1986年全国高考数学试题

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1986年试题 (理工农医类
一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.
(1在下列各数中,已表示成三角形式的复数是

【 】

[Key] 一、本题考查基本概念和基本运算. (1B;

(2函数y=(0.2-x+1的反函数是 (Ay=log5x+1 (By=logx5+1 (Cy=log5(x-1 (Dy=log5x-1 【 】
 [Key] (2C;



(A一条平行于x轴的直线 (B一条垂直于x轴的直线 (C一个圆 (D一条抛物线 【 】
 [Key] (3B;



【 】

[Key] (4A;

(5给出20个数
87 91 94 88 93 91 89 87 92 86 90 92 88 90 91 86 89 92 95 88 它们的和是 (A1789 (B1799 (C1879 (D1899
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【 】

[Key] (5B;

(6设甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件,那么丁是甲的 (A充分条件 (B必要条件
(C充要条件 (D既不充分也不必要的条件 【 】

[Key] (6D;

(7如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0所表示的曲线关于直线y=x对称,那么必有 (AD=E (BD=F (CE=F (DD=E=F 【 】

[Key] (7A;

(8在正方形SG1G2G3中E、F分别是G1G2及G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3三点重合,重合后的点记为G.那么,在四面体S EFG中必有
(ASG⊥△EFG所在平面 (BSD⊥△EFG所在平面 (CGF⊥△SEF所在平面 (DGD⊥△SEF所在平面

【 】

[Key] (8A;

(9在下列各图中,y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0的图象只可能是
【 】
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[Key] (9D;

(10当x∈[-1,0]时,在下面关系式中正确的是

【 】
[Key] (10C.
二、只要求直接写出结果.

(3在xoy平面上,四边形ABCD的四个顶点坐标依次为(0,0、(1,0、(2,1及(0,3,求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积.


 [Key] 二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.


三、如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A、B的任意一点. 求证:平面PAC垂直于平面PBC.

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[Key] 三、本题考查空间直线和平面的位置关系及推证能力. 证明:设圆O所在平面为α.
由已知条件,PA⊥平面α,又BC在平面α内, 因此 PA⊥BC. 因此∠BCA是直角, 因此BC⊥AC.
而PA与AC是△PAC所在平面内的相交直线, 因此BC⊥△PAC所在平面.
从而证得△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直.


四、当sin2x>0时,求不等式log0.5(x2-2x-15>log0.5(x+13的解集.
[Key] 四、本题主要考查对数和不等式知识及运算推导能力. 解:满足sin2x>0的x取值范围是

而由log0.5(x2-2x-15>log0.5(x+13以及对数函数的定义域及性质得到 x2-2x-15 ② x2-2x-15>0, ③ x+13>0,④ 解不等式②得: -4 ⑤
解不等式③及④得 -13或x>5. ⑥
综合①、⑤及⑥,可知所求的解集为 (-π,-3∪(2π,7.
五、如图,在平面直角坐标系中,在y轴的正半轴(坐标原点除外上给定两点A、B.试在x轴的正半轴(坐标原点除外上求点C,使∠ACB取得最大值.

 [Key] 五、本题主要考查三角函数、函数最大(小值知识及分析问题的能力. 解:设点A的坐标为(0,a、点B的坐标为(0,b,0又设所求点C的坐标为(x,0,x>0.
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记∠BCA=α,∠OCB=β,则∠OCA=α+β.




六、已知集合A和集合B各含有12个元素,A∩B含有4个元素,试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:

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[Key] 六、本题考查排列组合、集合等知识与分析问题的能力. 解法一:因为A、B各含12个元素,A∩B含4个元素,因此, A∪B元素的个数是12+12-4=20.

解法二:由题目条件可知,属于B而不属于A的元素个数是12-4=8.


七、过点M(-1,0的直线l1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点.记:线段P1P2的中点为P;过点P和这个抛物线的焦点F的直线为l2;l1的斜率为k.试把直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数,并指出这个函数的定义域、单调区间,同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数.
 [Key] 七、本题考查直线、抛物线和函数的基本知识及综合推导能力.
解:由已知条件可知,直线l1的方程是 y=k(x+1, ①
把①代入抛物线方程y2=4x,整理后得到 k2x2+(2k2-4x+k2=0, ②
因此,直线l1与该抛物线有两个交点的充要条件是: (2k2-42-4k2·k2>0, ③ 及 k≠0. ④
解出③与④得到 k∈(-1,0∪(0,1.

今记l1与抛物线的两个交点P1与P2的横坐标分别为x1和x2,由韦达定理及②得


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定义域是 (-1,0∪(0,1.

注:可先解出k的取值范围作为定义域,后给出函数f(k的表达式,也可先给出函数表达式,后解出k的取值范围作为定义域.



 [Key] 八、本题主要考查数列的概念及运用数学归纳法解题的能力. 证明:首先,

由于x1>0,由数列{xn}的定义可知 xn>0,(n=1,2…


那么当n=k+1时


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从而对一切自然数n都有xn+1>xn.
(ii若x1>1,同理可证,对一切自然数n都有xn+1n.
九、(附加题不计入总分 (1求y=xarctgx2的导数.


[Key] 九、(附加题,不计入总分本题主要考查导数的运算及几何意义.


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