一元三次方程求根公式

目录

盛金公式

盛金判别法

盛金定理

传统解法

方程公式历史

一元三次方程求根公式

1. 卡尔丹公式的推导

2. 卡尔丹公式

3. 卡尔丹判别法

根与系数的关系

一个三次方求根计算方法

一元三次方程置换群解法

盛金公式

　　三次方程新解法——盛金公式解题法

　　三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。

　　盛金公式（Shengjin's Formulas）

　　一元三次方程aX3+bX2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。

　　重根判别式：A=b2－3ac；B=bc－9ad；C=c2－3bd，

　　总判别式：Δ=B2－4AC。

　　当A=B=0时，盛金公式①：

　　X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。

　　当Δ=B2－4AC>0时，盛金公式②：

　　X1=(－b－(Y1)1/3－(Y2)1/3)/(3a)；

　　X2，X3=(－2b+(Y1)1/3+(Y2)1/3)/(6a)±31/2((Y1)1/3)－(Y2)1/3)i/(6a)，

　　其中Y1，Y2=Ab+3a(－B±(B2－4AC)1/2)/2，i2=－1。

　　当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式③：

　　X1=－b/a+K；X2=X3=－K/2，

　　其中K=B/A，(A≠0)。

　　当Δ=B2－4AC<0时，盛金公式④：

　　X1=(－b－2A1/2cos(θ/3))/(3a)；

　　X2，X3=(－b+A1/2(cos(θ/3)±31/2sin(θ/3)))/(3a)，

其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A3/2)，(A>0，－1。

盛金判别法

　　盛金判别法（Shengjin's Distinguishing Means）

　　① 当A=B=0时，方程有一个三重实根；

　　② 当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；

　　③ 当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；

　　④当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。

盛金定理

　　盛金定理（Shengjin's Theorems）

　　当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T<-1或T>1时，盛金公式④无意义。

　　当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T<-1或T>1的值？盛金定理给出如下回答：

　　盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。

　　盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。

　　盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。

　　盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式②解题）。

　　盛金定理5：当A<0时，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式②解题）。

　　盛金定理6：当Δ=0时，若A=0，则必定有B=0（此时，适用盛金公式①解题）。

　　盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。

　　盛金定理8：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。

　　盛金定理9：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1。

　　显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。

　　注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ>0时，不一定有A<0。

　　盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。

　　当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。

以上结论，发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。国内统一刊号：CN46-1014），第91—98页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。（NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE , Hainan Province, China. Vol. 2, No. 2；Dec，1989）, A new extracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic equation.，Fan Shengjin. PP·91—98 .

传统解法

一元

　　三次ax^3 +bx^2+cx+d=0可用求根公式x= 求解，它是由方程系数直接把根表示出来的公式。这个公式早在公元9世纪由中亚细亚的阿尔·花木子米给出。南宋数学家秦九韶至晚在1247 年就已经发现一元三次方程的求根公式，欧洲人在400 多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是以那个欧洲人的名字来命名的。 （《数学九章》等）

一元三次方程求根公式

　　一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。

卡尔丹公式的推导

　　第一步：

　　ax^3+bx^2+cx+d=0

　　为了方便，约去a得到

　　x^3+kx^2+mx+n=0

　　令x=y-k/3 ，

　　代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ，

　　(y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ，

　　k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ，

　　所以相加后y^2抵消 ，

　　得到y^3+py+q=0，

　　其中p=(-k^2/3)+m ，

　　q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。

　　第二步：

　　方程x^3+px+q=0的三个根为：

　　x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+

　　+[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；

　　x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+

　　+w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；

　　x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+

　　+w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)，

　　其中w=(-1+i√3)/2。

　　×推导过程：

　　1、方程x^3=1的解为x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ；

　　2、方程x^3=A的解为x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2 ，

　　3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+sx^2+tx+u=0的形式。

　　再令x=y-s/3,代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。

　　设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得：

　　(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①，

　　如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立，

　　由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的两个根。

　　解之得，y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，

　　不妨设A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，

　　则u^3=A；v^3=B ，

　　u= A^(1/3)或者A^(1/3)ω或者A^(1/3)ω^2 ；

　　v= B^(1/3)或者B^(1/3)ω或者B^(1/3)ω^2 ，

　　但是考虑到uv=-p/3，所以u、v只有三组解：

　　u1= A^(1/3)，v1= B^(1/3)；

　　u2=A^(1/3)ω，v2=B^(1/3)ω^2；

　　u3=A^(1/3)ω^2，v3=B^(1/3)ω，

　　最后：

　　方程x^3+px+q=0的三个根也出来了，即

　　x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3)；

　　x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；

　　x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。

卡尔丹公式

　　方程x^3+px+q=0，（p，q∈R）

　　判别式△=(q/2)^2+(p/3)^3。

　　x1=A^(1/3)+B^(1/3)；

　　x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；

　　x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。

　　这就是著名的卡尔丹公式。

卡尔丹判别法

　　当△=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，有一个实根和一对个共轭虚根；

　　当△=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，有三个实根，其中两个相等；

　　当△=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，有三个不相等的实根。

根与系数的关系

　　设ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0）的三根为x1，x2，x3，则

　　x1+x2+x3=-b/a；

　　x1x2+x2x3+x1x3=c/a；

　　x1x2x3=-d/a。

一个三次方求根计算方法

　　下面介绍一个三次方求根计算方法：

　　X(n+1)=Xn+[A/X^2-Xn）1/3

　　n,n+1是下角标，A被开方数。

　　例如，A=5，5介于1的3次方至2的3次方之间。X0可以取1.1；1.2；1.3；1.4；1.5；1.6；1.7；1.8；1.9；2.0我们可以随意代入一个数，例如2，那么：

　　第一步，2+[5/（2×2）-2]×1/3=1.7=X1；

　　第二步，1.7+[5/(1.7×1.7)-1.7]×1/3=1.71=X2；

　　第三步，1.71+[5/(1.71×1.71)-1.71]×1/3=1.709=X3；

　　每次多取一位数。公式会自动反馈到正确的数值。

一元三次方程置换群解法

　　一元三次方程 系数和根的关系如下：

　　求出X,Y，后有

　　这是个线性方程，其中

　　为原方程的三个根！

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一元三次方程求根公式