2019届河南省天一大联考高三阶段性测试（四）数学（理）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若复数满足，则（ ）

A．1 B． C． D．

2．若集合，，则（ ）

A． B． C． D．

3．如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过的为（ ）

A．腾讯与百度的访问量所占比例之和

B．网易与搜狗的访问量所占比例之和

C．淘宝与论坛的访问量所占比例之和

D．新浪与小说的访问量所占比例之和

4．为了得到函数的图象，需对函数的图象所作的变换可以为（ ）

A．先将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位

B．先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变

C．先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变

D．先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变

5．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，满足.若为等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．

6．若，则（ ）

A． B． C． D．

7．已知抛物线：与圆：交于，，，四点.若轴，且线段恰为圆的一条直径，则点的横坐标为（ ）

A． B．3

C． D．6

8．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）

A． B．

C． D．

9．若，，，则实数，，的大小关系为（ ）

A． B． C． D．

10．运行如图所示的程序框图，若输出的的值为1011，则判断框中可以填（ ）

A． B． C． D．

11．已知，若，且，使得，则满足条件的的取值个数为（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2

二、填空题

12．若向量，，且，则实数____．

13．若，满足约束条件，则的最大值为_______．

14．的展开式中，含的项的系数为_____.（用数字填写答案）

15．如图所示，点，分别在菱形的边，上，面积的最小值为________．

三、解答题

16．已知等差数列的前项和为，且．

（1）证明：是等差数列；

（2）设，求数列的前项和．

17．如图，在四棱锥中，与交于点，，，.

（Ⅰ）在线段上找一点，使得平面，并证明你的结论；

（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值.

18．2021年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考——如何做一个文明的乘客.全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范.社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图.

（Ⅰ）求得分在上的频率；

（Ⅱ）求社区居民问卷调查的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

（Ⅲ）以频率估计概率，若在全部参与学习的居民中随机抽取5人参加问卷调查，记得分在间的人数为，求的分布列.

19．已知椭圆：，点，.

（Ⅰ）若直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，求直线的斜率；

（Ⅱ）若直线：与椭圆交于，两点，求的面积的最大值.

20．已知函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性.

（Ⅱ）若时，存在两个正实数满足，求证：

21．在极坐标系中，曲线的极坐标方程为．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）．

（1）若，求曲线的直角坐标方程以及直线的极坐标方程；

（2）设点，曲线与直线交于两点，求的最小值．

22．[选修4-5：不等式选讲]

已知函数.

（1）在如图所示的网格纸中作出函数的图象；

（2）记函数的最小值为，证明：不等式成立的充要条件是.

参考答案

1．C

【分析】

化简为的形式，再求.

【详解】

依题意，故，故选C.

【点睛】

本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解.

2．B

【分析】

由集合的补集运算与一元二次不等式的解法求得，再由集合的并集运算求得答案.

【详解】

因为，所以．

故选：B

【点睛】

本题考查集合的并集与补集运算，还考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.

3．B

【解析】

【分析】

根据图表，分析出两个网站访问量不超过的选项.

【详解】

由于网易与搜狗的访问量所占比例之和为，不超过，故选B.

【点睛】

本小题主要考查图表分析，考查分析处理数据的能力，属于基础题.

4．A

【分析】

由诱导公式与三角函数图象的平移和伸缩变换从转化到，应注意由形转为形需引入.

【详解】

先将函数的图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，得到；

再将图象上所有点向右平移个单位，得到

故选：A

【点睛】

本题考查诱导公式与三角函数图象的平移和伸缩变换过程，属于基础题．

5．B

【解析】

【分析】

由条件得在双曲线右支，代入方程解得，进而确定等腰三角形的腰，列方程解离心率.

【详解】

因为满足，所以在双曲线右支，

因此,

又为等腰三角形，所以,

因为,所以 ，选B.

【点睛】

本题考查双曲线定义以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.

6．D

【分析】

由，得，化简 ，代入求值即可.

【详解】

由，得，则

故选D

【点睛】

本题考查了三角函数的恒等变形，考查了三角函数的倍角公式和同角三角函数的基本关系等知识，也考查了计算能力，属于中档题

7．A

【分析】

求出圆心和半径，根据轴和线段恰为圆的一条直径得到的坐标，代入抛物线方程求得的值，设出点的坐标，利用是圆的直径，所对圆周角为直角，即，由此求得点的横坐标.

【详解】

圆：可化为，故圆心为，半径为，由于轴和线段恰为圆的一条直径，故.将点坐标代入抛物线方程得，故，抛物线方程为.设，由于是圆的直径，所对圆周角为直角，即,也即，所以，化简得，解得，故点横坐标为.故选A.

【点睛】

本小题主要考查圆和抛物线的位置关系，考查抛物线的对称性，考查抛物线方程的求法，考查圆的几何性质，考查圆一般方程化为标准方程，考查圆的直径所对的圆周为直角，考查向量的数量积运算，运算量较大，属于中档题.

8．C

【分析】

根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积.

【详解】

最上面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，下面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，没被挡住的部分面积为，中间圆柱的侧面积为.故表面积为，故选C.

【点睛】

本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.

9．D

【分析】

先判断出大于，而小于，得到最小为.然后利用对数的运算和性质，比较两个数的大小.

【详解】

，而，故是最小的.由于，即，即，故选D.

【点睛】

本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于中档题.

10．C

【解析】

【分析】

利用程序框图的功能，进行模拟计算即可．

【详解】

程序的功能是计算S＝1sin+3sin+5sin+…＝1﹣3+5﹣7+9+…+，

则1011＝1+505×2＝1﹣3+5﹣7+9+…

则第1011个奇数为2×1011﹣1＝2021不成立，

第1012个奇数为2×1012﹣1＝2023成立，

故条件为i＞2022？，

故选C．

【点睛】

本题主要考查程序框图的应用，利用程序框图的功能是解决本题的关键，属于基础题.

11．A

【分析】

先求,值域，再研究单调性与值域,进而确定取值范围，即得结果.

【详解】

因为，所以

由题意得在上不单调，因为，所以,

当时, ,, 当时, 0' altImg='8fe83a8d09ecd1eb1f68f914ede82ccc.png' w='47' h='20' class='_4'>,,

因此，选A.

【点睛】

本题考查任意存在性问题以及函数值域与单调性，考查综合分析化简求解能力，属难题.

12．

【分析】

由向量垂直与向量数量积的关系可得，若，得，解x的值即可．

【详解】

由，得 且，

得 ，解得.

故答案为

【点睛】

本题考查了向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系，属于基础题．

13．2

【解析】

【分析】

画出可行域，通过向下平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.

【详解】

画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.

【点睛】

本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.

14．35

【分析】

先根据二项展开式通项公式确定含的项的项数，再代入求结果.

【详解】

,即含的项的系数为

【点睛】

求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.

15．

【分析】

设，由此表示出，，利用正弦定理求得BM，BN，再由三角形面积公式表示的面积，从而由三角函数性质求得最小值.

【详解】

设，由题意可知，．

在和中，由正弦定理，可得，，

所以，，

故，其中．

记，当且仅当时，取得最大值，此时取得最小值，

故．

【点睛】

本题考查由正弦定理解三角形进而表示面积，还考查了利用三角函数性质求最值，属于中档题.

16．（1）证明见解析

（2）

【分析】

（1）由等差数列性质整理已知求得首项与公差，再由等差数列前n项和公式表示，进而表示，最后由等差数列定义证明即可；

（2）由错位相减法求和方法计算即可.

【详解】

（1）设数列的公差为，则，解得．

所以，解得，所以．

所以．

所以．

因为当时，，当时，，

故是首项为1，公差为1的等差数列．

（2）由（1）可知，故．

故，

，

两式相减可得

，

故．

【点睛】

本题考查由递推公式转化进而由等差数列定义证明等差数列，还考查了错位相减法求和，属于中档题.

17．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【分析】

（I）取线段上靠近的三等分点，连接，因为，，所以，由，得，所以，即可证明结论成立.

（II）以为坐标原点，以直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，平面的个法向量为，由向量法即可求出二面角的平面角.

【详解】

（I）取线段上靠近的三等分点，连接.因为，，所以,所以.而，所以，所以.而平面.平面，故平面.

（II）易知 为等边三角形，所以.又，故，所以有.由已知可得，又，所以平面.以为坐标原点，以直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则，所以，，，，则，，，.

设平面的一个法向量为，则有即

设，则，所以.

设平面的个法向量为，则有即

令，则，所以.

所以.

因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为.

【点睛】

本题考查空间线面平行的判定定理和利用向量法求二面角，也考查了计算能力，属于中档题.

18．（Ⅰ）0.3 ；（Ⅱ）70.5；（Ⅲ）详见解析.

【分析】

（I）由频率分布直方图可得所求的频率；

（II）由频率分布直方图的平均值公式计算即可；

（III）人数服从，即可得出P（X＝k）＝，k＝0，1，2，3，4，5，及其分布列与数学期望E（X）．

【详解】

（I）依题意，所求频率.

（II）由（1）可知各组的中间值及对应的频率如下表：

即问卷调查的平均得分的估计值为.

（III）依题意，.

故,.

,

,.

故的分布列为：

故.

【点睛】

本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望、频率分布直方图的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

19．（Ⅰ）-1；（Ⅱ）

【分析】

（I）因为在椭圆上，设，且为线段的中点，得，，由点差法即可计算直线的斜率；

（II）联立，得，由可得，,由弦长公式可得点到直线的距离由计算即可.

【详解】

（I）设，故，将两式相减，可得，即因为为线段的中点，所以得

即故直线的斜率

（II）联立可得，由可得，解得.设

由根与系数的关系可得

又点到直线的距离

当且仅当，即时取等号.故的面积的最大值为.

【点睛】

本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离，也考查了点差法在弦中点的应用，计算能力和均值不等式，属于中档题.

20．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.

【分析】

（I）对 求导，得，令，对，，进行分类讨论，得的单调性即可；

（II）存在两个正数m，n使得成立，转化为，令对求导，得在上单调递减，在上单调递增；所以在取得最小值为 ，得出，计算即可得出结论.

【详解】

（I）依题意，可知

对于函数，

当，即时，此时函数在上单调递增.

当，即时，函数有两个零点，且，其中

若，则，当时，0' altImg='b6755bd3c40b3de3a09fb0b9662816c9.png' w='77' h='26' class='_7'>；当时，

当时，0' altImg='b6755bd3c40b3de3a09fb0b9662816c9.png' w='77' h='26' class='_7'>，

若，则，当时，；当时，0' altImg='b6755bd3c40b3de3a09fb0b9662816c9.png' w='77' h='26' class='_7'>.

综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.

（II） 当a=4时，存在两个正数m，n使得成立，则，所以，

即

令

则0\end{pmatrix}.' altImg='fdb34e9eff1760a8b74535c7a602fa6f.png' w='361' h='43' class='_7'>

当时，，所以函数在上单调递减；

当时，0' altImg='b3f3c004ff6b83d325f265abaf87d914.png' w='81' h='23' class='_7'>，所以函数在上单调递增；

所以函数在取得最小值，最小值为.

所以，即，解得或

因为，所以.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，利用导数研究不等式恒成立的问题，也考查了计算能力，属于中档题.

21．（1）曲线的直角坐标方程为,直线的极坐标方程为

（2）

【分析】

（1）由极坐标与直角坐标转化的关系即可转化曲线的方程；对直线的参数方程消参转化为普通方程，再由极坐标与直角坐标转化的关系即可转化直线的方程；

（2）由于A,B两点是曲线与直线交于两点，即可设点，对应的参数分别为，联立直线的参数方程与曲线的普通方程，进而由直线参数方程中参数的几何意义与韦达定理即可表示并求得最值.

【详解】

（1）曲线，将代入得，即曲线的直角坐标方程为．

直线（为参数），故，

故直线的极坐标方程为．

（2）联立直线与曲线的方程得，

即．

设点，对应的参数分别为，则．

因为，

所以的最小值为．

【点睛】

本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程间的互化，还考查了参数方程中参数的几何意义，属于中档题.

22．(1)见解析；(2)见证明

【分析】

（1）利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，由此画出函数的图像.（2）根据（1）求得的值.将原不等式转化，然后判断出不等式成立的充要条件是.

【详解】

（1）依题意， ，

作出函数的图象如图所示：

（2）由（Ⅰ）中图象可知.

.

因为当时，，

当时，，

故不等式成立的充要条件是.

【点睛】

本小题主要考查利用零点分段法化简含有两个绝对值的函数，考查充要条件的证明，属于中档题.

2021届河南省天一大联考高三阶段性测试（四）数学（理）试题