蚂蚁爬行的最短路径

1•一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为： +5 , -3 , +10 , -8 , -9 , +12 ,

-10 •

I ■ I ■ I ■ I ■ I T 『鼻

-109^-7-6-5-4-3-2-1 0 I 2 3 4 5 € 7 T 9W

回答下列问题：

(1) 蚂蚁最后是否回到出发点 0 ；

(2) 在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励 2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻.

解：(1)否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3 ，故没有回到 0;

(2) (|+5|+卜3|+|+10|+卜8|+卜9|+|+12|+卜10| )X 2=114粒

2.如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点 A出发沿着正方体的外表面爬到顶点 B的

最短距离是 .

解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段 AB即为最短路线.

AB= . 22 12 5 •

3 • ( 2006?茂名)如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁

从点A沿其表面爬到点 B的最短路程是 cm

word/media/image2.gifword/media/image3.gifword/media/image4.gif

解：根据两点之间线段最短可知选 A .

故选A.

5.如图，点A的正方体左侧面的中心，点 B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为 2,

解：如图，AB= , 1 2 2 12 ,10 .故选 C.

word/media/image8.gifword/media/image9.gif

解：展开正方体的点 M所在的面，

•/ BC的中点为M ,

1

所以 MC= BC=1 ,

2

在直角三角形中 AM= __： - = '...■.

7•如图，点 A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁

111 1

AB=CD = DF+FC= EF+ GF= x 20+ x 20=20cm .

2 2 2 2

故选C .

word/media/image13.gifword/media/image14.gif解：将正方体展开，连接 M、D1，

根据两点之间线段最短，

MD=MC +CD=1+2=3，

MDi= MD2 DD； ：32 2 2 1 3

9.如图所示一棱长为 3cm的正方体，把所有的面均分成 3 X3个小正方形.其边长都为

1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm，则它从下底面点 A沿表面爬行至侧面的 B点，最少要

用2.5秒钟.

解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短

word/media/image19.gif的路线.

所以最短路径长为 5cm，用时最少： 5十2=秒5

10 . （ 2009?恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,

一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点B，需要爬行的最短距离是 。

解：将长方体展开，连接 A、B，

根据两点之间线段最短， AB= ' :: =25 .

11.如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 Ci处（三

条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为

解：正面和上面沿 A1B1展开如图，连接 AC1, △ ABC1是直角三角形,

••• AC1= .. AB2 BC12 42 1 2 2 . 42 32 5

12 .如图所示：有一个长、宽都是 2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从 A点爬到

13 .如图，直四棱柱侧棱长为 4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形.一只蚂蚁从顶 点A出发沿棱柱的表面爬到顶点 B.求：

(1 )蚂蚁经过的最短路程;

(2 )蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程.

解：(1) AB的长就为最短路线.

然后根据 若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为 ■ - *斗 (cm );

若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为，" - ■■- (cm ),

或■'： — (cm )

所以蚂蚁经过的最短路程是 ■ cm .

(2) 5cm +4 cm +5cm +4cm +3 cm +4 cm +5cm =30 cm , 最长路程是30 cm .

14 .如图，在一个长为 50cm，宽为40cm，高为30cm的长方体盒子的顶点 A处有一只

蚂蚁，它要爬到顶点 B处去觅食，最短的路程是多少？

團1 團2 圉工

解：图 1 中,必E 二 应= 4078prf89.4 cm .

图 2 中，「— ，：一 一一； j! "' ■ ' -： < cm .

图 3 中■ ■ ■ - cm .

•••采用图3的爬法路程最短，为 J?cm

15 .如图，长方体的长、宽、高分别为 6cm , 8cm , 4cm .一只蚂蚁沿着长方体的表面从

点A爬到点B.则蚂蚁爬行的最短路径的长是 。

解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面,

则这个长方形的长和宽分别是 12 cm和6cm ,

则所走的最短线段是 1 =6 ■ cm ；

第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，

则这个长方形的长和宽分别是 10 cm和8cm ,

所以走的最短线段是 ；旷旷 沪=•"程cm ；

第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形,

则这个长方形的长和宽分别是 14 cm和4cm，

所以走的最短线段是 i - -■ =2 - ... cm ；

三种情况比较而言，第二种情况最短.

16 .如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20cm、3cm、2cm . A和B

是这个台阶上两个相对的端点，点 A处有一只蚂蚁，想到点 B处去吃可口的食物，则蚂蚁

沿着台阶面爬行到点 B的最短路程为 cm

解：三级台阶平面展开图为长方形，长为 20cm，宽为(2+3 )X3 cm ,

则蚂蚁沿台阶面爬行到 B点最短路程是此长方形的对角线长.

可设蚂蚁沿台阶面爬行到 B点最短路程为xcm ,

由勾股定理得：x2=202+[ (2+3 )X 32=252,

解得x=25 .

故答案为25 .

17 •如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于

和B是这个台阶的两个相对的端点， A点上有一只蚂蚁，想到

因为 AC =3 X 3+1 X 3=12 BC=5,

所以 AB2=AC2+BC2=169 ,

所以 AB=13 ( cm ),

所以蚂蚁爬行的最短线路为 13cm .

18 .（ 2011?荆州）如图，长方体的底面边长分别为 2cm和4cm，高为5cm .若一只蚂 蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达 Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为

word/media/image32.gifcm .

word/media/image39.gif••• PQ=13 .

19 .如图，一块长方体砖宽 AN =5cm ,长ND =10 cm , CD上的点B距地面的高 BD=8cm ,

地面上A处的一只蚂蚁到 B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？

解：如图1，在砖的侧面展开图 2上，连接AB, 则AB的长即为A处到B处的最短路程.

解：在RtAABD中，

因为 AD=AN + ND=5+10=15 , BD=8 , 所以 AB2=AD 2+BD2=152 +82=289=17 2 所以 AB=17 cm .

故蚂蚁爬行的最短路径为 17cm .

20 . （ 2009?佛山）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙） ，有

一只蚂蚁从柜角 A处沿着木柜表面爬到柜角 Ci处.

（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;

（2） 当AB=4 , BC=4 , CCi=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长;

（3） 求点Bi到最短路径的距离.

解：（1）如图, 木柜的表面展开图是两个矩形 ABC'iDi和ACC iAi.

word/media/image43.gif故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的 AiC'i和ACi.（2分）

（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段 AiBi到Ci,

爬过的路径的长是'-1 1 ' - ' ' . （3分）

蚂蚁沿着木柜表面经线段BBi到 Ci ,爬过的路径的长是

「•—「. （4 分）

li> 12，故最短路径的长是 :-：.（5分）

（3）作 BiE丄ACi 于 E,

则「、 —?…二戸? 艺二为所求.（8 分）

21 •有一圆柱体如图，高 4cm，底面半径5cm , A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到 C处,

word/media/image39.gif求蚂蚁爬行的最短距离

AF=2 n?5=10 n AD=5 n

AC = 、AD2 CD2 ~ 16cm .

故答案为：16 cm .

22 .有一圆形油罐底面圆的周长为 24m，高为6m，一只老鼠从距底面 1m的A处爬行到

对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为 .

解: AB=、52 122 13m

23 .如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高 AA1的端点A到达A1,若圆柱底面半径为 —,

高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为

word/media/image48.gif

所以将侧面展开为一长为 12，宽为5的矩形, 根据勾股定理，对角线长为 ■' =13 .

故蚂蚁爬行的最短距离为 13 .

24 .如图，一圆柱体的底面周长为 24cm，高AB为9cm , BC是上底面的直径.一只蚂蚁

从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C,则蚂蚁爬行的最短路程是

故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点 C的最短路程是15cm .

故答案为：15 .

25 . （ 2006?荆州）有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为 4cm , AA1, BB为相对的两 条母线.在 AA1上有一个蜘蛛 Q , QA =3cm ；在BB1上有一只苍蝇 P, PB1=2cm，蜘蛛沿 圆柱体侧面爬到 P点吃苍蝇，最短的路径是 cm •（结果用带 n和根号的式子

表示）

问题：某正方体盒子，如图左边下方 A处有一只蚂蚁，从 A处爬行到侧棱 GF上的中点M

点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图.

解：如图，将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图示，则 A、B分别位于如图所示的位置,

连接AB，即是这条最短路线图.

如图，将正方体中面 ABCD和面CBFG展开成一个长方形，如图示，则 A、M分别位于如 图所示的位置，连接 AM，即是这条最短路线图.

27 •如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为 2cm，假若点B有一蚂蚁只能

沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线 AC的中点 P处的食物，那么它爬行的最短路程

•••n =180。即圆锥侧面展开图的圆心角是 180

•••在圆锥侧面展开图中 AP=2 , AB=4，/ BAP=90

•在圆锥侧面展开图中 BP= ■ 20 2. 5 , •这只蚂蚁爬行的最短距离是 2「5 cm • 故答案是：2、5 cm •

28 •如图，圆锥的底面半径 R=3dm ,母线l=5dm , AB为底面直径，C为底面圆周上一点,

/ COB =150 ° , D为VB上一点，VD= ■ , ；•现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点 C爬到

D.则蚂蚁爬行的最短路程是

•••设弧BC所对的圆心角的度数为 n,

解得n =90 ,

CVD =90

••• CD= 宀=4 ：_ ,

29 .已知圆锥的母线长为 5cm，圆锥的侧面展开图如图所示，且/ AOA 1=120 °，—只蚂

蚁欲从圆锥的底面上的点 A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点 A•则蚂蚁爬行的最短路程

长为 。

30 .如图，底面半径为1,母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从 A点出发，绕侧面一周又

回到A点，它爬行的最短路线长是

第4题

解：由题意知，底面圆的直径为 2,

故底面周长等

设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 n

解得n=90 °，

所以展开图中圆心角为 90 °，

根据勾股定理求得到点 A的最短的路线长是： 16 16 32 4.2 .

31 . （ 2006?南充）如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从 A点出发,

绕侧面一周又回到 A点，它爬行的最短路线长是 。

解：由题意知底面圆的直径 =2 ,

故底面周长等于2 n

设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 n°,

4n

根据底面周长等于展开后扇形的弧长得 2 n=—— ,

180

解得n=90 ° ,

所以展开图中的圆心角为 90 ° ,

根据勾股定理求得它爬行的最短路线长为 4 2 .

32 . （ 2009?乐山）如图，一圆锥的底面半径为 2，母线PB的长为6, D为PB的中点. 只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点 D，则蚂蚁爬行的最短路程为

故底面周长等于4 n

解：由题意知，底面圆的直径

设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 n °

根据底面周长等于展开后扇形的弧长得

2n 6

4 n=-

360

解得 n =120 ° ,

所以展开图中/ APD=120 ° - 2=60

根据勾股定理求得 AD= 3、3 ,

所以蚂蚁爬行的最短距离为 33•

33 •如图，圆锥底面半径为 r,母线长为

3r,底面圆周上有一蚂蚁位于 A点，它从A点出

发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点,

请你给它指出一条爬行最短的路径， 并求出最短路

word/media/image75.gif

径.

word/media/image76.gif

解：把圆锥沿过点 A的母线展成如图所示扇形,

则蚂蚁运动的最短路程为 AA '（线段）.

由此知:

的长为2 n I

OA=OA ' =3r,

ADA1

n 3r o

--2 n = , n=120 ,

180

即/ AOA ' =120 °,/OAC =30

1 3

•••OC = —OA = — r

2 2

• AC = .. OA2 OC2 3 k3r

2

• AA ' =2AC=3.3r,

即蚂蚁运动的最短路程是 3. 3 r.

34 •如图①，一只蚂蚁从圆锥底面的 A点出发，沿侧面绕行一周后到达母线 SA的中点M •蚂 蚁沿怎样的路径行走最合算？为了解决这一问题， 爱动脑筋的银银、慧慧与乐乐展开了研究.

(1) 善于表现的银银首先列出了一组数据：圆锥底面半径 r=10cm，母线SA长为40cm , 就这组数据，请你求出蚂蚁所走的最短路程；

(2) 一向稳重的慧慧只给出一个数据：圆锥的锥角等于 60 ° (如图②)，请问：蚂蚁如何 行走最合算？

(3) 通过(1)、( 2)的计算与归纳，银银、慧慧自认为他们已找到问题的解决方法，可老

谋深算的乐乐认为他们考虑欠周，

1 请你分析，乐乐为什么认为他们考虑欠周？

2 结合上面的研究，请你给出这一问题的一般性解法.

解：（1） 2 n?10= n n?40 - 180

n=90

AM= C 厂；：=20

(2)•••锥角为 60 ° ,

的长相等，

①因为银银的数据不合理， 笑(1 )展成平面图形. 知道扇形的圆心角度数， 三角函数或者构造直角三角

（完整版）专题训练蚂蚁爬行的最短路径（附含答案解析）