2010年高考全国卷1理科数学试题答案及解析

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2010年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修II
本试卷分第I卷(选择题和第Ⅱ卷(非选择题两部分。第I卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。．．．．．．．．．3．第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：
如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式
P(ABP(AP(BS4R2
如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(ABP(AP(B球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么V
3
R34
n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径
kk
Pn(kCnp(1pnk(k0,1,2,…n

一．选择题(1复数
32i
23i
(Ai(Bi(C12-13i(D12+13i
32i(32i(23i69i4i6
i.23i(23i(23i13
1．A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.
【解析】
(2记cos(80k,那么tan100
1k21k2
A.B.-C.
kk
k1k
2
D.-
k1k
2

2.B【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.


【解析】sin801cos2801cos2(801k2,所以tan100tan80
sin801k2.
cos80k
y1,

(3若变量x,y满足约束条件xy0,则zx2y的最大值为
xy20,
(A4(B3(C2(D1
3.B【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.
【解析】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l经过点A(1,-1时，z最大，且最大值为zmax12(13.

y
A
xy0


yx
l0:x2y0
1O
A
2
x
xy20
2
（4）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=(A52(B7(C6(D42
4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.
3
5，【解析】由等比数列的性质知a1a2a3(a1a3a2a2


13
a7a8a9(a7a9a8a10,所以a2a850,38
所以a4a5a6(a4a6a5a(a2a8(5052(5(12x3(13x5的展开式中x的系数是(A-4(B-2(C2(D4
5.B【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.
355
【解析】(12x(13x(16x12x8xx(13x
35
3
163
故(12x3(13x5的展开式中含x的项为
30
1C5(3x312xC510x12x2x,所以x的系数为-2.
(6某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A30种(B35种(C42种(D48种
6.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.
【解析】:可分以下2种情况:(1A类选修课选1门,B类选修课选2门,有C3C4
1
2
1种不同的选法;(2A类选修课选2门,B类选修课选1门,有C32C4种不同的121
C4+C32C4181230种.选法.所以不同的选法共有C3
(7正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为A
2362
BCD3333
1
7.D【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的
D1
C求法，利用等体积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键
A1
D
A
O
B1
CB


所在,这也是转化思想的具体体现.
【解析】因为BB1//DD1,所以BB1与平面等,设
DO⊥平面
ACD1所成角和DD1与平面ACD1所成角相
1
1
ACD1，由等体积法得VDACDVDACD,即
11
SACD1DOSACDDD1.设DD1=a,33
则SACD1
1133211
ACAD1sin60(2a2a,SACDADCDa2.222222
SACDDD1a33
所以DOa,记DD1与平面ACD1所成角为,则2
SACD133a
sin
6DO3
,所以cos.
3DD13
1
2
（8）设a=log32,b=In2,c=5
,则
AaBbCcDc
8.C【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.【解析】a=log32=
12
11
,b=In2=,而log23log2e1,所以alog23log2e
c=5=

1
,而52log24log23,所以c综上c5
2
2
0
(9已知F1、F2为双曲线C:xy1的左、右焦点，点p在C上，∠F1pF2=60，则P
到x轴的距离为(A
36(B(C22
3(D6
9.B【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.
【解析】不妨设点P(x0,y0在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得
a2a2
|PF1|e[x0(]aex012x0，|PF2|e[x0]ex0a2x01.由余
cc


弦定理得
|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(12x02(2x012(2220
cos∠F1PF2=,即cos60,
2|PF1||PF2|2(12x0(2x01
解得x0
2
65322
,所以y0x01，故P到x轴的距离为|y0|
222
（10）已知函数F(x=|lgx|,若0且f(a=f(b,则a+2b的取值范围是(A(22,(B[22,(C(3,(D[3,
10.A【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2baA,这也是命题者的用苦良心之处.
【解析】因为f(a=f(b,所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去，或b又0所以0，令f(aa为减函数，所以f(a>f(1=1+
2
22,从而错选a
12，所以a+2b=aaa
2
,由“对勾”函数的性质知函数f(a在a(0,1上a
2
=3,即a+2b的取值范围是(3,+∞.1
（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么PA•PB的最小值为
(A42(B32(C422(D322
11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.A【解析】如图所示：设PA=PB=x(x0,∠APO=,
O
则∠APB=2，PO=1x2，sin
11x
2
P
，
B
PA•PB|PA||PB|cos2=x2(12sin2
x2(x21x4x2x4x2422==2，令PA•PBy，则y2，即x(1yxy0，由x2
x1x1x1
是实数，所以
[(1y]241(y0，y26y10，解得y322或y322.
故(PA•PBmin322.此时x
21.
（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体


积的最大值为(A
234383
(B(C23(D333
12.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.
【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为h,则有
112
V四面体ABCD22hh,当直径通过AB与CD的中点时,hmax2221223,故
323
Vmax
43.3

绝密★启用前
2010年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修II
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。．．．．．．．．．3。第Ⅱ卷共l0小题，共90分。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．(注意：在试题卷上作答无效
(13不等式2x21x1的解集是.
13.[0,2]【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致.
2x21(x12,
解析:原不等式等价于解得0≤x≤2.
x10
(14已知为第三象限的角，cos214．
3
,则tan(2.54
1
【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的7
正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.
【解析】因为为第三象限的角,所以2(2(2k1,2(2k1(kZ，又


34
cos2<0,所以2(2(2k1,2(2k1(kZ,于是有sin2,
525
4
tantan21
sin2431.4tan2,所以tan(2
4cos23471tantan2143
(15直线y1与曲线yx2xa有四个交点，则a的取值范围是.
15.(1,【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想.
【解析】如图，在同一直角坐标系内画出直线y1与曲线yxxa,观图可知，a的
2
5
4
a1
5
,解得1a.取值必须满足4a1144
(16已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段
1
x
2
a
y
x
12
yx2xa
y=1x
BF的延长线交C于点D，且BF2FD，则C的离心率
为.16.
O
23
y
4a1
4
【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.
【解析】如图，|BF|b2c2a,作DD1y轴于点D1,则由BF2FD，得
y

B
OD1
F
D

x
|OF||BF|233
,所以|DD1||OF|c,
|DD1||BD|322
a23c3c23c即xD,由椭圆的第二定义得|FD|e(a
c22a23c222
又由|BF|2|FD|,得c2a,整理得3c2aac0.
a
2.3
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步
两边都除以a,得3ee20,解得e1(舍去，或e
2
2


骤．
(17(本小题满分10分(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．已知ABC的内角A，B及其对边a，b
满足abacotAbcotB，求内角
C．
17.【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系，突出考查边角互化的转化思想的应用.(18(本小题满分12分（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．
(I求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
(II记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．18.【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想.
（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．
如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC.
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小.
【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.
(20(本小题满分12分（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．已知函数f(x(x1lnxx1.
（Ⅰ）若xf'(xxax1，求a的取值范围；（Ⅱ）证明：(x1f(x0.
【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函
2


数与方程思想、化归与转化思想.
（21）(本小题满分12分（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．
已知抛物线C:y4x的焦点为F，过点K(1,0的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.
（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设FAFB
2
8
，求BDK的内切圆M的方程.9
【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想..
（22）(本小题满分12分（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．已知数列an中，a11,an1c
1
.an
（Ⅰ）设c
51,bn，求数列bn的通项公式；2an2
（Ⅱ）求使不等式anan13成立的c的取值范围.
【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础
知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查.

2010年高考全国卷1理科数学试题答案及解析

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