的焦点为，准线为，该抛物线上的点到轴的距离为5，且，则焦点到准线的距离是（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】C

【解析】分析：根据条件以及抛物线定义得|a|，即可得焦点到准线的距离.

详解：因为，点到轴的距离为5，所以,

因此焦点到准线的距离是，

选C.

点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．

18. 某停车场只有并排的8个停车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车位，则至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】分析：先求三辆车皆不相邻的概率，再根据对立事件概率关系求结果.

详解：因为三辆车皆不相邻的情况有，所以三辆车皆不相邻的概率为,

因此至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是

选C.

点睛：古典概型中基本事件数的探求方法

(1)列举法.

(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.

(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.

(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

19. 己知矩形，，把这个矩形分别以所在直线为轴旋转一周，所成几何体的侧面积分别记为，则与的比值等于（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】分析：根据圆柱侧面积公式分别求，再求比值得结果.

详解：设，所以，

选B.

点睛：旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用，多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．

20. 若由函数的图像变换得到的图像，则可以通过以下两个步骤完成:第一步，把图像上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变:第二步，可以把所得图像沿轴（ ）

A. 向右移个单位 B. 向右平移个单位

C. 向左平移个单位 D. 同左平移个单位

【答案】A

【解析】分析：根据图像平移“左正右负”以及平移量为确定结果.

详解：因为，所以所得图像沿轴向右平移个单位,

选A.

点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.

卷二

二、填空题(本大题5个小题，每小题4分，共20分。请将答案填在答题卡相应题号的横线上)

21. 已知函数，则的值等于__________．

【答案】

【解析】分析：根据自变量对应解析式代入求值,再根据求得函数值对应解析式代入求结果.

详解：因为，所以.

点睛：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.

22. 已知，若，则等于__________．

【答案】

【解析】分析：根据平方关系得，再根据范围取负值.

详解：因为，所以

因为，所以

点睛：三角函数求值的三种类型

(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；

②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.

23. 如图所示，已知正方体， 分别是上不重合的两个动点，给山下列四个结论：

①； ②平面平面；

③； ④平面平面.

其中，正确结论的序号是__________．

【答案】③④

【解析】分析：取E,F特殊位置可否定①②，根据线面垂直关系可得③④正确.

详解：当E=D1，F=A1时平面平面，所以①②错；

因为，在内，所以；

因为平面，所以平面平面.因此③④正确.

点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

24. 已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点的坐标是，若点在椭圆上，则椭圆的离心率等于__________．

【答案】

【解析】分析：根据椭圆几何条件得b=4,c=3,解得a,以及离心率.

详解：因为b=4,c=3，所以a=5,e=.

25. 在一批棉花中随机抽测了500根棉花纤维的长度(精确到)作为样本，并绘制了如图所示的频率分布直方图，由图可知，样本中棉花红维的长度大于的频数是__________．

【答案】

【解析】分析：根据频率分布直方图得长度大于的频率，再根据频数等于总数与频率的乘积得结果.

详解：因为长度大于的频率为，所以长度大于的频数是.

点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.

三、解答题(本大题5个小题，共40分)

26. 已知函数，其中为常数.

(1)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围:

(2)若，都有，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】分析：(1)根据二次函数性质得对称轴不在区间 内，解不等式可得实数的取值范围，(2) 根据二次函数图像得得在x轴上方，即，解得实数的取值范围.

详解：(1)因为开口向上，

所以该函数的对称轴是

因此

解得

所以的取值范围是.

(2)因为恒成立，

所以

整理得

解得

因此， 的取值范围是.

点睛：研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆（A⊆）即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧)．

27. 己知在等比数列中，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，求的前项和.

【答案】（1）（2）

【解析】分析：(1)根据条件列关于首项与公比的方程组，解得首项与公比后代入等比数列通项公式即可，(2)利用分组求和法，根据等差数列以及等比数列求和公式即得结果.

详解：(1)由等比数列的定义可知，公比

解得

由得

因此，所求等比数列的通项公式为

(2)由上题可知，

因为是等差数列，所以设

的前项和公式

的前项和公式

所以

点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型　（如 ）

28. 如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面，平面，且，.

(1)求证: 面；

(2)求棱锥的体积.

【答案】（1）见解析（2）.

【解析】分析：(1) 取中点，根据平几知识得四边形为矩形，即得，再根据线面平行判定定理得结论， (2)先证AD垂直平面ABNM，再根据等体积法以及锥体体积公式得结果.

详解：

(1) 平面，取中点，

连接

平面，，

四边形为矩形

平面，

，

四边形为平行四边形

平面

平面

(2)以平面为底，为高

，

点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．

(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．

29. 如下图所示，在中，，在上，且.求线段的长.

【答案】

【解析】分析：先根据余弦定理得AC，AB,再根据余弦定理求角B,由角平分线性质定理得PB，最后根据余弦定理求AP.

详解：

由余弦定理可知

，

由余弦定理可知

由正弦定理可知

所以

因此

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

30. 双曲线的左、右焦点分别是，抛物线的焦点与点重合，点是抛物线与双曲线的一个交点，如图所示.

(1)求双曲线及抛物线的标准方程；

(2)设直线与双曲线的过一、三象限的渐近线平行，且交抛物线于两点，交双曲线于点，若点是线段的中点，求直线的方程.

【答案】（1），（2）

【解析】分析：(1)先根据M坐标求p,得焦点坐标，再将M坐标代入双曲线方程，联立方程组解得a,b，(2)先求渐近线方程，设直线方程，分别与抛物线方程、双曲线方程联立方程组，利用韦达定理以及中点坐标公式列方程，解得直线的方程.

详解：

(1) 代入得

解得

因为焦点为

所以，双曲线的焦点在轴上

将代入

所以或 (舍去)

所以

所以她物线的标准方程为

曲线的标准方程为

(2)渐近线

设直线，

别消去得

将代入得

，解得或，经验证，不合题意，故舍去.

所以

点睛：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.

2018年山东省普通高校招生（春季）考试数学试题（解析版）