高中数学 必修1知识点

第一章 函数概念

（1）函数的概念

①设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的一个函数，记作．

②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．

③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．

（2）区间的概念及表示法

①设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集合分别记做．

注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须

，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．

（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：

①是整式时，定义域是全体实数．

②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．

③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．

④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．

⑤中，．

⑥零（负）指数幂的底数不能为零．

⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．

⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出．

⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．

⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．

（4）求函数的值域或最值

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：

①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．

②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．

③判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程

则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值．

④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．

⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．

⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．

⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．

⑧函数的单调性法．

（5）函数的表示方法

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．

解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．

（6）映射的概念

①设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的映射，记作．

②给定一个集合到集合的映射，且word/media/image33_1.png．如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．

（6）函数的单调性

①定义及判定方法

②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．

③对于复合函数，令，若为增，为增，则为增；若为减，为减，则为增；若为增，为减，则为减；若为减，为增，则为减．

（7）打“√”函数的图象与性质

分别在、上为增函数，分别在、上为减函数．

（8）最大（小）值定义

①一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；

（2）存在，使得．那么，我们称是函数的最大值，记作．

②一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，我们称是函数的最小值，记作．

（9）函数的奇偶性

①定义及判定方法

②若函数为奇函数，且在处有定义，则．

③奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．

④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

〖2.1〗指数函数

【2.1.1】指数与指数幂的运算

（1）根式的概念

①如果，且，那么叫做的次方根．当是奇数时，的次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0的次方根是0；负数没有次方根．

②式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，．

③根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时，．

（2）分数指数幂的概念

①正数的正分数指数幂的意义是：且．0的正分数指数幂等于0．

②正数的负分数指数幂的意义是：且．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．

（3）分数指数幂的运算性质

① ②

③

【2.1.2】指数函数及其性质

（4）指数函数

〖2.2〗对数函数

【2.2.1】对数与对数运算

（1）对数的定义

①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．

②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：．

（2）几个重要的对数恒等式

，，．

（3）常用对数与自然对数

常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．

（4）对数的运算性质 如果，那么

①加法： ②减法：

③数乘： ④

⑤ ⑥换底公式：

【2.2.2】对数函数及其性质

（5）对数函数

(6)反函数的概念

设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．

（7）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式中反解出；

③将改写成，并注明反函数的定义域．

（8）反函数的性质

①原函数与反函数的图象关于直线对称．

②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．

③若在原函数的图象上，则在反函数的图象上．

④一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数．

〖2.3〗幂函数

（1）幂函数的定义

一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．

（2）幂函数的图象

（3）幂函数的性质

①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．

②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．

③单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．

④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数．

⑤图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方．

〖补充知识〗二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式

①一般式：②顶点式：③两根式：（2）求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．

③若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便．

（3）二次函数图象的性质

①二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是．

②当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，．

③二次函数当时，图象与轴有两个交点．

（4）一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．

设一元二次方程的两实根为，且．令，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向： ②对称轴位置： ③判别式： ④端点函数值符号．

①k＜x1≤x2

②x1≤x2＜k

③x1＜k＜x2 af(k)＜0

④k1＜x1≤x2＜k2

word/media/image172_1.png

⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2 f(k1)f(k2) 0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合

⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2

此结论可直接由⑤推出．

（5）二次函数在闭区间上的最值

设在区间上的最大值为，最小值为，令．

（Ⅰ）当时（开口向上）

①若，则 ②若，则 ③若，则

①若，则 ②，则

(Ⅱ)当时(开口向下)

①若，则 ②若，则 ③若，则

①若，则 ②，则．

第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

3、函数零点的求法：

求函数的零点：

（代数法）求方程的实数根；

（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

二次函数．

１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．

２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．

高中数学 必修4知识点

第一章 三角函数

1、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．

第一象限角的集合为

第二象限角的集合为

第三象限角的集合为

第四象限角的集合为

终边在轴上的角的集合为

终边在轴上的角的集合为

终边在坐标轴上的角的集合为

2、与角终边相同的角的集合为

3、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度．

4、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是．

5、弧度制与角度制的换算公式：，，．

6、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．

7、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，，．

8、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，

第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

9、三角函数线：，，．

10.三角函数的基本关系： ； ．.（3） 倒数关系：

11、函数的诱导公式：

，，．

，，．

，，．

，，．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

，．，．

口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

12、①的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．

②数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数

的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．

13、函数的性质：

振幅：；周期：；频率：；相位：；初相：．

函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．

14、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

第三章 三角恒等变换

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

； ；

； ；

（）；

（）．

2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

．

升幂公式

降幂公式，．

3、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的形式。，其中．

数学选修2-2

导数及其应用

一.导数概念的引入

1. 导数的物理意义：

瞬时速率。一般的，函数在处的瞬时变化率是，

我们称它为函数在处的导数，记作或，即=

2. 导数的几何意义：

曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切。容易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即

3. 导函数：当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为的导函数.的导函数有时也记作,即

二.导数的计算

基本初等函数的导数公式:

1若(c为常数)，则； 2 若,则;

3 若,则 4 若,则;

5 若,则 6 若,则

7 若,则 8 若,则

导数的运算法则

1. 2.

3.

复合函数求导 和,称则可以表示成为的函数,即为一个复合函数

三.导数在研究函数中的应用

1.函数的单调性与导数:

一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内

(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减.

2.函数的极值与导数

极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.

求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值;

4.函数的最大(小)值与导数

求函数在上的最大值与最小值的步骤：

(1)求函数在内的极值；

(2)将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.

附：高中数学常用公式及常用结论.

1.函数的单调性

(1)设word/media/image389_1.png那么

word/media/image390_1.pngword/media/image391_1.pngword/media/image392_1.png上是增函数；

word/media/image393_1.pngword/media/image394_1.png上是减函数.

(2)设函数word/media/image395_1.png在某个区间内可导，如果word/media/image396_1.png，则word/media/image397_1.png为增函数；如果word/media/image398_1.png，则word/media/image397_1.png为减函数.

2.如果函数word/media/image399_1.png和word/media/image400_1.png都是减函数,则在公共定义域内,和函数word/media/image401_1.png也是减函数; 如果函数word/media/image402_1.png和word/media/image403_1.png在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数word/media/image404_1.png是增函数.

3．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

4.若函数word/media/image405_1.png是偶函数，则word/media/image406_1.png；若函数word/media/image407_1.png是偶函数，则word/media/image408_1.png.

5.对于函数word/media/image405_1.png(word/media/image409_1.png),word/media/image410_1.png恒成立,则函数word/media/image411_1.png的对称轴是函数word/media/image412_1.png;两个函数word/media/image413_1.png与word/media/image414_1.png 的图象关于直线word/media/image415_1.png对称.

6.若word/media/image416_1.png,则函数word/media/image405_1.png的图象关于点word/media/image417_1.png对称; 若word/media/image418_1.png,则函数word/media/image405_1.png为周期为word/media/image419_1.png的周期函数.

7．多项式函数word/media/image420_1.png的奇偶性

多项式函数word/media/image421_1.png是奇函数word/media/image422_1.pngword/media/image421_1.png的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数word/media/image421_1.png是偶函数word/media/image422_1.pngword/media/image421_1.png的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

26．互为反函数的两个函数的关系

word/media/image423_1.png.

27.若函数word/media/image424_1.png存在反函数,则其反函数为word/media/image425_1.png,并不是word/media/image426_1.png,而函数word/media/image427_1.png是word/media/image428_1.png的反函数.

28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数word/media/image429_1.png,word/media/image430_1.png.

(2)指数函数word/media/image431_1.png,word/media/image432_1.png.

(3)对数函数word/media/image433_1.png,word/media/image434_1.png.

(4)幂函数word/media/image435_1.png,word/media/image436_1.png.

(5)余弦函数word/media/image437_1.png,正弦函数word/media/image438_1.png，word/media/image439_1.png，

word/media/image440_1.png.

29.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）word/media/image441_1.png，则word/media/image442_1.png的周期T=a；

（2）word/media/image443_1.png，或word/media/image444_1.png，或word/media/image445_1.pngword/media/image446_1.png,

或word/media/image447_1.png,则word/media/image442_1.png的周期T=2a；

(3)word/media/image448_1.png，则word/media/image442_1.png的周期T=3a；

(4)word/media/image449_1.png且word/media/image450_1.png，则word/media/image442_1.png的周期T=4a；

(5)word/media/image451_1.png

word/media/image452_1.png,则word/media/image442_1.png的周期T=5a；

(6)word/media/image453_1.png，则word/media/image442_1.png的周期T=6a.

30.分数指数幂

(1)word/media/image454_1.png（word/media/image455_1.png，且word/media/image456_1.png）. (2)word/media/image457_1.png（word/media/image455_1.png，且word/media/image456_1.png）.

32．有理指数幂的运算性质

(1) word/media/image458_1.png. (2) word/media/image459_1.png. (3)word/media/image460_1.png.

注： 若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

45.同角三角函数的基本关系式

word/media/image461_1.png，word/media/image462_1.png=word/media/image463_1.png，word/media/image464_1.png.

46.正弦、余弦的诱导公式

word/media/image465_1.png

word/media/image466_1.png

47.和角与差角公式

word/media/image467_1.png;word/media/image468_1.png;

word/media/image469_1.png.word/media/image470_1.png(平方正弦公式);

word/media/image471_1.png.

word/media/image472_1.png=word/media/image473_1.png(辅助角word/media/image474_1.png所在象限由点word/media/image475_1.png的象限决定,word/media/image476_1.png ).

48.二倍角公式

word/media/image477_1.png. word/media/image478_1.png. word/media/image479_1.png.

49. 三倍角公式

word/media/image480_1.png.

word/media/image481_1.png.word/media/image482_1.png.

50.三角函数的周期公式

函数word/media/image483_1.png，x∈R及函数word/media/image484_1.png，x∈R(A,ω,word/media/image474_1.png为常数，且A≠0，ω＞0)的周期word/media/image485_1.png；函数word/media/image486_1.png，word/media/image487_1.png(A,ω,word/media/image474_1.png为常数，且A≠0，ω＞0)的周期word/media/image488_1.png.

51.正弦定理 

word/media/image489_1.png.

52.余弦定理

word/media/image490_1.png;word/media/image491_1.png;word/media/image492_1.png.

191. 函数word/media/image493_1.png在点word/media/image494_1.png处的导数的几何意义

函数word/media/image493_1.png在点word/media/image494_1.png处的导数是曲线word/media/image493_1.png在word/media/image495_1.png处的切线的斜率word/media/image496_1.png，相应的切线方程是word/media/image497_1.png.

192.几种常见函数的导数

(1) word/media/image498_1.png（C为常数）. (2) word/media/image499_1.png.(3) word/media/image500_1.png.(4) word/media/image501_1.png. (5) word/media/image502_1.png；word/media/image503_1.png(6) word/media/image504_1.png; word/media/image505_1.png.

193.导数的运算法则

（1）word/media/image506_1.png.（2）word/media/image507_1.png.（3）word/media/image508_1.png.

194.复合函数的求导法则

设函数word/media/image509_1.png在点word/media/image510_1.png处有导数word/media/image511_1.png，函数word/media/image512_1.png在点word/media/image510_1.png处的对应点U处有导数word/media/image513_1.png，则复合函数word/media/image514_1.png在点word/media/image510_1.png处有导数，且word/media/image515_1.png，或写作word/media/image516_1.png.

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