安徽省阜阳市颍东区衡水实验中学2020-2021学年高二上学期第四次调研考试数学(理)试题-

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2020-2021学年高一年级第一学期第四次调研考试理数试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 与命题“若aM，则bM”等价的命题是（ ）． A. 若aM，则bM C. 若bM，则aM
C 分析：根据四种命题等价性关系判断. 详解：原命题与其逆否命题等价，C项是原命题的逆否命题，符合要求．故选C． 点睛： p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p具有等价关系. B. 若bM，则aM D. 若aM，则bM
x2y22. 已知椭圆C：21的右焦点为F，O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足a3OFFP，则C的方程为（ ） x2y21 A. 123x2y21 B. 83x2y21 C. 63x2y2D. 1
43D 根据对称性知P在x轴上，a2c，计算得到答案. 根据对称性知P在x轴上，OFFP，故a2c，a23c2，解得a2，c1，
x2y2故椭圆方程为：1.故选：D. 43本题考查了椭圆方程，意在考查学生的计算能力，确定P在x轴上是解题的关键. 3. 已知向量a1,x,3，b2,4,y，且a//b，则xy的值为( A. -4 A 由空间向量共线的充要条件建立关系式求解得出. B. -2 C. 2 D. 4 1


1k12k2向量a1,x,3，b2,4,y且a//b，所以存在k，使得akb，则x4k，解得x2，3kyy6所以xy4．故选：A 4. 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4，5，则回归直线方程为（ ）
ˆ1.23x4 A. yˆ1.23x5 B. yˆ1.23x0.08 C. yˆ0.08x1.23 D. yC ˆ1.23xaˆ，根据回归直线必过样本中心4,5，求aˆ. 设回归直线方程为y由回归直线的斜率的估计值为1.23，
ˆ1.23xaˆ，代入4,5 ， 设回归直线方程为yˆ0.08 ， ˆ ，解得：a51.234aˆ1.23x0.08.故选：C 回归直线方程是y本题考查回归直线方程，意在考查基本公式和计算，属于简单题型. 5. 若a是从区间0,10中任取的一个实数，则方程x2ax10无实数解的概率是（ ） A. 0.1 B 首先根据方程x2ax10无实数解和a的范围得到0a2，再利用几何概型公式即可得到答案. 若方程x2ax10无实数解，则a240，
即a2a202a2，又a0,10，∴0a2. B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 2所以方程xax10无实数解的概率是0.2．故选：B 102本题主要考查几何概型，同时考查了一元二次方程根的情况，属于简单题. 6. 已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC,AD的中点，则AEAF的值为（ ） A. a2
B. 12a 2C. 12a 4D. 32a
42


C 把要求数量积的两个向量表示成以四面体的棱长为基底的向量的表示形式，写出向量的数量积，问题转化成四面体的棱之间的关系，因为棱长和夹角已知，得到结果． 解：AEAF(ABAC1(ABADACAD
41(aacos60aacos60 41111(a2a2a2故选：C. 4224121AD 2

本题考查空间向量的数量积，解题的关键是把要用的向量写成以已知几何体的一个顶点为起点的向量为基地的形式，再进行运算．
y2x27. 已知P是双曲线E:1上任意一点，M，N是双曲线上关于坐标原点对称的两点，4mPN的斜率分别为k1,k2k1k20，且直线PM，若k12k2的最小值为1，则实数m的值为（ ） A. 16 B 2y12y244kk设Mx1,y1，Nx1,y1，Px2,y2，代入双曲线方程相减得2，计算得，122x1x2mmB. 32 C. 1或16 D. 2或8 利用基本不等式可得k12k2的最小值，从而求得参数m值．
22y12x12y2x2y2x2Nx1,y1，Px2,y2，双曲线E:1中m0，设Mx1,y1，则1，1，4m4m4m222y12y24y12y2x12x20，∴2所以相减得，
2x1x2m4m3


2y2y1y2y1y2y12482k2k22kk21，因此k1k2．从而所以m32（当1212x2x1x2x1x2x12mm且仅当k12k2时取等号）．故选：B．
8. 已知圆C:xa+y24a2与直线xy2220相切，则圆C与直线xy40相交所得弦长为（ ）
2A. 1 D B. 2 C. 2 D. 22
先根据圆C:xa+y24a2与直线xy2220相切，由圆心到直线的距离等于半径求得a，然后再利用弦长公式l2r2d2求解. 圆心Ca,0到直线xy2220的距离为：d1解得a2或a242，
因为a2，所以a2，所以圆C:x2y24， 圆心到直线xy40的距离为：d22422，
22a22222，
2所以圆C与直线xy40相交所得弦长为l2r2d222，故选：D 本题主要考查直线与圆的位置关系以及弦长公式，考查利用点到线的距离公式的应用，难度一般，公式的灵活运用是关键. 9. 从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ） A. D 3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5.由此能求基本事件总数n＝3×出这个两位数是偶数的概率. 解：从0，1，2，3这四个数中任取两个不同数组成一个两位数， 3＝9， 基本事件总数n＝3×3+1×2＝5. 这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×1 34 91 25
9B. C. D. 4


∴这个两位数是偶数的概率为pm5.故选：D. n9本题主要考查概率的求法，考查古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. p10. 已知抛物线C:y22px(p0的焦点为F，点Mx0,22x0是抛物线C上一点，以2点M为圆心的圆与直线xA. y2x C. y24x
C p1交于E，G两点，若sinMFG，则抛物线C的方程是
32B. y22x D. y28x
1|DM|sinMFG=Mx,22作MDEG，垂足为点D．利用点在抛物线上、， 结合抛03|MF|物线的定义列方程求解即可. 作MDEG，垂足为点D．
pMx,22x由题意得点00在抛物线上，则82px0得px04．①
2由抛物线的性质，可知，|DM|x0p， 211p1因为sinMFG，所以|DM||MF|x0．
3323所以x0p1px0，解得：x0p．②． 232由①②，解得：x0p2（舍去）或x0p2． 故抛物线C的方程是y24x．故选C．
本题考查抛物线的定义与几何性质，属于中档题. x2y211. 已知双曲线1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0,2，则APF周长42的最小值为 A. 42 B B. 4(12
C. 2(26
D. 632
5


x2y2曲线1右焦点为F426,0，APF周长lAFAPPFAFAP2aPF
要使APF周长最小，只需APPF 最小，如图：

当A,P,F'三点共线时取到,故l=2|AF|+2a=412 故选B 点睛：本题考查了双曲线的定义，两条线段之和取得最小值的转化，考查了转化思想，属于中档题. x2y212. 已知双曲线221的右支与抛物线x22py相交于A,B两点，记点A到抛物线焦点的ab距离为d1，抛物线的准线到抛物线焦点的距离为d2，点B到抛物线焦点的距离为d3，且d1,d2,d3构成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. yA 设Ax1,y1，Bx2,y2，抛物线焦点为F，由已知可得AFBF2p，根据抛物线定义可得y1y2p，利用点差法可得2x 2B. y2x C. y3x D. y3x
32py12py2y1y2y1y2，从而可求得渐近线方程． 22ab解：设Ax1,y1，Bx2,y2，抛物线焦点为F， 由已知有AFBF2p，即y1y2p，
x12y12122ax12x22y1y2y1y2b由2，两式相减得， 222abxy212b2a26


2py12py2y1y2y1y2b21即，故2，
a2b2a2∴渐近线方程为y2x，故选：A ．
2
本题主要考查抛物线的定义，考查双曲线的渐近线，考查推理能力与运算能力，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
113. 命题“x0，1”的否定是______. 21x0,1. 2xx含有量词的命题的否定形式：“”变“”， “”的否定为“”. 含有量词的命题的否定形式：“”变“”， “”的否定为“”,
1所以，x0,1

21故答案为：x0,1. 2xx本题考查含有量词的命题的否定形式，考查逻辑推理能力，属于容易题目. 14. 过直线2xy40与xy50的交点，且垂直于直线x2y0的直线方程是_______．
2xy80
先求交点，再根据垂直关系得直线方程. 直线2xy40与xy50的交点为1,6, 垂直于直线x2y0的直线方程可设为2xym0, 所以26m0,m8,即2xy80. 本题考查两直线垂直与交点，考查基本分析求解能力，属基础题. x2y215. 已知双曲线C：221(a0,b0的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条ab渐近线分别交于A，B两点．若F1AAB，F1BF2B0，则C的离心率为____________．
2. 7


通过向量关系得到F1AAB和OAF1A，得到AOBAOF1，结合双曲线的渐近线可得BOF2AOF1,BOF2AOF1BOA600,从而由btan6003可求离心率. a如图，

由F1AAB,得F1AAB.又OF1OF2,得OA是三角形F1F2B的中位线，即BF2//OA,BF22OA.由F1BF2B0，得F1BF2B,OAF1A,则OBOF1有AOBAOF1， 又OA与OB都是渐近线，得BOF2AOF1,又BOF2AOBAOF1，得BOF2AOF1BOA600,．又渐近线OB的斜率为btan6003，所以该双曲线的离心a率为ecb1(21(322． aa本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．
16. 给出下列结论：动点Mx,y分别到两定点4,0，4,0连线的斜率之积为9，设16Mx,y的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中： （1）曲线C的焦点坐标为F15,0，F25,0； （2）曲线C上存在一点M，使得SF1MF29；
（3）P为曲线C上一点，P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且PF1PF2，值为23； 9PF1PF2的（4）设A1,1动点P在曲线C上，则PAPF2的最大值为927； 其中正确命题的序号是________________． （3）（4）
8


求出轨迹方程，确定轨迹是椭圆的一部分，求得a,b,c，然后利用椭圆的性质求解判断． ∵动点Mx,y分别到两定点4,0，4,0连线的斜率之积为yy99，整，∴16x4x416x2y2理，得曲线C的方程为：1，x4．曲线C是椭圆的一部分，a4,b3，
169在（1）中，∵F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，c1697，∴曲线C的焦点坐标为F17,0，F27,0，故（1）错误；
在（2）中，曲线C上任意一点M，S△F1MF2max12cbbc379，故（2）错误；
2PF192323b29PFF90PF8，1在（3）中，，PF2，的值为，故（3）对； 21PF2944a4在（4）中，当P，F2，A共线时，PAPF2的最大值为AF2故（4）正确． 故答案为：（3）（4）．
102172927，三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
217. 已知命题p: xR，xa1x10； 命题 q: 函数f(xx22ax在区间,0
上单调递减．
（1） 若命题p为真命题， 求a的取值范围； （2）若命题pq为假命题，求a的取值范围． （1）(3,1；（2）(,3]
（1）当命题p是真命题时，，解出a的取值范围；
（2）分别求两个命题为真命题时a的取值范围，若满足pq是假命题，则p,q都是假命题，列不等式求参数a的取值范围. （1）若p为真命题，则
(a1240

(a3(a10即3a1

a的取值范围为(3,1

（2）若pq为假，则p假且q假

9


若q为真命题，则a0

a3或a1

a0a3, 即a的取值范围为(,3]
本题考查根据命题的真假求参数的取值范围，重点考查二次函数的性质，属于基础题型. 18. 已知点A(2,a，圆C:(x12y25
（1）若过点A只能作一条圆C的切线，求实数a的值及切线方程；
（2）设直线l过点A但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直线l被圆C截得的弦长为23，求实数a的值. （1）a2，切线方程：x2y60或a2，切线方程：x2y60；（2）a1或a3 （1）由切线条数可确定A在圆上，代入圆的方程可求得a；根据在圆上一点处的切线方程的结论可直接写得结果；
（2）设直线l方程xybb0，代入点A坐标得到ba2；利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，根据直线被圆截得的弦长可构造方程求得a. （1）过点A只能作一条圆C的切线 A在圆C上
1a25，解得：a2
当a2时，A2,2，则切线方程为：21x12y5，即x2y60 当a2时，A2,2，则切线方程为：21x12y5，即x2y60 （2）设直线l方程为：xybb0 2ab
直线l方程为：xya20 圆C的圆心到直线距离d10a22a12
25d22a152223，解得：a1或a3
本题考查过圆上一点的切线方程的求解、根据直线被圆截得的弦长求解参数值的问题；关键是能够熟练掌握直线与圆问题的常用结论：
1.过圆xaybr2上一点x0,y0的切线方程为：x0axay0bybr；
22210


2.直线被圆截得的弦长等于2r2d2. 19. 某医院为促进行风建设，拟对医院服务质量进行量化考核，每个患者就医后可以对医院进行打分，最高分为100分.上个月该医院对100名患者进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组[0,20，第二组[20,40，第三组[40,60，第四组[60,80，第五组80,100，得到频率分布直方图，如图所示.
（1）求所打分数不低于60分的患者人数；
（2）该医院在第二､三组患者中按分层抽样的方法抽取6名患者进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为医院行风监督员，求行风监督员来自不同组的概率. （1）65人；（2）8. 15的11 （1）由直方图，求出打分值60,100的频率，根据总人数为100即可求解. （2）由直方图求出第二组和第三组的人数之比为1：2，利用列举法求出6人中随机抽取2人的基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解. （1）由直方图知，所打分值60,100的频率为
0.0175200.0150200.65，

人数为1000.6565(人
答：所打分数不低于60分的患者的人数为65人. （2）由直方图知，第二､三组的频率分别为0.1和0.2， 则第二､三组人数分别为10人和20人， 所以根据分层抽样的方法，抽出的6人中， 第二组和第三组的人数之比为1：2，
则第二组有2人，记为A,B；第三组有4人，记为a,b,c,d.
从中随机抽取2人的所有情况如下：AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd共15


种

其中，两人来自不同组的情况有：Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd共8种

两人来自不同组的概率为8
158答：行风监督员来自不同组的概率为. 15本题考查了频率分布直方图、分层抽样、古典概型的概率计算公式，属于基础题. 20. 已知几何体ABCDEF中，AB//CD，FC//EA，ADAB，AE⊥面ABCD，ABADEA2，CDCF4.
（1）求证：平面BDF平面BCF； （2）求二面角E－BD－F的余弦值. 112（）证明见解析；（）. 3（1）证明BD面BCF，平面BDF平面BCF即得证；
（2）分别以DA,DC所在直线为x轴、y轴，以D为垂足作面DAC的垂线DZ为z轴，建系如图，利用向量法求二面角E－BD－F的余弦值. （1）证明：直角梯形ABCD中由已知可得BDBC22

BD2BC2CD2,BDBC
FC//EA，且AE⊥面ABCD， FC平面ABCD，
BC面ABCD，BDFC，
12


FCBCC，BC面BCF，FC面BCF
∴BD面BCF
且BD面BDF，故面BDF面BCF；
（2）分别以DA,DC所在直线为x轴、y轴，以D为垂足作面DAC的垂线DZ为z轴，建系如图

D(0,0,0,B(2,2,0,E(2,0,2F(0,4,4，
则DB(2,2,0,DE(2,0,2,DF(0,4,4， 设面DEB的法向量为m(x,y,z，
mDB02x2y0则，
2x2z0mDE0取x1，则yz1，故m(1,1,1
nDB02x2y0设面DBF的法向量为n(x,y,z，则，
4y4z0nDF0取x1，则y1,z1，故n(1,1,1 则cosm,nmn1111，
|m||n|3331由图可得所求的二面角的余弦值为．
3本题考查面面垂直的证明，考查用空间向量法求二面角，解题关键是建立空间直角坐标系，把求二面角问题化为纯粹的计算．
221. 如图，已知M1,2为抛物线C:y2pxp0上一点，过点D2,2的直线与抛物线C交13


于AB两点（AB两点异于M），记直线AM，BM的料率分别为k1，k2

（1）求k1k2的值
（2）记AMD，BMD的面积分别为S1，S2，当k11,2，求（1）k1k24（2）1,4
（1）将点代入抛物线得到y24x，设直线AB方程为xmy22，联立方程得到y1y24m，y1y28m8，计算得到答案. S1的取值范围 S2（2）y122,4，s1s2BDy22ADy12y1142，计算得到答案. y24x，
（1）将M1,2代入抛物线C:y22px方程，得p2，所以抛物线方程设直线AB方程为xmy22，代入抛物线方程，得y24my8m80， 设Ax1,y1，Bx2,y2，则y1y24m，y1y28m8，
k1k2y12y22y12y221616224， y2x11x21y1y2y2yy2yy41212121144所以k1k24. （2）由（1）知k141,2，所以y122,4， y122444ADy12y11s14k21,4. ，即，所以y12y22y22s2BDy224本题考查了抛物线中的斜率定值问题，面积问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合14


应用能力. x2y2222. 已知椭圆C221ab0的离心率e，左焦点为F1，右焦点为F2，且椭圆ab2上一动点M到F2的最远距离为 21，过F2的直线l与椭圆C交于A，B两点. （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）当F1AB以F1AB为直角时，求直线AB的方程；
（Ⅲ）直线l的斜率存在且不为0时，试问x轴上是否存在一点P使得OPAOPB，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由. x2（Ⅰ）y21；（Ⅱ）yx1或yx1；（Ⅲ）存在，（2,0）. 2（Ⅰ）根据椭圆的性质直接解方程求解即可；
（Ⅱ）由题意可知，当k不存在时，F1AB不符合题意，设Ax0,y0，22y01AO1，故x022且x02y02，进而解得A0,1或A0,1，进而得直线AB的斜率与方程；
24k（Ⅲ）设Pm,0，Ax1,y1，Bx2,y2，lAB:ykx1与椭圆方程联立得x1x2，12k22k22，再根据斜率公式计算化简即可得答案. x1x2212kc2ea2解：（Ⅰ）ac21，
a2b2c2a2x2c1，y21. 2b1（Ⅱ）解法一：
由题意可知，当k不存在时，F1AB不符合题意， 设Ax0,y0，22x0y01，又AO1，
22x02y02，
15


x021，A0,1或A0,1，k1， 直线AB的方程为yx1或yx1. 解法二：
由题意可知，当k不存在时，F1AB不符合题意. 设直线lAB:ykx1，则lAF1:y1x1，
kykx122，得k1xk1，
1ykx1k1k12k8k22， A2,2，2222k1k1k1k12227k46k210，∴k21，
直线AB的方程为yx1或yx1. （Ⅲ）设Pm,0，Ax1,y1，Bx2,y2，
ykx1lAB:ykx1，2，
2x2y212k2x24k2x2k220， 2k224k2x1x2，x1x2，
12k212k2kAPy2y1k，BP，
x1mx2mkAPkBPy1x2my2x1m0，
x1mx2my1x2y2x1my1y20， 2kx1x2kmkx1x22km0，
2km4k,m2，P2,0. 本题考查椭圆的方程求解，直线过定点问题，考查运算能力，化归转化思想，是中档题.
16

安徽省阜阳市颍东区衡水实验中学2020-2021学年高二上学期第四次调研考试数学(理)试题-

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