1984全国高考文科数学试题

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1984全国高考文科数学试题


1984年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案
(这份试题共八道大题,满分120分)
一.(本题满分15分)本题共有5小题,每小题都给出代号为ABCD的四个结论,其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题:选对的得3;不选,选错或者选出的代号超过一个的(不论是否都写在圆括号内),一律得负1
1X={2n+1πn}Y={4k1πk} C AXY BXY CX=Y DXY 2.函数y=f(x与它的反函数y=f-1(x的图象 D A)关于y轴对称 B)关于原点对称
C)关于直线x+y=0对称 D)关于直线x-y=0对称 3复数123i的三角形式是 A
2335Ccosisin Dcosisin
3336Acos(isin( Bcosisin
334.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的 C A)一条直线不相交 B)两条直线不相交 C)任意一条直线都不相交 D)无数条直线不相交 5.方程x2-79x+1=0的两根可分别作为 A A)一椭圆和一双曲线的离心率 B)两抛物线的离心率 C)一椭圆和一抛物线的离心率 D)两椭圆的离心率 二.(本题满分24分)本题共6小题,每一个小题满分4只要求




1 Y 1 F-10 O X

它们的倒数所组成的数列,,数列
2 Y

四.(本题满12分)
已知等 1 -1

差数列a,b,c
中的 O X

三个数都是正数,且公差不为零求证111abc可能成等差证:如果,,成等差数列,那么
111abc1111abbcabbc,两边乘以b,, bacbbccbac又因为a,b,c成等差数列,且公差不为零,所以
abbc0.由以上两式,可知11. ac两边都乘以ac,得a=c. 但由数列a,b,c的公差不为零,知ac,这就得出矛盾
从而,,不可能成等差数列
111abc五.(本题满分14分)
1sin22sin2cos4化成三角函数的积的形式(要求结果最简)
1
4

1:原式(1sin2sin22cos44 cos2sin2cos2cos4 cos2cos2(sin2cos2 cos2cos2 (coscos(coscos (2coscos(2sinsin2222 sin(sin(-
六.(本题满分14分)
如图,经过正三棱柱底面一边AB,作与底面成300角的平面,已知截面三角形ABD的面积为32cm2,求截得的三棱锥D-ABC的体积
解:因为这个三棱锥是正三棱锥,所以△ABC是正三角形,DC所在直线与△ABC所在平面垂直


D β α B

C 300 E A

如图,作△ABC的高CE,连结DE由三垂线定理,知DEAB所以
DEC是二面角α-AB-β的平面角,∠DEC=300 CE=AB3CE23tg60AB,DEABAB22cos3032
S表示△ABD的面积,则


32S11ABDEAB2,AB8. 22S表示△ABC的面积,则 S=ABCE123AB2163.
4∵∠DEC=300,所以DC=4. V三棱锥SDC1634七.(本题满分14分)
某工厂1983年生产某种产品2万件,计划从1984年开始,每年的产量比上一年增长20%问从哪一年开始,这家工厂生产这种产品的1313643(cm2
3年产量超过12万件(已知lg2=0.3010,lg3=0.4771 解:设a1为这家工厂1983年生产这种产品的年产量,即a1=2. 并将这家工厂19841985,…年生产这种产品的年产量分别记为a2,a3, .根据题意,数列{an}是一个公比为1.2的等比数列,其通项公式为an21.2n1
根据题意,设21.2n112 两边取常用对数,得
lg2(x1lg1.2lg12. lg12lg2lg32lg2lg20.7781x11110.84lg1.2lg32lg210.0791因为y21.2x是增函数,现x取正整数,可知从1993年开始,这家工厂生产这种产品的产量超过12万台
答:略
八.(本题满分15分)
已知两个椭圆的方程分别是


C1:x2+9y2-45=0, C2:x2+9y2-6x-27=0. 1.求这两个椭圆的中心、焦点的坐标
2.求经过这两个椭圆的交点且与直线x-2y+11=0相切的圆的方程
1.解:把C1的方程化为标准方程,得
x2y2C1:1a35,b5,c210.
455可知椭圆C1的中心是原点,焦点坐标分别是(210,0,(210,0
C2的方程化为标准方程,得
(x32y2C2:1a6,b2,c42.
364可知椭圆C2的中心坐标是(30,焦点坐标分别
(342,0,(342,0
22x3,x3,x9y450,解得2.解一:解方程组2
2y2,y2,x9y6x270,所以两椭圆C1C2的交点坐标是A32B3-2
设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 因为AB两点在圆上,所以有
3D2EF130,解得E0,F3D13
3D2EF130.从而所求圆的方程为x2+y2+Dx-3D-13=0
由所求圆与直线x-2y+11=0相切,可知方程
x112Dx3D1305x2(224Dx12D690的判别式为0
2就是D226D560解得D2,D28x2(

从而所求圆的方程是x2+y2+2x-19=0,x2+y2-28x+71=0. 解二:同解一,求出两椭圆交点坐标为A32B3-2 所求圆的圆心在线段AB的垂直平分线上即x轴上,因此可设圆心为m,0 由所求圆与直线x-2y+11=0相切,可知点(m,0到直线x-2y+11=0的距离等于点(m,0与点A32)之间的距离(都等于所求圆的半径),所以
|m11|14(m3222整理,化简得:m213m140,解得m=-1,m=14.m=-1时,圆的半径r25,所求圆的方程是
x2+y2+2x-19=0; m=14时,圆的半径r55,所求圆的方程是
x2+y2-28x+71=0.

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