直线与圆位置关系

1．课标要求

1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；

3.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。

2．知识框架

相离 几何法

弦长

直线与圆的位置关系 相交 代数法

切割线定理

相切

直线与圆 代数法

求切线的方法

几何法

圆的切线方程

过圆上一点的切线方程

圆的切线方程 切点弦

过圆外一点的切线方程 方程

3．直线与圆的位置关系及其判定方法

1.利用圆心的距离与半径的大小来判定。

（1）直线与圆相交

（2）直线与圆相切

（3）直线与圆相离

2.联立直线与圆的方程组成方程组，消去其中一个未知量，得到关于另外一个未知量的一元二次方程，通过解的个数来判定。

（1）有两个公共解（交点），即直线与圆相交

（2）有且仅有一个解（交点），也称之为有两个相同实根，即直线与圆相切

（3）无解（交点），即直线与圆相离

3.等价关系

相交

相切

相离

练习

（位置关系）1.已知动直线和圆，试问为何值时，直线与圆相切、相离、相交？

（位置关系）2.已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（）

A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定

（最值问题）3.已知实数、满足方程，

（1）求的最大值和最小值；

（2）求的最大值和最小值；

（3）求的最大值和最小值。

〖分析〗考查与圆有关的最值问题，解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解，运用数形结合的方法，直观的理解。 转化为求斜率的最值； 转化为求直线截距的最大值； 转化为求与原点的距离的最值问题。

（位置关系）4.设，若直线与圆相切，则的取值范围是（）

（位置关系）5.在平面直角坐标系中，已知圆上有且仅有四个点到直线 的距离为1，则实数的取值范围是

6．直线截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是 ( C )

A、 B、 C、 D、

（位置关系）7．圆上的点到直线的距离最大值是（ ）

A． B． C． D．

（最值问题）8.设A为圆上一动点，则A到直线的最大距离为______.

9．已知圆C的半径为，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C相切，则圆C的方程为（ ）

A． B．

C． D．

10.若曲线与直线始终有两个交点，则的取值范围是__________.

（对称问题）11.圆关于直线对称的圆的方程为:( )

A. B.

C. D.

12. 直线与圆相交于两点，若，

则的取值范围是( )

A． B． C． D．

13.圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4　(m∈R)．

(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒相交于两点；

(2)求⊙C与直线l相交弦长的最小值．

[解析]　(1)将方程(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，变形为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0.

直线l恒过两直线2x＋y－7＝0和x＋y－4＝0的交点，

由得交点M(3,1)．

又∵(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，∴点M(3,1)在圆C内，∴直线l与圆C恒有两个交点．

(2)由圆的性质可知，当l⊥CM时，弦长最短．

又|CM|＝＝，

∴弦长为l＝2＝2＝4.

4．计算直线被圆所截得的弦长的方法

1.几何法：运用弦心距、半径、半弦长构成的计算，即

2.代数法：运用根与系数关系（韦达定理），即

（注： 当直线斜率不存在时，请自行探索与总结；

弦中点坐标为，求解弦中点轨迹方程。）

练习

1.直线被圆所截得的弦长等于（）

2.过点的直线中被圆截得的弦长最大的直线方程

是( )

A. B. C. D.

3.已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上，直线被圆所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线方程为（）

4.直线x－2y－3＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E、F两点，则△ECF的面积为(　　)

A. B. C．2 D.

5.已知圆和直线

（1)求证:不论取什么值,直线和圆总相交;

(2)求取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长.

6.若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上相异两点P、Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为(　　)A．1 B．－1 C. D．2

7.已知过点的直线与圆相交于两点，

（1）若弦的长为，求直线的方程；

（2）设弦的中点为，求动点的轨迹方程．

解：（1）若直线的斜率不存在，则的方程为，此时有，弦，所以不合题意．

故设直线的方程为，即．

将圆的方程写成标准式得，所以圆心，半径．

圆心到直线的距离，因为弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形，所以，即，所以．

所求直线的方程为．

（2）设，圆心，连接，则．当且时，，又，

则有，化简得．．．．．．（1）

当或时，点的坐标为都是方程（1）的解，所以弦中点的轨迹方程为．

8.已知圆和直线相交于两点,O为原点,且,求实数的取值.

5．已知切点，求切线方程

1.经过圆上一点的切线方程为

2.经过圆上一点的切线方程为

3.经过圆上一点的切线方程为

练习

1.经过圆上一点作圆的切线方程为（）

2.圆在点处的切线方程为（ ）

A． B． C． D．

6．切点未知，过园外一点，求切线方程

1.不存在，验证是否成立；

2.存在，设点斜式，用圆到直线的距离，即

练习

1.求过且与圆相切的直线方程。

7．切线长

若圆，则过圆外一点的切线长

练习

1.自点的切线，则切线长为（ B ）

(A) (B) 3 (C) (D) 5

2.自直线y=x上点向圆x2+y2-6x+7=0引切线，则切线长的最小值为

8．切点弦方程

过圆外一点作圆的两条切线方程，切点分别为,则切点弦所在直线方程为：

1．过点C(6，－8)作圆x2＋y2＝25的切线于切点A、B，那么C到两切点A、B连线的距离为(　　)

A．15 B．1 C. D．5

9．切割线定理

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即

练习

1.自动点引圆的两条切线，直线的斜率分别为。

（1）若，求动点的轨迹方程；

（2）若点在直线上，且，求实数的取值范围。

〖解析〗

（1）由题意设在园外，切线，

由得点的轨迹方程为。

（2）在直线上，

又，，即，将代入化简得

又，

又恒成立，

直线与圆位置关系知识点与经典例题