2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

理科数学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I卷

注意事项：

1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：

如果事件A，B互斥，那么 .

如果事件A，B相互独立，那么 .

棱柱的体积公式，其中表示棱柱的底面面积，表示棱柱的高.

棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高.

一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

(1)设全集为R，集合，，则

(A) (B) (C) (D)

(2)设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最大值为

(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45

(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

(4)设，则“”是“”的

(A)充分而不必要条件

(B)必要而不重复条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

(5)已知，，，则a，b，c的大小关系为

(A) (B) (C) (D)

(6)将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数

(A)在区间上单调递增 (B)在区间上单调递减

(C)在区间上单调递增 (D)在区间上单调递减

(7)已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为

(A) (B) (C) (D)

(8)如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为

(A) (B) (C) (D)

2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

数 学(理工类)

第Ⅱ卷

注意事项：

1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2. 本卷共12小题，共110分。

二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

(9) i是虚数单位，复数 .

(10) 在的展开式中，的系数为 .

(11) 已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为 .

(12)已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为 .

(13)已知，且，则的最小值为 .

(14)已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 .

三.解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（15）（本小题满分13分）

在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.

（I）求角B的大小；

（II）设a=2，c=3，求b和的值.

(16)(本小题满分13分)

已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.

（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.

(17)(本小题满分13分)

如图，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2.

（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：；

（II）求二面角的正弦值；

（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.

(18)(本小题满分13分)

设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列. 已知，，，.

（I）求和的通项公式；

（II）设数列的前n项和为，

（i）求；

（ii）证明.

(19)(本小题满分14分)

设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.

（I）求椭圆的方程；

（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若(O为原点) ，求k的值.

(20)(本小题满分14分)

已知函数，，其中a>1.

（I）求函数的单调区间；

（II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明；

（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.

参考答案：

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．

（1）B （2）C （3）B （4）A

（5）D （6）A （7）C （8）A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分．

（9）4–i （10） （11）

（12） （13） （14）

三、解答题

（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分．

（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．

（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．

由，可得．因为a<c，故．因此，

所以，

（16）本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．KS5U

（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．

（Ⅱ）（i）解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．

P（X=k）=（k=0，1，2，3）．

所以，随机变量X的分布列为

随机变量X的数学期望．

（ii）解：设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．

所以，事件A发生的概率为．

（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．

依题意，可以建立以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）．

（Ⅰ）证明：依题意=（0，2，0），=（2，0，2）．设n0=(x，y，z)为平面CDE的法向量，则 即 不妨令z=–1，可得n0=（1，0，–1）．又=（1，，1），可得，又因为直线MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．

（Ⅱ）解：依题意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）．

设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，则 即 不妨令z=1，可得n=（0，1，1）．

设m=（x，y，z）为平面BCF的法向量，则 即 不妨令z=1，可得m=（0，2，1）．

因此有cos<m，n>=，于是sin<m，n>=．

所以，二面角E–BC–F的正弦值为．

（Ⅲ）解：设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h），可得．

易知，=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，故

，

由题意，可得=sin60°=，解得h=∈［0，2］．

所以线段的长为.

（18）本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.

（I）解：设等比数列的公比为q.由可得.

因为，可得，故.

设等差数列的公差为d，由，可得由，

可得 从而 故

所以数列的通项公式为，数列的通项公式为

（II）（i）由（I），有，故

.

（ii）证明：因为

，

所以，.

（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分14分．

（Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c，由已知知，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，由，可得ab=6，从而a=3，b=2．

所以，椭圆的方程为．

（Ⅱ）解：设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因为，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2．

由方程组消去x，可得．易知直线AB的方程为x+y–2=0，由方程组

消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，两边平方，整理得，解得，或．

所以，k的值为

（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.

（I）解：由已知，，有.

令，解得x=0.

由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：

所以函数的单调递减区间，单调递增区间为.

（II）证明：由，可得曲线在点处的切线斜率为.

由，可得曲线在点处的切线斜率为.

因为这两条切线平行，故有，即.

两边取以a为底的对数，得，所以.

（III）证明：曲线在点处的切线l1：.

曲线在点处的切线l2：.

要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得l1和l2重合.学*科网

即只需证明当时，方程组有解，

由①得，代入②，得. ③

因此，只需证明当时，关于x1的方程③有实数解.

设函数，即要证明当时，函数存在零点.

，可知时，0' altImg='1d69ba28746b2bcbca2d84f384dc4622.png' w='78' h='21' class='_6'>；时，单调递减，又

0' altImg='1028d749cc70a6054995f913b81f861e.png' w='106' h='21' class='_6'>，，故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即

.

由此可得在上单调递增，在上单调递减. 在处取得极大值.

因为，故，

所以.

下面证明存在实数t，使得.

由（I）可得，

当时，

有，

所以存在实数t，使得

因此，当时，存在，使得.

所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.

2018年高考天津理科数学带答案解析