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发布时间：2024-03-07 22:41:22
学园ｌ ＸＵＥＹＵＡＮ
２０１５年第１６期
数学建模简介和引入
李政文 电子科技大学成都学院 王
【摘
妍四川大学锦江学院
要】文章主要讨论了什么是数学建模以及数学建模近年来在国内的发展情况，通过两个简单的例子，
讲解了数学建模的一般比赛形式、论文格式、建模步骤和建模的重点内容。
【关键词】数学建模模型建立初等模型 【中图分类号】Ｇ６４２
【文献标识码】Ａ
近年来大学生数学建模在国内发展非常迅速，国 家对大学生数学建模也越来越重视，每年参加的人数
也在上升。主要的数学建模赛事有：全国大学生数学
建模竞赛、数学中国数学建模网络挑战赛、美国大学 生数学建模竞赛等，地区赛有数学建模华中赛、华东 赛、东北赛等。
什么是数学建模，应该是很多初学者心中疑惑的东 西，再加上数学两个字，让很多同学误认为非常难或者
认为就是数学专业的竞赛，其实不然，数学建模竞赛是 针对全体大学生的，要求学生了解的内容非常广泛，不 仅仅要求数学好，更考查学生的自学能力和吃苦耐劳、
团队合作的能力。
数学建模是指面对实际问题，人们在深入调查研究、
了解对象信息、做出简化假设、分析内在规律等工作的 基础上，用数学的符号和语言做表述，也就是建立数学 模型，然后用通过计算得到的结果来解释实际问题，并
接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数
学建模。
而参加数学建模竞赛，一般要求最多三个人为一个 组，比赛时间是三天，三天内参赛队员可以自己查阅各 种书籍资料，但不可以和队员以外的其他人进行交流。
对于数学建模论文的一般格式和要求，这里可以举
个简单的例子。
模型一：
问题重述与分析：
树上有１０只鸟，一枪打死１只，树上还剩下几只鸟？ 这是一个简单的小题目，一看也许答案就出来了， 树上还剩０只鸟，原因是一枪打死１只，其他９只被吓
跑了，所以还剩下０只。当然，这个０只的答案是建立 在某些默认的前提条件下的，比如，枪的声音足够大， 鸟可以听到，鸟可以自己随便地飞等。而如果前提条件
不是这样的呢，比如枪是消音枪呢？如果打死的那只鸟 挂在了树上，飞走了９只，算不算树上还剩下１只呢？
【文章编号】１６７４—４８１０（２０１５）１６—００５５—０２
题目中没有说明这１０只鸟的大小，如果ｌ０只鸟都是在 鸟窝里的小鸟，不会飞的呢？如果实际的条件是这样子
的，那么可能结果就不是０只了。
下面用数学建模的思维来求解这个问题，我们应该
考虑哪些问题呢？（１）枪是不是消音枪，题目当中没有 给出来枪是什么样子的枪，如果是消音枪，那么打死１
只小鸟，剩下的小鸟也发觉不到，那么就可能树上还有 ９只。（２）１０只小鸟的耳朵是不是都是健康的，如果
有的小鸟是耳聋的，听不到枪响，也会影响答案。（３）
１０只小鸟中有没有大义凛然视死如归的，如果打死了 １只与其他关系特好的，或者其中有精神不正常不怕死 的，那么可能答案就不一定了。（４）确定没有“一箭双
雕”，或者存在被打伤不能飞的小鸟。（５）小鸟有没有放 在笼子里的。（６）打死的小鸟是不是落在了地上，如果 挂在了树上，是否算１只小鸟？这里可以按照不算处 理。（７）１０只小鸟有没有放在笼子里不能飞走的？（８） 小鸟中有没有不怕死的、好奇心重的，比如听到枪声打 死了１只小鸟，另外１只小鸟就不信还会开第二枪，也
不信第二枪就能打中它！如果有这种极品小鸟，那问题
就复杂了。
基于以上这些问题，我们在求解原问题的时候，要 做如下假设，也就是我们求解的结果是基于哪些前提条 件下才是成立的。
模型假设：（１）ｌ０只小鸟都是健康的可以自由飞翔 离开树上的小鸟。（２）１Ｏ只小鸟精神正常，听到响声都 会被吓跑。（３）枪声大小足够惊吓到小鸟，且不会吓晕 小鸟。（４）一枪只打死了１只小鸟，其他的都没有受伤 或者被打死。
模型建立与求解：
这是一个简单加减法的初等数学模型，模型非常简
单，树上剩余的小鸟数量为总数量减去打死的小鸟的数 量再减去飞走的小鸟的数量。
小鸟的总数量为Ａ，打死的小鸟数量为Ｂ，飞走
一
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的小鸟的数量为Ｃ，那么树上剩余的小鸟的数量为：
Ｄ＝Ａ—Ｂ—Ｃ。
那么所建立的数学模型就是：Ｄ：Ａ—Ｂ—Ｃ。
模型的求解就是在数学模型中代入原问题中给出的 数据，如下：由原问题给出的数据，树上剩余的小鸟数
量为：１０—１—９＝０（只）。也就是基于上面四个假设， 树上剩余小鸟的数量为０只。
这里用一个简单的数学建模的例子，来说明数学建 模的思维方式，考虑问题的方法以及数学建模论文的一
般格式。
模型的评价与推广：
模型的评价与推广这一部分主要书写的是对于建立 的模型的优缺点的一个自我评价，对于所建立的模型在 其他的方面或者领域是否可以应用，如果问题发生变化，
已建立的模型又需要改变哪些地方等，一般只需要做简 单的书写就可以。
例如本模型：本模型主要讨论的是树上１０只小鸟打 死１只，树上还剩下几只的问题，主要建立的模型是简 单的加减法初等模型，优点是简洁明了，符合正常思维，
结果也符合正常情况的结果。缺点是没有考虑很多细节
问题，比如打死的小鸟是否挂在了树上，如果挂在了树
上是否算是还剩下１只等。
模型的推广方面，如果本模型中的小鸟改成了其他
动物，是否还能应用。比如，如果题目是，鱼缸里面有 １０条鱼，打死１条，鱼缸里面还剩下几条？可能结论就 不一样了，因为鱼在正常情况下是跑不出鱼缸的，打死
１条，鱼缸里还剩下９条活鱼１条死鱼。再比如说如果 换成１０个敌人，远处打死一个，还剩下几个？如果换成
是人的话，问题就更复杂了，本模型也就不再适用。
模型二：
问题重述与分析：
有一根连续的电线贴近地面绕地球赤道一圈，问： 如果把这根电线的长度增加２０米，那么这根电线与地面 的距离平均会增高多少？
如果不计算只是大概地想象一下，也许感觉电线距 离地面的高度会增高几厘米或者几毫米，因为地球太大 了，而电线只增长了２０米，所以感觉电线应该平均距离 地面几毫米。
面对这个问题，我们可以先做以下分析：（１）地球
的表面是不规则的，赤道一圈有平原有丘陵有高山也有
海洋，问题中电线贴近地面绕地球一圈，这个一圈的形
状实际是不规则的，也就是如果要精确计算这一圈的长 度是不现实的；（２）要不要考虑热胀冷缩对电线的影响， 电线的材料是什么，电线中间是否存在断裂？
考虑上面两个问题，如果要精确计算明显有太大难
一
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度，考虑地球赤道近似圆形，我们可以把电线围成的形 状近似地看成是一个圆的形状，热胀冷缩方面由于电线 每一段上的温度无法统计出来也不能精确计算出来， 所以这里可以忽略，另外，热胀冷缩和材料对我们计 算的影响不大。
模型假设：（１）假设电线绕着地球赤道的形状是规 则的圆形。（２）忽略热胀冷缩对电线长度的影响。
符号说明：
ｒ为地球半径，Ｒ为电线增长２０米后形成的圆形的 半径，Ｌ为周长。
模型的建立与求解：
这是一个初等数学的模型，电线绕地球赤道的形状 是规则的圆形，也就可以使用半径与周长的关系求出电 线的长度。
Ｌ＝２７盯
电线长度增长２０米以后，绕赤道所围成的圆形的半
径求出来，与贴近地面时候围成圆形的半径比较，差的 部分就是增高的高度。
电线贴近地面时的长度为：Ｌ＝２订ｒ
电线长度增加２０米后的长度为：Ｌ＋２０＝２１ｒＲ
上下两个式子相减得：２０＝２ （Ｒ—ｒ）
盯取３．１４得增加的高度也就是：（Ｒ—ｒ）＝３．１８（米） 也就是即使是绕着地球的一个圈，如果总长度增加 ２０米，那么这个圈的高度将增加３米左右，大概是一层
楼的高度。这个结论与我们开始感觉想象的差距是很大
的，只是靠感觉是很容易出错的。
模型的评价与推广；略。
由上面两个例子可以得出数学建模的一般步骤：（１）
问题重述与分析，也就是把要解决的问题叙述一遍，然 后简单分析一下是要解决什么问题。（２）模型的假设，
模型的假设由于实际问题的精确求解有时候是很困难或 者不可能完成的，把不重要的或者影响很小的因素或者
在现有掌握的知识范围内无法控制的因素舍弃或者适当
理想化， 目的是为了模型建立和求解的方便。（３）符号
说明，主要是把论文中可能用到的主要符号做一个简单
的解释。（４）模型的建立与求解，这一部分是主要内容，
主要是用什么方法来解决给出的问题，以及得到的结果
是什么。（５）模型的推广与评价，主要是简单介绍整个 文章的意义，所做模型的实际意义和可能继续发展的空 间是什么。 