高中数学题型全面归纳不等式选讲.docx

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第三节 不等式选讲 ( 选修 4-5


考纲解读
1. 了解绝对值的几何意义， 会利用绝对值的定义解不等式， 利用绝对值不等式证明不等式和求最值 . 2. 了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位 3. 了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.


.
.


4. 会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式
命题趋势探究
本节内容为新课标新增内容， 是高考选考内容 . 题型以含绝对值的不等式的解法和证明
为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档
.
知识点精讲
一、不等式的性质
1. 同向合成
（ 1） a （ 2） a （ 3） a
b, b c b,c
d
a
c ；


a c b d ； d
0 ac
bd .
b 0,c


（合成后为必要条件）
2. 同解变形
（ 1） a （ 2） a








b b
a c b c 0, ac



c ； bc
0

c
a

0, ac bc ；
（ 3） a b 0




1 b
1 a

b 0 .


（变形后为充要条件）
3. 作差比较法
a b


a b 0, a b a b 0
二、含绝对值的不等式
（ 1） a
0,| x | a

a x a ； a 0,| x |


a

x a, 或x a

（ 2） | a | | b |
a2 b2
（ 3） | x a | | x b | c 零点分段讨论






三、基本不等式

（ 1） a2 b2



2ab （当且仅当等号成立条件为 a b ）

（ 2） a
0, b
0, a
2
b 2 ab （当且仅当等号成立条件为 a b ）；





a 0, b


0, c

0, a b
c
3 abc （当且仅当 a




b


c时等号成立）




3




（ 3）柯西不等式

(a2 b2 (c2 d 2 (ac bd 2 （当且仅当 ad bc 时取等号）
a2 b2 c2
d 2
①几何意义： | a b |≤| a || b | | ad bc | ②推广： (a12 a22 当向量 a = ( a1 , a2 ,



an2 ( b12
b22 bn2 ( a1 b1 a2 b2 an bn 2 . 当且仅
, an 与向量 b = (b1 , b2 , , bn 共线时等号成立 .
.
四、不等式的证明
（ 1）作差比较法、作商比较法 （ 2）综合法——由因到果 . （ 3）分析法——执果索因 . （ 4）数学归纳法 .
（ 5）构造辅助函数利用单调性证明不等式. （ 6）反证法 . （ 7）放缩法 .





题型归纳即思路提示




题型 201 含绝对值的不等式





一、解含绝对值的不等式 思路提示
对于含绝对值的不等式问题，首先要考虑的是根据绝对值的意义去掉绝对值 . 常用的去绝对值方法

是零点分段法 . 特别用于多个绝对值的和或差不等式问题 . 若单个绝对值的不等式常用以下结论：










| f (x | g (x


g( x
f ( x
g( x ；




| f (x | g (x
f ( x g ( x或f ( x
g( x ；

| f (x | | g( x |
f 2 ( x g 2( x ( f ( x g( x( f ( x g(x 0 .
x2 来去绝对值 .

有时去绝对值也可根据 | x |2
例 16.14 (2015 ·山东 解不等式 |x － 1| －|x － 5|<2 的解集．




变式 1
变式 2





不等式 | x
5 |
| x 3| 10
的解集是（ ）
















A.
[ 5,7]
B.
[ 4,6] C. ( , 5] [7, D. ( , 4] [6,

已知函数 f ( x | x 2 | | x 5| .
（ 1）证明：
3 f (x 3；
（ 2）求不等式
f ( x x2 8x 15 的解集














.
二、含绝对值不等式恒成立，求参数问题

1



若不等式 |2x － 1| ＋ |x ＋2| ≥ a2＋ 2a＋ 2 对任意实数 x 恒成立，则实数 例 16.15
范围为 ________.
a 的取值
1
变式 1 不等式 x＋ x ≥|a－2|＋ sin y 对一切非零实数 x， y 均成立，求实数 a
的取值范围 .


变式 2 若不等式 |kx － 4| ≤ 2 的解集为 {x|1 ≤ x≤ 3} ，则实数 k＝ ________.





变式 3 (2017·石家庄调研 设函数 f(x＝|x －3| －|x ＋ 1| ， x∈ R.


(1 解不等式 f(x< － 1；


(2 设函数 g(x＝ |x ＋ a| － 4，且 g(x≤f(x在 x∈ [－ 2,2] 上恒成立，求实数 a 的取值范围．
三、含绝对值（方程）不等式有解，求参数问题
例 16.16 (2016 ·深圳模拟 若关于 x 的不等式 |2 014－ x|＋ |2 015－ x|≤ d 有解，求 d 的取值范围．
变式 2


已知 a


R ，关于 x 的方程 x2
x | a

14
| | a | 0 有实根，求 a 的取值范围 .

四、已知含绝对值不等式的解集，求参数的值或范围 例 16.17 (
全国卷 I 卷（理））已知函数 f （ x） =–x2+ax+4， g(x= │x+1│ +x│– 1│.
（ 1）当 a=1 时，求不等式 f（ x）≥g（ x）的解集；

（ 2）若不等式 f（ x） ≥g（ x）的解集包含 [–1， 1]，求 a 的取值范围 .



变式 1 设函数 f ( x | x a | 3x ，其中 a 0 .
(1 当 a 1 时，求不等式 f ( x 3x 2 的解集；
(2
若不等式 f ( x
0 的解集为
x | x 1 ，求 a 的值 .
变式 2 (2017 ·开封模拟 设函数 f(x
＝ |x － a| ， a<0.
1
(1 证明： f(x ＋ f － x ≥2；
1
(2 若不等式 f(x ＋ f(2x< 2 的解集非空，求 a 的取值范围．
变式 3 (2012 山东理 13
若不等式 | kx 4 | 2 的解集为 x |1 x 3 ，则实数 k =
.













题型 202 不等式的证明


一、比较法（差值法和比值法） 思路提示
将待比较的两个代数式通过作差或作商，与
0 与 1进行比较，得到大小关系 .
2222例 16. 18 (2014 ·常州期末 已知 x≥1， y≥1，求证： xy+xy+ 1≤xy+x+y.
变式 1
(2015 ·徐州、连云港、宿迁三检a2b2 b2c2 c2 a2
a
b
c
≥abc.
已知 a，b，c都是正数，求证：









二、利用函数的单调性证明 思路提示
使用对象 ：在某区间成立的函数不等式、数值不等式的证明通常是通过辅助函数完成
的 .
解题程序 ：（ 1）移项（有时需要作简单的恒等变形） ，使不等式一端为 0 ，另一端为所
作辅助函数 f ( x .



（ 2）求 f ( x 并验证 f (x 在指定区间上的单调性

.
（ 3）求出区间端点的函数值（或极限值） ，其中至少有一个为 0 或已知符号，作比较即得所证 . 例 16. 19


已知 0


x 1，求证： x sin x
1 x3 . 6


变式 1


证明：当 0 x

时，
2x
sin x x .

2

三、综合法与分析法 思路提示















字母 A, A1 , A2 ,


, An , B 分别表示一组不等式， 其中 B 为已知不等式， A 为待证不等式 .
An






若有

A
A1


A2
B ，综合法是由 B 前进式地推导 A ，分析法是由 A 倒退





式地分析到
B . 用分析法时，必须步步可逆
.





1. 综合法（由因到果）
1 1 1
例 16.20


已知 a，b，c>0 且互不相等， abc＝1. 试证明： a＋ b＋ c＜a＋b＋c.

变式 1 已知 a， b， c， d 均为正数，且

ad＝ bc.


(1 证明：若 a＋ d>b＋ c，则 |a－ d|>|b－c|；
(2 t· a2＋ b2 c2＋ d2＝ a4＋ c4＋ b4＋ d4，求实数 t 的取值范围． .





2. 分析法（由果索因）


16.21(2017 ·沈阳模拟 设 a， b， c>0，且 ab＋ bc＋ ca＝ 1. 求证：



(1a ＋b＋ c≥


3；




a b
(2

bc＋ ac＋

c


ab≥
3(

a＋ b ＋ c ．



c2＋a22
＝ a2＋ b2＋c2( 当且仅当 a＝b＝ c 时等号成立 证得．

所以原不等式成立．

(2


a bc a＋ b＋ c ＋＋＝. bcacab abc 变式 1
已知 a>b>c，且 a＋ b＋ c＝ 0，求证： b2－ ac< 3a.





四、反证法 思路提示
从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结
论是正确的 . 它的依据是原命题与逆否命题同真假
.
2例16. 22 设二次函数 f(x=x+px+q ，求证： |f(1|， |f(2|， |f(3|中至少有一个不小


1
于 .
2变式 1

已知 a, b, R

3 3
a b

2求证：, 2

.


， a b





五、放 法 思路提示
预 证 A
B ， 可 通 过 适 当 放 大 或 缩 小 ， 借 助 一 个 或 多 个 中 间 量 ， 使 得
B B1 , B1 B2 , , BK A 或 A A1, A1 A2 , , AK B ，再利用传递性， 达到证明目的，
常见的放缩途径有“添舍”放缩、 例16. 23

“分母”放缩和“单调”放缩 .
(2015 ·安徽卷 n∈N* ，xn是曲 y=x 2n+ 2+1在点 (1，2 的切 与 x 交
点的横坐 .


(1 求数列 { xn} 的通 公式；

x12 x32

x221
n-1
(2 Tn =
·⋯·
，求 ： Tn≥4n .





变式 1
证明： nn
(n
1n 1( n 2,n N .
变式 2 若 a，b∈ R，求证： |a＋ b| ≤
|a| ＋ |b|
1 ＋ |a＋ b| 1＋ |a| 1＋ |b|.







例 16. 24
求证： 1
b

c

d a
2(a,b, c, d R .
a b c b c d c d a d a b
例 16. 25 设 a,b, c, m R ，且满足 am 三角形，并判断该三角形的形状 .
bm cm

m取何值时，以 a,b, c 为边可构成

，问






六、三角换元法 思路提示
若 x2


y 2 1， x2
y2 2
1等为已知条件，求证不等式时，利用三角换元法较容易，

但是务必注意换元前后参数的范围变化.
2222例 16. 26 （ 2017 江苏卷） 已知 a,b,c,d 为实数，且 a+b=4,c+d=16,证明 ac+bd 8.
变式 1
设 x, y
R ， 2
x

y
2
，求证：
x y
5
|
|


七、构造法

3 4 12

思路提示
一般说来，用构造法证明不等式，常见的构造方法如下： （ 1）构造辅助函数 . （ 2）构造辅助数列 . （ 3）构造几何图形 . 例 16. 27
设 x, y
R ， b
0 ，若 0 a
1 ，求证： b b2



b

1 . a 1













.





例 16. 28


已知 a,b, c为三角形的三边长，求证：
a b


c 1 c

1 a 1 b
.
变式 1


证明：

| a b || a || b | .
1 | a b | 1 | a | 1 | b |

变式 2


已知 x


0 且 x 1， m

n 0 ，求证： x m1x

xn



1

mxn
.例 16. 29
证明：当 x
1 且 x 0 时，有 (1 xn 1 nx (n
N .





例 16. 30


设 a,b, c
R ，求证： a2 b2
b2 c2 a2 c2
2( a b c .
变式 1


设 x, y R ，求证：
x2 3x 3 y2 3y 3 x2 3xy y2
6 .
八、利用柯西不等式证明不等式 思路提示
柯西不等式不仅具有优美的代数表现形式及向量表现形式，
与基本不等式具有密切的关系， 式，不过它的特点更明显应用更直接.
1. 二维形式的柯西不等式 设 x1 , x2 , y1, y2




而且有明显的几何意义， 它
其作用类似于基本不等式可用来求最大












（小） 值或证明不等


R ， (x12 y12 ( x22 y22 ( x1 x2 y1 y2 2 . 等号成立














x1 y2 x2 y1 .


2. 一般形式的柯西不等式 设 a1, a2 , 则 (a1b1

,an 及 b1 ,b2 , ,bn 为任意实数，

an bn 2
an

a2b2

a1 a2 b1 b2

(a12 a22 an2 (b12 b22
0 时 bi 0 ， i

bn2 ，


当且仅当


bn

（规定 ai



1,2, ,n ）时等号成立 .








证法一： 当 ai 全为 0 时，命题显然成立 .
n


n




否则
ai2 0 ，考查关于 x 的二次函数 f ( x

i 1

(ai x bi 2 ，显然 f (x 0恒成立 .
i 1










注意到
n n n n

f ( x

(
i 1
ai2 x2 2(


i 1
ai bi x
i 1 n
bi2 ，而 f ( x 0 恒成立，且ai2

n
0 i 1
，

n





n




n








故 f (x 的判别式不大于零，即
4( ai bi 2 4 ai2
i 1
i 1
bi2 0 ，
i 1

n









整理后得


i 1
ai2
i 1

bi2 ( ai bi 2 .
i 1

证法二：向量的内积证法 . 令 a 因为 a b


( a1 , a2 , , an ， b (b1, b2 , , bn ， 为 a 与 b的夹角 .
|a ||b| cos a,b ，且 | cos a,b | 1 ，所以 | a b| | a ||b|| cos a,b | |a ||b|


|a b| | a || b| ，即 (a1b1 a2 b2
等号成立


222anbn 2 ( a12 a22
a1 b1
a2 b2

2

2 a ( b n 1 2
b 2
b ，
n
2
0 或 180


a,b 平行
an
.bn


柯西不等式提示了任意两组实数积之和的平方与平方和之间的关系，许多复杂的不等式，下面举例说明 .
例 16.31 已知 x， y， z 均为实数． (1 若 x＋ y＋ z＝ 1，求证：
3x＋ 1＋ 3y＋ 2＋ 3z＋3≤ 3 3；
应用它可以简单地证明

(2 若 x＋ 2y＋ 3z ＝ 6，求 x2＋y2＋ z2 的最小值．



变式 1 已知大于 1 的正数 x，y，z 满足 x＋ y＋ z＝ 3 3.求证： ＋ ＋
x＋ 2y＋ 3z y＋ 2z＋ 3x z＋ 2x＋ 3y

x2 y2 z2
3
≥
2







.





变式 2
已知 a
0, b 0, c 0 ， a cos2 bsin 2
c .


求证：
a cos2 b sin2
c .
例 16. 32
设实数 a, b, c满足 a2
2b2 3c2
3 ，求证：
2
3 a 9 b
27 c 1 .












变式 1


已知 n


N , 且 n


2 ，求证： 1 1 1
7 2 1 1
3 4 1 2n 1 1 2n
2 . 2
变式 2


已知正实数 a, b, c 满足 abc 1，求证：



1
a3 (b c 1
b3 (c a 1
c3 (a b
3 . 2
最有效训练题 61( 限时 45 分钟



1. 不等式 | 2x 1| 2


3x 的解集是（


）




A.


x | x

1 2 (



B.
x |

1 2

x
3 5

C.

x | x


3 5
）
D.


x | x




3 5








2. 设 a, b, c




,0 ，则 a


1 , b b
1 , c 1 （ c a



A. 都不大于 3. 若 P A.
2 B. 都不小于
a 7 ， Q

P
2 C. 至少有一个不大于 2 a 3
a 4( a
D. 至少有一个不小于
）



2
a 0 ，则 P, Q 的大小关系是（



P Q B. Q C. P Q D.






由 a 的取值决定
4. 用数学归纳法证明某不等式，左边


1


1 1 2 3
D.

1 4

1 2n

，“从 n k 到
1 n2





1n
A.

k 1 ”应将左边加上（ ）

1 1 1
B.







C.

1 2k 2
）
1

1


k 1

2k 1 2k 4 2k 1 2k 2







5.
f ( x 2 x 3 1 x 的最大值为（

5 B.

A.


12 13 C.

13

13 D.



5 2 2

















6. 若正数 a,b 满足 ab

a b 3 ，则① ab 的取值范围是 ；② a b 的取值范围
是

.
7. 在实数范围内，不等式
| 2x 1| | 2x 1| 6 的解集为
.



8. 若存在实数 x 使 | x a | | x 1| 3 成立，则实数 a 的取值范围是
.
9. 已知 a 0, b 0, c
0 , a b
c . 求证： a b c .




1 a
1 b
1 c
10. 已知函数 f (x | x

a | | x
2 | .




(1
当 a3时，求不等式 f ( x 3 的解集；
(2 若 f ( x | x 4 | 的解集包含 1,2 ，求 a 的取值范围 . 11. 已知函数 f ( x m | x 2 |, m R ，且 f (x
2
0 的解集为 [
1,1].
①求 m 的值；








②若 a, b,c
R ，且1 1

1
a
2b 3c 9 .



m ，求证：


a 2b 3c




12. 已知函数 f (xx 3 ( x


1 . 设数列 an 满足 a1
1， an 1 f ( an ，数列

x 1



足 bn | an 3 | ， Sn b1 b2

bn ( n N .



（1）用数学归纳法证明：
bn

( 3
1n ；




2n 1
（2）证明：S2 3 . n


3












b n 满











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