2006年高考.全国Ⅱ卷.理科数学试题及详细解答

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2006年普通高等学校招生全国统一考试(全国II
数学(理工农医类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷12页,第Ⅱ卷3 4页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.满分150分,考试时间120分钟. 注意事项:
1
答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚,并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定的位置贴好条形码.
2 每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试卷上的答案无效. 参考公式:
如果事件AB互斥,那么 球的表面公式 P(ABP(AP(B S4πR2
如果事件AB相互独立,那么 其中R表示球的半径 P(ABP(AP(B 球的体积公式
4如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么 VπR2 3n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 P(kCnPk(1Pnk
本卷共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
k
第Ⅰ卷(选择题 30分)
一、选择题
1)已知集合M={x|x3N={x|log2x1,则MN
A Bx|0x3 Cx|1x3 Dx|2x3 2)函数ysin2xcos2x的最小正周期是
ππA2π B4π C D
4233
(1i233Ai B)-i Ci D)-i
22(4过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为 3939A (B (C (D
1616832 1 (共14页)

x22(5已知△ABC的顶点BC在椭圆y1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个3焦点在BC边上,则△ABC的周长是
A23 B6 C43 D12 6)函数ylnx1(x0的反函数为
Ayex1(xR Byex1(xR
Cyex1(x1 (Dyex1(x1 ππ7)如图,平面α⊥平面βAαBβAB与两平面αβ所成的角分别为,过AB46分别作两平面交线的垂线,垂足为AB,则ABAB A21 B31 C32 D43 8)函数yf(x的图像与函数g(xlog2x(x0的图像关于原点 对称,则f(x的表达式为
1(Af(x(x0 (Bf(xlog2(x(x0 log2x(Cf(x=-log2x(x0 (Df(x=-log2(x(x0 x2y249)已知双曲线221的一条渐近线方程为yx,则双曲线的离心率为
3ab5453A (B (C (D
3342(10f(sinx3cos2x,则f(cosx
A3cos2x B3sin2x C3cos2x D3sin2x
S31S611)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若,则
S63S123111A B C D
103891912)函数f(x|xn|的最小值为
i1A190 B171 C90 D45
2 (共14页)
α A B A
B β


2006年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理工农医类)
第Ⅱ卷
(本卷共10小题,共90分)
注意事项:
1.考生不能将答案直接答在试卷上,必须答在答题卡上. 2.答题前,请认真阅读答题卡上的“注意事项”
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡上.
113)在(x410的展开式中常数项是 (用数字作答)
x14)已知△ABC的三个内角ABC成等差数列,且AB1BC4,则边BC上的中线AD的长为 15)过点(12)的直线l将圆(x22y24分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k
16)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在[25003000(元)月收入段应抽出 人. 频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003
0.0002

0.0001 月收入(

1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17(本小题满分12分)
ππ已知向量a(sinθ1b(1cosθ,-θ
22(Ⅰ)若ab,求θ
3 (共14页)

(Ⅱ)求|ab|的最大值. 18(本小题满分12分)
某批产品成箱包装,每箱5件.一用户在购进该批产品前先取出3箱,再从每箱中任意抽2件产品进行检验.设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品,其余为一等品.
(Ⅰ)用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数,求ξ的分布列及ξ的数学期望;
(Ⅱ)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批产品级用户拒绝的概率.
19(本小题满分12分)
如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABBCDE分别为BB1AC1的中点. (Ⅰ)证明:ED为异面直线BB1AC1的公垂线;
C1 B1 (Ⅱ)设AA1AC2AB,求二面角A1ADC1的大小.
A1

D
E

C B 20(本小题满分12分)
A 设函数f(x(x1ln(x1,若对所有的x0,都有f(xax成立,求实数a的取值范围. 21(本小题满分14分)
已知抛物线x24y的焦点为FAB是抛物线上的两动点,且AFλFBλ0.过AB两点分别作抛物线的切线,设其交点为
(Ⅰ)证明FM·AB为定值;
(Ⅱ)设△ABM的面积为S,写出Sf(λ的表达式,并求S的最小值. 22(本小题满分12分)
设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2anxan0有一根为Sn1n123,…. (Ⅰ)求a1a2 (Ⅱ)an}的通项公式.
4 (共14页)

2006年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题(必修+选修Ⅱ)参考答案和评分参考
评分说明:
1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数—选择题和填空题不给中间分.
一.选择题
1)已知集合M{x|x3},Nx|log2x1,则 M

A Bx|0x3 Cx|1x3 Dx|2x3
N(D 解析:Nxlog2x1xx2,用数轴表示可得答案D 考察知识点有对数函数的单调性,集合的交集 本题比较容易. 2)函数ysin2xcos2x的最小正周期是(D D 4212解析: ysin2xcos2xsin4x所以最小正周期为T,故选D 242
A2 B4 C考察知识点有二倍角公式,最小正周期公式 本题比较容易. 33(A (1i2 A33i Bi Ci Di 22解析:333i3i3i 故选A 22(1i2i2i22本题考察的知识点复数的运算,(乘法和除法,比较简单
4过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为(A 5 (共14页)

A3399 B C D
816163232R32,故选A 4R216解析:设球的半径为R, 过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,由勾股定理可得一个半径为S3R的圆,所以1S22(本题主要考察截面的形状和球的表面积公式,难度中等
x2y21上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另5)已知ABC的顶点BC在椭圆3外一个焦点在BC边上,则ABC的周长是 ( C
A23 B6 C43 D12 解析(数形结合由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得ABC的周长为4a=43,所以选C 本题主要考察数形结合的思想和椭圆的基本性质,难度中等 6)函数ylnx1(x0的反函数为(B

AyeCyex1(xR Byex1(xR
x1(x1 Dyex1(x1
y1解析:ylnx1(x0lnxy1xe(yR所以反函数为yex1(xR故选B 本题主要考察反函数的求法和对数式与指数式的互化,难度中等
7)如图,平面平面A,B,AB与两平面所成的角分别为AB分别作两平面交线的垂线,垂足为A'B',AB:A'B'(A

A2:1 B3:1 C3:2 D4:3
AB'A'B。过46:ABAB,AB=a,ABBAB4,RtBAB中有AB21a,同理可得AB与平面所成的角为ABA,所以AAa,262 6 (共14页)

此在RtAABAB(122121a(aa,所以AB:A'B'a:a2:1,故选A 2222本题主要考察直线与平面所成的角以及线面的垂直关系,要用到勾股定理及直角三角形中的边角关系.有一定的难度
8)函数yf(x的图像与函数g(xlog2x(x0的图像关于原点对称,则f(x的表达式为(D
Af(x11(x0 Bf(x(x0 log2xlog2(x
Cf(xlog2x(x0 Df(xlog2(x(x0
解析(x,y关于原点的对称点为(-x,-y,所以g(xlog2x(x0f(xlog2(x(x0 故选D 本题主要考察对称的性质和对数的相关性质,比较简单,但是容易把f(x1(x0log2(xf(xlog2(x(x0搞混,其实f(xlog2(xlog21 xx2y249)已知双曲线221的一条渐近线方程为yx,则双曲线的离心率为(A ab3
A5453 B C D 3342b4c32425,故选A 解析:双曲线焦点在x,由渐近线方程可得,可得ea3a33本题主要考察双曲线的渐近线方程和离心率公式,涉及a,b,c间的关系,比较简单 10)若f(sinx3cos2x, f(cosx=(C

A3cos2x B3sin2x C3cos2x D3sin2x
2
2解析:f(sinx3cos2x3(12sinx2sinx2
所以f(x2x2,因此f(cosx2cosx2(2cosx133cos2x故选C 本题主要考察函数解析式的变换和三角函数的二倍角公式,记忆的成分较重,难度一般
7 (共14页)
2
2
2
11)设Sn是等差数列an的前n项和,若S31S6(A S63S12 A1113 B C D
38910S33a13d1,可得a12dd0 S66a115d3解析:由等差数列的求和公式可得所以S66a115d27d3,故选A S1212a166d90d10本题主要考察等比数列的求和公式,难度一般 12)函数f(x
xn的最小值为(C n119A190 B171 C90 D45 解析:f(xxnx1x2x3n119x19表示数轴上一点到1,2,319的距离之和,可知x119最中间时f(x取最小值.x=10f(x有最小值90,故选C 本题主要考察求和符号的意义和绝对值的几何意义,难度稍大,且求和符号不在高中要求范围内,只在线性回归中简单提到过. 理科数学
第II卷(非选择题,共90分)
注意事项: 本卷共2页,10小题,用黑碳素笔将答案答在答题卡上。答在试卷上的答案无效。 二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在横线上。 13)在(x的展开式中常数项为 45(用数字作答) 解析: Tr1C10(xr410r41x101r405r要求常数项,40-5r=0,可得r=8代入通项公式可得(rC10xx82Tr1C10C1045
本题利用二项式的通项公式(让次数为0,求出r就可求出答案,比较简单
14已知ABC的三个内角ABC成等差数列,AB1,BC4,则边BC上的中线AD的长为

3
解析: ABC的三个内角ABC成等差数列可得A+C=2BA+B+C=可得B 8 (共14页)
3


AD为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得AD3 本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等
2215)过点(1,2的直线l将圆(x2y4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k
2
222解析(数形结合由图形可知点A(1,2在圆(x2y4的内部, 圆心为O(2,0要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线lOA,所以kl112 kOA22本题主要考察数形结合思想和两条相互垂直的直线的斜率的关系,难度中等
16)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图)为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在[2500,3000元)月收入段应抽出 25 人。
频率/组距0.00050.00040.00030.00020.0001月收入(元)1000150020002500300035004000
解析:由直方图可得[2500,3000(元)月收入段共有100000.00055002500 按分层抽样应抽出250010025
10000本题主要考察直方图和分层抽样,难度一般
三.解答题:本大题共6小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17(本小题满分12分)


已知向量a(sin,1,b(1,cos,22.
I)若ab,; II)求ab的最大值。
9 (共14页)

(1. ab,ab0sincos04
(2.ab(sin1,cos1(sin12(cos12sin22sin1cos22cos12(sincos322sin(3
4sin(4=1ab有最大值,此时4
最大值为22321
本题主要考察以下知识点1.向量垂直转化为数量积为0 2.特殊角的三角函数值 3.三角函数的基本关系以及三角函数的有界性 4.已知向量的坐标表示求模 难度中等,计算量不大
18(本小题满分12分) 某批产品成箱包装,每箱5件,一用户在购进该批产品前先取出3箱,再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品,其余为一等品。

I)用表示抽检的6件产品中二等品的件数,求的分布列及的数学期望;
II)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批产品被用户拒绝的概率。
(1. 0,1,2,3
1122C3218C32C4C3C2C4C19244 P( 1 =222 P( 0=22C5C510050C5C5C5C52501112212C3C2C4C4C2C4C2152 P(22P(322222C5C5C5C550C5C550所以的分布列为

P
0
9
501 2 3 2
502415 5050924152的数学期望E(=01231.2

5050505015217(2P(2=P(2P(3
505050 10 (共14页)

本题主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率,难度对于民族地区学生较大 19(本小题满分12分)


如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABBC,DE分别为BB1AC1的中点。
C1A1
D
EB1I)证明:ED为异面直线BB1AC1的公垂线;
AADC1的大小。 II)设AA1AC2AB,求二面角1提示:1证明与两条异面直线都垂直相交 利用等腰三角形C1DA

C
A
BAABB1内的C2 A1D,AA1AC2AB,可得ABC为等腰直角三角形,因此1在平面1射影为点A1所以COSSA1DASC1DA1,所以二面角AADC(601123
本题主要考察以下知识点1.异面直线的公垂线段的定义(与两条异面直线均垂直切相交
2.直棱柱的性质(侧棱垂至于底面 3.三角形的边的关系
4.二面角的求法(可用射影面积或者直接作出二面角 难度对于民族地区考生较大

20(本小题12分)


设函数f(x(x1ln(x1.若对所有的x0,都有f(xax成立,求实数a的取值范围。
解析:g(x(x1ln(x1ax g(x求导得g(xln(x11a
g(x0xea11
a1,对所有的x>0都有g(x0,所以g(x0,上为单调增函数 g(0=0,所以对x0时有g(xg(0 即当a1时都有f(xax所以a1成立 a>1,对于0xe所以对于0xea1a11,g(x0 所以g(x0,ea11上是减函数,g(0=0

1g(xg(0
f(x 所以当a>1f(xax不一定成立
11 (共14页)

综上所述可知a的取值范围是,1
本题主要考察了函数的导数和利用导数判断函数的单调性,涉及分类讨论的数学思想 难度较大

21(本小题满分为14分)

2已知抛物线x4y的焦点为FAB是抛物线上的两动点,AFFB(0.AB两点分别作抛物线的切线,设其交点为M

I)证明FM.AB为定值;
II)设ABM的面积为S,写出Sf(的表达式,并求S的最小值。
2x12x2提示 F点的坐标为(0,1A点的坐标为x1, B点的坐标为x2,
442x2x12AFFB(0.可得x1,1x,12
44x1x222因此1x1(x21 44x12x1(xx1 (1 A点的切线方程为y422x2x2(xx2 (2 B点的切线方程为y42(1( 2构成的方程组可得点M的坐标,从而得到FMAB=0 即为定值 2. FMAB=0可得FMAB三角形面积Sf(
FMAB 2FM1,AB(12
12 (共14页)

FMAB11313(24 所以Sf(222当且仅当1时取等号
本题主要考察共线向量的关系,曲线的切线方程,直线的交点以及向量的数量积等知识点 涉及均值不等式,计算较复杂.难度很大 22(本小题满分12分)



设数列an的前n项和为Sn,且方程

x2anxan0
有一根为Sn1,n1,2,3,...
I)求a1,a2;
II)求an的通项公式
2提示:1 Sn1,n1,2,3,...为方程的根,代入方程可得(Sn1an(Sn1an0
n=1n=2代入上式可得a111 a2 261
n(n12. 求出a1,a2,a3,a4,可猜想an并用数学归纳法进行证明
本题主要考察1.一般数列的通项公式 求和公式间的关系 2.方程的根的意义(根代入方程成立
3.(an1n(n1an111然后求和,中间项均抵消,只剩下首项和末项,可得Sn
n(n1nn1难道较大,不过计算较易,数列的前面一些项的关系也比较容易发现

13 (共14页)

试卷总体评价难度不算大,考察知识点不多.注重对一些基本公式以及数形结合等数学思想的考察,选择题填空题较简单,但解答题有一定的难度,保证学习一般的学生能拿到100左右的分,但是得高分也比较困难.有较好的区分度
函数的周期性以及函数的连续性和极限等知识点没在试卷的考察范围内,新题不多.
14 (共14页)

2006年高考.全国Ⅱ卷.理科数学试题及详细解答

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