参考答案参见微信公众号：考研竞赛数学(ID: xwmath)菜单“竞赛实验”下的“竞赛试题与通知” 相关知识点总结与解题思路分析、探索参见公众号《公共基础课》在线课堂，或公众号回复“在线课堂”12011年第三届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类）试卷一、计算下列各题(本题共4个小题，每题6分，共24分)(1)()()()22011ln 1lim .xx x e x x →+--+(2) 设2coscos cos 222n n a θθθ=⋅⋅⋅ ，求lim .n n a →∞ (3) 求()sgn 1d d Dxy x y -⎰⎰，其中(){},|02,02.D x y x y =≤≤≤≤(4) 求级数221212n n n n x ∞-=-∑的和函数，并求级数211212n n n ∞-=-∑的和。 第二题：(本题两问，每问8分，共16分)设{}0nn a ∞=为数列，,a λ为有限数，求证： 1．如果lim n n a a →∞=，则12lim ;n n a a a a n →∞+++=2．如果存在正整数p ，使得()lim n p n n a a λ+→∞-=，则lim .nn a n p λ→∞= 第三题：(15分)设函数()f x 在闭区间1,1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上具有连续的三阶导数，且()10,f -= (1)1,(0)0f f '== ，求证：在开区间()1,1-内至少存在一点0x ，使得0()3f x '''=.第四题：(15分)在平面上，有一条从点(),0a 向右的射线，线密度为ρ。在点()0,h 处（其中0h >）有一质量为m 的质点。求射线对该质点的引力。第五题：(15分)设(),z z x y =是由方程11,0F z z x y ⎛⎫ +-= ⎝⎭确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导数，求证：221z z x y x y ∂∂-=∂∂和()222332220.z z z x xy x y y x y x y ∂∂∂+--+=∂∂∂∂ 第六题：(15分)设函数()f x 连续，,,a b c 为常数， 是单位球面2221x y z ++=。记第一型曲面积分()d .I f ax by cz S =++⎰⎰ 求证：112d .I f u π-⎫⎪=⎪⎪⎭⎰

2011年第三届全国初赛-非数学类试卷