2010年湖北省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．（5分）（2010•湖北）若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是（　　）

A．E B．F C．G D．H

【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有

【专题】计算题．

【分析】首先在图形上看出复数z的代数形式，再进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，在坐标系中看出对应的点．

【解答】解：观察图形可知z=3+i，

∴，

即对应点H（2，﹣1），

故选D．

【点评】本题考查复数的几何意义，考查根据复数的代数形式，在坐标系中找出对应的点，根据复平面上的点写出对应的复数的表示式，本题是一个基础题．

2．（5分）（2010•湖北）设集合，B={（x，y）|y=3x}，则A∩B的子集的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

【考点】交集及其运算；子集与真子集．菁优网版权所有

【专题】数形结合．

【分析】由题意集合，B={（x，y）|y=3x}，画出A，B集合所表示的图象，看图象的交点，来判断A∩B的子集的个数．

【解答】解：∵集合，

∴为椭圆和指数函数y=3x图象，

如图，可知其有两个不同交点，记为A1、A2，

则A∩B的子集应为∅，{A1}，{A2}，{A1，A2}共四种，

故选A．

【点评】此题利用数形结合的思想来求解，主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道不错的题．

3．（5分）（2010•湖北）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（　　）

A．﹣ B． C．﹣ D．

【考点】正弦定理．菁优网版权所有

【分析】根据正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的边角关系确定∠B的范围，进而利用sin2B+cos2B=1求解．

【解答】解：根据正弦定理可得，

，

解得，

又∵b＜a，

∴B＜A，故B为锐角，

∴，

故选D．

【点评】正弦定理可把边的关系转化为角的关系，进一步可以利用三角函数的变换，注意利用三角形的边角关系确定所求角的范围．

4．（5分）（2010•湖北）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（　　）

A． B． C． D．

【考点】相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有

【专题】计算题．

【分析】根据题意，“事件A，B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立事件，由古典概型的计算方法，可得P（A）、P（B），进而可得P（），由对立事件的概率计算，可得答案．

【解答】解：根据题意，“事件A，B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立事件，

由古典概型的计算方法，可得P（A）=，P（B）=，

则P（）=（1﹣）（1﹣）=，

则“事件A，B中至少有一件发生”的概率为1﹣=；

故选C．

【点评】本题考查相互独立事件的概率的乘法公式，注意分析题意，首先明确事件之间的相互关系（互斥、对立等）．

5．（5分）（2010•湖北）已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【考点】向量的加法及其几何意义．菁优网版权所有

【分析】解题时应注意到，则M为△ABC的重心．

【解答】解：由知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，

则==，

所以有，故m=3，

故选：B．

【点评】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理．

6．（5分）（2010•湖北）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（　　）

A．26，16，8， B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9

【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式．菁优网版权所有

【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．

【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，

则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，

故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人．

故选B

【点评】本题主要考查系统抽样方法．

7．（5分）（2010•湖北）如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设Sn为前n个圆的面积之和，则Sn=（　　）

A．2πr2 B．πr2 C．4πr2 D．6πr2

【考点】极限及其运算．菁优网版权所有

【专题】计算题．

【分析】依题意可知，图形中内切圆面积依次为：，由此可以求出则Sn的值．

【解答】解：依题意分析可知，

图形中内切圆半径分别为：r，r•cos30°，（r•cos30°）cos30°，（r•cos30°，cos30°）cos30°，

即，

则面积依次为：，

所以．

故选C．

【点评】本题考查函数的极限，解题时要认真审题，仔细计算，避免出错．

8．（5分）（2010•湖北）现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（　　）

A．152 B．126 C．90 D．54

【考点】排列、组合的实际应用．菁优网版权所有

【专题】计算题．

【分析】根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．

【解答】解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33=18种；

②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；

1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种；

2°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72种；

由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，

故选B．

【点评】本题考查排列、组合的综合运用，注意要根据题意，进而按一定顺序分情况讨论．

9．（5分）（2010•湖北）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（　　）

A．[，] B．[，3] C．[﹣1，] D．[，3]

【考点】函数与方程的综合运用．菁优网版权所有

【专题】计算题；压轴题；数形结合．

【分析】本题要借助图形来求参数b的取值范围，曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，画出图形即可得出参数b的范围．

【解答】解：曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），

即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图

依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，即解得或，

因为是下半圆故可知（舍），故

当直线过（0，3）时，解得b=3，

故，

故选D．

【点评】考查方程转化为标准形式的能力，及借助图形解决问题的能力．本题是线与圆的位置关系中求参数的一类常见题型．

10．（5分）（2010•湖北）记实数x1，x2，…xn中的最大数为max{x1，x2，…xn}，最小数为min{x1，x2，…xn}．已知△ABC的三边边长为a、b、c（a≤b≤c），定义它的倾斜度为t=max{，，}•min{，，}，x，则“t=1”是“△ABC为等边三角形”的（　　）

A．充分但不必要的条件 B．必要而不充分的条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有

【专题】简易逻辑．

【分析】观察两条件的互推性即可求解．

【解答】解：若△ABC为等边三角形时，即a=b=c，则则t=1；

假设△ABC为等腰三角形，如a=2，b=2，c=3时，

则，

此时t=1仍成立，但△ABC不为等边三角形，所以“t=1”是“△ABC为等边三角形”的必要而不充分的条件．

故选B．

【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属中档题．

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）

11．（5分）（2010•湖北）在（x+）20的展开式中，系数为有理数的项共有 　6　项．

【考点】二项式定理．菁优网版权所有

【专题】计算题．

【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第r+1项，系数为有理数，r必为4的倍数．

【解答】解：二项式展开式的通项公式为

要使系数为有理数，则r必为4的倍数，

所以r可为0，4，8，12，16，20共6种，

故系数为有理数的项共有6项．

故答案为6

【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．

12．（5分）（2010•湖北）已知z=2x﹣y，式中变量x，y满足约束条件，则z的最大值为　5　．

【考点】简单线性规划．菁优网版权所有

【专题】常规题型；作图题．

【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x﹣y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x﹣y过可行域内的点A时，从而得到z=2x﹣y的最大值即可．

【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），

则对于目标函数y=2x﹣z，

当直线经过A（2，﹣1）时，

z取到最大值，Zmax=5．

故答案为：5．

【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．

13．（5分）（2010•湖北）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是　4　cm．

【考点】组合几何体的面积、体积问题．菁优网版权所有

【专题】计算题；综合题；压轴题．

【分析】设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．

【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3×，解得r=4．

故答案为：4

【点评】本题考查几何体的体积，考查学生空间想象能力，是基础题．

14．（5分）（2010•湖北）某射手射击所得环数ξ的分布列如下，已知ξ的期望Eξ=8.9，则y的值为　0.4　．

【考点】离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有

【专题】压轴题．

【分析】根据分布列的概率之和是1，得到关于x和y之间的一个关系式，由变量的期望值，得到另一个关于x和y的关系式，联立方程，解出要求的y的值．

【解答】解：由表格可知：x+0.1+0.3+y=1，

7x+8×0.1+9×0.3+10×y=8.9

解得y=0.4．

故答案为：0.4．

【点评】本题是期望和分布列的简单应用，通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度．在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神．

15．（5分）（2010•湖北）设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连接OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段　CD　的长度是a，b的几何平均数，线段　DE　的长度是a，b的调和平均数．

【考点】直角三角形的射影定理；平均值不等式．菁优网版权所有

【专题】计算题；压轴题；新定义．

【分析】在直角三角形中，由DC为高，根据射影定理可得CD2=AC•CB，变形两边开方，得到CD长度为a，b的几何平均数；根据a，b与OC之间的关系，表示出OC的长度，根据直角三角形OCE和直角三角形CDE之间边的关系得到CE的长，得到OE进而ED，得到结果．

【解答】解：在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得CD2=AC•CB，

∴，即CD长度为a，b的几何平均数，

将OC=代入OD•CE=OC•CD

可得

故，

∴ED=OD﹣OE=，

∴DE的长度为a，b的调和平均数．

故选CD；DE

【点评】本题是一个新定义问题，解题过程中主要应用直角三角形边之间的比例关系，得到比例式，本题是一个平面几何与代数中的平均数结合的问题，是一个综合题．

三、解答题（共6小题，满分75分）

16．（12分）（2010•湖北）已知函数f（x）=cos（+x）cos（﹣x），g（x）=sin2x﹣

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x的集合．

【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．菁优网版权所有

【专题】计算题．

【分析】（Ⅰ）对于求函数f（x）的最小正周期，可以先将函数按照两角和，两角差的余弦公式展开后，再利用降幂公式化成一个角一个函数的形式后，用公式T=周期即可求出．

（Ⅱ）对于函数h（x）=f（x）﹣g（x），把f（x）与g（x）解析式代入后，依照两角和余弦公式的逆用化成一个角一个函数为h（x）=cos（2x+），由于定义域为全体实数R，故易知最值为，而此时角2x+应为x轴正半轴的所有角的取值，即2x+=2kπ，k∈Z．由此确定角x的取值几何即可．

【解答】解：（1）f（x）=cos（+x）cos（﹣x）=（cosx﹣sinx）（cosx+sinx）=cos2x﹣=﹣=cos2x﹣，

∴f（x）的最小正周期为=π

（2）h（x）=f（x）﹣g（x）=cos2x﹣sin2x=（cos2x﹣sin2x）=（coscox2x﹣sinsin2x）=cos（2x+）

∴当2x+=2kπ，k∈Z，即x=kπ﹣，k∈Z时，h（x）取得最大值，且此时x取值集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}

【点评】本题主要考查三角函数的周期和最值问题，并兼顾检测了学生对两角和，差的正余弦公式和降幂公式等，属于三角函数的综合性问题．而解决有关复合角三角函数问题的关键还是在于对三角函数性质的掌握，本题难度系数0.6

17．（12分）（2010•湖北）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．

（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．

【考点】函数模型的选择与应用；利用导数求闭区间上函数的最值．菁优网版权所有

【专题】应用题．

【分析】（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．

（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为．

再由C（0）=8，得k=40，

因此．

而建造费用为C1（x）=6x，

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

（Ⅱ），令f'（x）=0，即．

解得x=5，（舍去）．

当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．

当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．

【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．

18．（12分）（2010•湖北）如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1

（Ⅰ）设为P为AC的中点，Q为AB上一点，使PQ⊥OA，并计算的值；

（Ⅱ）求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值．

【考点】平面与平面之间的位置关系．菁优网版权所有

【专题】计算题．

【分析】解法一：（1）要计算的值，我们可在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连接NC．则根据已知条件结合平面几何中三角形的性质我们易得NB=ON=AQ，则易求出的值．

（2）要求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值，我们可连接PN，PO，根据三垂线定理，易得∠OPN为二面角O﹣AC﹣B的平面角，然后解三角形OPN得到二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值．

解法二：取O为坐标原点，分别以OA，OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，我们易根据已知给出四面体中各点的坐标，利用向量法进行求解，（1）由A、Q、B三点共线，我们可设，然后根据已知条件，构造关于λ的方程，解方程即可得到λ的值，即的值；

（2）要求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值，我们可以分别求出平面OAC及平面ABC的法向量，然后根据求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值等于两个法向量夹角余弦的绝对值进行求解．

【解答】解：法一：

（Ⅰ）在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连接NC．

又OA⊥OC，∴OA⊥平面ONC

∵NC⊂平面ONC，

∴OA⊥NC．

取Q为AN的中点，则PQ∥NC．

∴PQ⊥OA

在等腰△AOB中，∠AOB=120°，

∴∠OAB=∠OBA=30°

在Rt△AON中，∠OAN=30°，

∴

在△ONB中，∠NOB=120°﹣90°=30°=∠NBO，

∴NB=ON=AQ．

∴

解：（Ⅱ）连接PN，PO，

由OC⊥OA，OC⊥OB知：OC⊥平面OAB．

又ON⊂平面OAB，

∴OC⊥ON

又由ON⊥OA，ON⊥平面AOC．

∴OP是NP在平面AOC内的射影．

在等腰Rt△COA中，P为AC的中点，

∴AC⊥OP

根据三垂线定理，知：

∴AC⊥NP

∴∠OPN为二面角O﹣AC﹣B的平面角

在等腰Rt△COA中，OC=OA=1，∴

在Rt△AON中，，

∴在Rt△PON中，．

∴

解法二：

（I）取O为坐标原点，分别以OA，OC所在的直线为x轴，z轴，

建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图所示）

则

∵P为AC中点，∴

设，∵．

∴，

∴．

∵，

∴即，．

所以存在点使得PQ⊥OA且．

（Ⅱ）记平面ABC的法向量为=（n1，n2，n3），则由，，且，

得，故可取

又平面OAC的法向量为=（0，1，0）．

∴cos＜，＞=．

两面角O﹣AC﹣B的平面角是锐角，记为θ，则

【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；

空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；

空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；

19．（12分）（2010•湖北）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

【考点】抛物线的应用．菁优网版权所有

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，然后根据等量关系列方程整理即可．

（Ⅱ）首先由于过点M（m，0）的直线与开口向右的抛物线有两个交点A、B，则设该直线的方程为x=ty+m（包括无斜率的直线）；然后与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元二次方程；再根据韦达定理及向量的数量积公式，实现•＜0的等价转化；最后通过m、t的不等式求出m的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：

化简得y2=4x（x＞0）．

（Ⅱ）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．

设l的方程为x=ty+m，由得y2﹣4ty﹣4m=0，△=16（t2+m）＞0，

于是①

又．⇔（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＜0②

又，于是不等式②等价于③

由①式，不等式③等价于m2﹣6m+1＜4t2④

对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2﹣6m+1＜0，解得．

由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有，且m的取值范围．

【点评】本题综合考查向量知识、直线与抛物线的相交问题及代数运算能力．

20．（13分）（2010•湖北）已知数列{an}满足：，anan+1＜0（n≥1），数列{bn}满足：bn=an+12﹣an2（n≥1）．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式

（Ⅱ）证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．

【考点】数列递推式；数列的概念及简单表示法；等差数列的性质．菁优网版权所有

【专题】计算题；应用题；压轴题．

【分析】（1）对化简整理得，令cn=1﹣an2，进而可推断数列{cn}是首项为，公比为的等比数列，根据等比数列通项公式求得cn，则a2n可得，进而根据anan+1＜0求得an．

（2）假设数列{bn}存在三项br，bs，bt（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，由于数列{bn}为等比数列，于是有br＞bs＞bt，则只有可能有2bs=br+bt成立，代入通项公式，化简整理后发现等式左边为2，右边为分数，故上式不可能成立，导致矛盾．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，

令cn=1﹣an2，则

又，则数列{cn}是首项为，公比为的等比数列，即，

故，

又，anan+1＜0

故

因为=，

故

（Ⅱ）假设数列{bn}存在三项br，bs，bt（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，

由于数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，

于是有2bs=br+bt成立，则只有可能有2br=bs+bt成立，

∴

化简整理后可得，2=（）r﹣s+（）t﹣s，

由于r＜s＜t，且为整数，故上式不可能成立，导致矛盾．

故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列．

【点评】本题主要考查了数列的递推式．对于用递推式确定数列的通项公式问题，常可把通过吧递推式变形转换成等差或等比数列．

21．（14分）（2010•湖北）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．

（1）用a表示出b，c；

（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．菁优网版权所有

【专题】计算题；压轴题．

【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求得切线的斜率，以及切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可；

（Ⅱ）先构造函数g（x）=f（x）﹣lnx=ax++1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞），利用导数研究g（x）的最小值，讨论a的范围，分别进行求解即可求出a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ），

则有，

解得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

令g（x）=f（x）﹣lnx=ax++1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞）

则g（1）=0，

（i）当，

若，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，

所以g（x）＜g（1）=0，f（x）＞lnx，故f（x）≤lnx在[1，+∞）上恒不成立．

（ii）时，

若f（x）＞lnx，故当x≥1时，f（x）≥lnx

综上所述，所求a的取值范围为

【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，分类讨论思想，属于基础题．

2010年湖北省高考数学试卷（理科）答案与解析