十一、行船问题

【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。

【数量关系】 （顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速

（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速

顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2

逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2

【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1、一只船顺水行320千米需要用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？

解：由条件知，顺水速=船速+水速=320÷8，而水速为每小时15千米，所以，

船速为每小时320÷8-15=25（千米）；

船的逆水速为25-15=10（千米）；

船逆水行这段路程的时间为320÷10=32（小时）

答：这只船逆水行这段路程需要用32小时。

例2、甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间？

解：由题意得 甲船速+水速=360÷10=36（千米）

甲船速—水速=360÷18=20（千米）

可见（36-20）相当于水速的2倍 所以，

水速为每小时（36—20）÷2=8（千米）

又因为，乙船速—水速=360÷15

所以乙船速为360÷15+8=32（千米）

乙船顺水速为32+8=40（千米）

所以，乙船顺水航行360千米需要360÷40=9（小时） 答：乙船返回原地需要9小时。

例3：一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时576千米，风速为每小时24千米，飞机逆风飞行3小时到达，顺风飞回需要几个小时？

解：这道题可按流水问题来解答。

（1）两城市相距多少千米？

（576-24）×3=1656（千米）

（2）顺风飞回需要几个小时？

1656÷（576+24）=2.76（小时）

列成综合算式

{（576—24）×3}÷（576+24）=2.76（小时）

答：飞机顺风飞回需要2.76小时。

十二、 列车问题

【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。

【数量关系】 火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速

火车追及： 追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）

÷（甲车速－乙车速）

火车相遇： 相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）

÷（甲车速＋乙车速）

【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1、一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需3分钟。这列火车长多少米？

解：火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。

（1）火车3分钟行多少千米？900×3=2700（米）

（2）这列火车长多少米？2700—2400=300（米）

列成综合算式900×3—2400=300（米）

答：这列火车长300米。

例2、一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米？

解：火车过桥所用的时间是2分5秒=125秒，

所走的路程是（8×25）米，

这段路程就是（200米+桥长），

所以，桥长为：8×125—200=800（米）

答：大桥的长度是800米。

例3、一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？

解：从追上到追过，快车比慢车要多行（225+140）米，

而快车比慢车每秒多行（22—17）米，

因此所求的时间为，（225+140）÷（22—17）=73（妙）

答：需要73秒。

三、时钟问题

【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。

【数量关系】 分针的速度是时针的12倍，

二者的速度差为11/12。

通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。

【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。

例1、从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好和分针重合？

解：钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走word/media/image1_1.png=word/media/image2_1.png格。每分钟分针比时针多走（1—word/media/image3_1.png）=word/media/image4_1.png格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以

分针追上时针的时间为20÷（1—word/media/image5_1.png）≈22（分）

答：再经过22分钟时针正好与分针重合。

例2、四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？

解：钟面上有60格，它的word/media/image6_1.png是15格，因而两针成直角的时候相差15格（包括分针在时针的前或后15格两种情况）。四点整的时候，分针在时针后（5×4）格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4—15）格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4+15）格。据1分钟分针比时针多走（1—word/media/image7_1.png）格就求出二针成直角的时间。

（5×4—15）÷（1—word/media/image8_1.png）≈6（分）

（5×4+15）÷（1—word/media/image8_1.png）≈38（分）

答：4点06分及4点38分是两针成直角。

例3、六点与七点之间什么时候时针与分针重合？

解：6点整的时候，分针在时针后(5×6)格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。

（5×6）÷（1—word/media/image8_1.png）≈33（分）

答 ：6点33分的时候分针与时针重合。

四、 盈亏问题

【含义】 根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。

【数量关系】 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：

参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差

如果两次都盈或都亏，则有：

参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差

参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差

【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1、给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？

解：按照“参加分配的总人数=（盈+亏）÷分配差”的数量关系

（1）有小朋友多少人？（11+1）÷（4—3）=12（人）

（2）有多少个苹果？ 3×12+11=47（个）

答：有小朋友12人，有47个苹果。

例2、修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完全场仍得延长4天。这条路全长多少米？

解：题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数=（大亏—小亏）÷分配差”的数量关系，可以得知

原定完成任务的天数

（260×8—300×4）÷（300-260）=22（天）

这条路全长为300×（22+4）=7800（米）

答：这条路全长7800米。

例3：学校组织春游，如果每辆车做40人，就余下30人；如果每辆车做45人，就刚好坐完。问有多少车？有多少人？

解：本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有

（1）有多少车？（30-0）÷（45-40）=6（辆）

（2）有多少人？40×6+30=270（人）

答：有6辆车，270人。

十五、工程问题

【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。

工作量＝工作效率×工作时间

工作时间＝工作量÷工作效率

工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。

例1、一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？

解：题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，吧此项工程看做单位“1”。由于甲队独做许10天完成，那么每天完成工程的word/media/image9_1.png；乙队单独许15天完成，每天完成这项工程的word/media/image10_1.png；两队合作，每天可以完成这项工程的（word/media/image11_1.png+word/media/image12_1.png）。

由此可以列出算式： 1÷（word/media/image13_1.png+word/media/image14_1.png）=1÷word/media/image15_1.png=6（天）

答：两队合作需要6天完成。

例2、一批零件甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合作，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？

解：设总工作量为1，则甲每小时完成word/media/image16_1.png，乙每小时完成word/media/image17_1.png，甲比乙每小时多完成（word/media/image18_1.png），二人合做时每小时完成（word/media/image19_1.png）。因为二人合作需要【1÷（word/media/image20_1.png）】小时，在这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以

（1）每小时甲比乙多做多少零件？

24÷【1÷（word/media/image21_1.png）】=7（个）

（2）这批零件共有多少个？

7÷（word/media/image22_1.png）=168（个）

答：这批零件共有168个。

解2：上面这道题还可以用另一种方法计算。

两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为word/media/image23_1.png：word/media/image24_1.png=4:3

由此可知，甲比乙多完成总工作量的word/media/image25_1.png=word/media/image26_1.png

所以，这批零件共有24÷word/media/image27_1.png=168（个）

例3、一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？

解：必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们社总工作量为12、10和15的某一公倍数，例如最小公倍数是60，则甲、乙、丙三人的工作效率分别是

60÷12=5、60÷10=6、60÷15=4；

因此余下的工作由乙、丙合作还需

（60-5×2）÷（6+4）=5（小时）

答：还需5小时才能做完。

十六、正反比例问题

【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。

【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。

【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。

正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

例1、修一条公路，已修的是未修的word/media/image28_1.png，再修300米后，已修的变成未修的word/media/image29_1.png，求这条公路总长是多少？

解：由条件已知，公路总长不变。

原已修长度：总长度=1：（1+3）=1：4=3：12

现已修长度：总长度=1：（1+2）=1 : 3=4 : 12

比较以上两式可知，把总长度当做12份，则300米相当于（4-3）份，从而知公路总长为

300÷（4-3）×12=3600（米）

答：这条路总长3600米。

例2、张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？

解：做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系

设91分钟可以做X应用题，则有28:4=91：X

28X=94×4 X=376÷28=13（道）

答：91分钟可以做13道应用题。

例3、孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天可以看完？

解：书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系

设X天可以看完，就有24：36=x ：15 36X=24×15 x=360÷36=10

答：10天就可以看完。

十七、 按比例分配问题

【含义】 所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。

【数量关系】 从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。总份数＝比的前后项之和

【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。

例1、 学校把植树560课的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？

解：总份数为47+48+45=140

一班植树560×word/media/image30_1.png =188（棵）

二班植树560×word/media/image31_1.png=192（棵）

三班植树560×word/media/image32_1.png=180（棵）

答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。

例2、用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3:4:5.三条边的长各是多少？

解：3+4+5=12

60×word/media/image33_1.png=15（厘米） 60×word/media/image34_1.png=20（厘米） 60×word/media/image35_1.png=25（厘米）

答：三角形三条边的长分别是15厘米，20厘米，25厘米。

例3、从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子份总数的word/media/image36_1.png，二儿子份总数的word/media/image37_1.png，三儿子分总数word/media/image38_1.png，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊？

解：如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解答，则很容易得到

word/media/image39_1.png=9：6：2 9+6+2=17

17×word/media/image40_1.png=9 17×word/media/image41_1.png=6 17×word/media/image42_1.png=2

答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊。

十八、 百分数问题

【含义】 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。

在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。

【数量关系】 掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：

百分数＝比较量÷标准量

标准量＝比较量÷百分数

【解题思路和方法】 一般有三种基本类型：

（1）求一个数是另一个数的百分之几；

（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；

（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。

例1、创库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几？

解：（1）用去的占720÷（720+6480）=10％

（2）剩下的占6480÷（720+6480）=90％

答：用去了10％，剩下的90％。

例2、红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几？

解：本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较量

所以（525-420）÷525=0.2=20％或者1-420÷525=0.2=20％

答：男职工人数比女职工少20％。

例3、红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分之几？

解：本题中男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数是比较量

因此（525-420）÷420=0.22=25％或者525÷420-1=0.25=25％

答：女职工人数比男职工多25％。

十九、“牛吃草”问题

【含义】 “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

【数量关系】 草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数

【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。

例1、一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？

解：草是均匀生长的，所以，草总量=原有草量+草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛？

设每头牛每天吃草量为1，按一下步骤来解答：

（1）求草每天的生长量

因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有的草量加上20 天内的生长量，所以

1×10×20=原有草量+20天内的生长量

同理1×15×10=原有草量+10天内生长量；

由此可知（20-10）天内草的生长量为1×10×20-1×15×10=50

因此，草每天的生长量为50÷（20-10）=5

（2）求原有草量

原有草量=10天内总草量-10天内生长量=1×15×10-5×10=100

（3）求5天内草总量

5天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+5×5=125

（4）求多少头牛5天吃完草

因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。因此5天吃完草需要牛的头数125÷5=25（头）

答：需要5头牛5天可以吃完草。

例2、一只船有一漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，三小时可以淘完；如果只有5人淘水，需要10小时才能淘完。求17人几小时淘完？

解：这是一道变相的”牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间，设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：

（1）求每小时的进水量

因为，3小时内的总水量=1×12×3=原有水量+3小时进水量

10小时内的总水量=1×5×10=原有水量+10小时进水量

所以，（10-3）小时内的进水量为1×5×10-1×12×3=14

因此，每小时的进水量为14÷（10-3）=2

（2）求淘水前原有水量

原有水量=1×12×3-3小时进水量=36-2×3=30

（3）求17人几小时淘完

17人每小时的淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17-2），所以17人淘完水的时间是

30÷（17-2）=2

答：17人2小时可以淘完水。

二十、 鸡兔同笼问题

【含义】 这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。

【数量关系】第一鸡兔同笼问题：

假设全都是鸡，则有

兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）

假设全都是兔，则有

鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）

第二鸡兔同笼问题：

假设全都是鸡，则有

兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

假设全都是兔，则有

鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

【解题思路和方法】 解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。

例1、长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里，数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？

解：假设35只全为兔，则

鸡数=（4×35-94）÷（4-2）=23（只）

兔数=35-23=12（只）

也可以先假设35只全为鸡，则

兔数=（94-2×35）÷（4-2）=12（只）

鸡数=35-12=23（只）

答：有鸡23只，有兔12只。

例2、 2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共种16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？

解：此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（1÷2千克）”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（3÷5）千克”与“每只兔子有4只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔总数”相对应。假设16亩全都是菠菜，

则有 白菜亩数=（9-1÷2×16）÷（3÷5-1÷2）=10亩

答：白菜地有10亩。

例3、李老师用69元给学校买作业本和日记本公45本，作业本每本3.2元，日记本每本0.7元。问作业本和日记本各买了多少本？

解：此题可变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本，

则有

作业本书=（69-0.7×45）÷(3.2-0.7)=15(本)

日记本数=45-15=30(本)

答:作业本有15本,日记本有30本.

其实，文章中给孩子归纳总结的30个类型，其实都应该是孩子自己的工作，但大部分孩子都做不到，但班上成绩顶尖的孩子往往却能做得非常好，不信，叫孩子借学霸们的笔记本来看看。

归纳总结的能力在孩子12年学习生涯中都是很重要的，尤其是上初中以后，年级越高，对孩子自身的学习能力要求就越高，如果孩子不具备这种能力，那么学习起来相当吃力，甚至吃力不讨好！所以家长们要注意培养孩子归纳总结以及记忆能力。

小升初30道必考数学应用题-带答案