蝴蝶效应

发布时间：2023-04-16 16:53:53

题目： 蝴蝶效应

摘要：
蝴蝶效应（ The Butterfly Effect）是指在一个动力系统中，初始条件下微小的变化能带动整个系统的长期的巨大的连锁反应。这是一种混沌现象。蝴蝶在热带轻轻扇动一下翅膀，遥远的国家就可能造成一场飓风。
利用已学的四阶龙格库塔的方法可以得到有关洛伦兹方程的关于已设初值的解，可以看到它们敏感的依赖于初值的设定。做出t关于x,y,z的图，以及x-y,y-z,z-x,x-y-z的图尤其可看到z-x的图与蝴蝶极为相像。
引言（背景）：

美国气象学家爱德华·罗伦兹（Edward Lorenz）1963年在一篇提交纽约科学院的论文中分析了蝴蝶效应。对于这个效应最常见的阐述是：“一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周以后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风。”其原因就是蝴蝶扇动翅膀的运动，导致其身边的空气系统发生变化，并产生微弱的气流，而微弱的气流的产生又会引起四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起一个连锁反应，最终导致其他系统的极大变化。他称之为混沌学。
蝴蝶效应通常用于天气、股票市场等在一定时段难以预测的比较复杂的系统中。此效应说明，事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性，初始条件的极小偏差，将会引起结果的极大差异。
模型方法：
所谓复杂系统，是指非线性系统且在临界性条件下呈现混沌现象或混沌性行为的系统。非线性系统的动力学方程中含有非线性项，它是非线性系统内部多因素交叉耦合作用机制的数学描述。正是由于这种“诸多因素的交叉耦合作用机制”，才导致复杂系统的初值敏感性即蝴蝶效应，才导致复杂系统呈现混沌性行为。目前，非线性学及混沌学的研究方兴未艾，这标志人类对自然与社会现象的认识正在向更为深入复杂的阶段过渡与进化。从贬义的角度看，蝴蝶效应往往给人一种对未来行为不可预测的危机感，但从褒义的角度看，蝴蝶效应使我们有可能“慎之毫厘，得之千里”，从而可能“驾驭混沌”并能以小的代价换得未来的巨大“福果”。蝶效应用的是比喻的手法，并不是说蝴蝶引起的飓风。 “蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深省，不但在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩，更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力。混沌理论认为在混沌系统中，初始条件的十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。
利用洛伦兹方程有： k=10×(y－x l=28×x-y－x×z m=x×y－8/3×z 初值为：

x0=1.0 y0=2.5 z0=1.0
t=0.0 其中k,l,m分别是x,y,z的一阶导数利用四阶龙格库塔的方法可以依次表示出k1,k2,k3,k4；l1,l2,l3,l4;m1,m2,m3,m4如下：

k1=10*(y0-x0 l1=28*x0-y0-x0*z0 m1=x0*y0-8.0/3.0*z0
k2=10*((y0+0.5*h*l1-(x0+0.5*h*k1 l2=28*(x0+0.5*h*k1-(y0+0.5*h*l1-(x0+0.5*h*k1*(z0+0.5*h*m1 m2=(x0+0.5*h*k1*(y0+0.5*h*l1-8.0/3.0*(z0+0.5*h*m1
k3=10*((y0+0.5*h*l2-(x0+0.5*h*k2 l3=28*(x0+0.5*h*k2-(y0+0.5*h*l2-(x0+0.5*h*k2*(z0+0.5*h*m2 m3=(x0+0.5*h*k2*(y0+0.5*h*l2-8.0/3.0*(z0+0.5*h*m2
k4=10*((y0+h*l3-(x0+h*k3 l4=28*(x0+h*k3-(y0+h*l3-(x0+h*k3*(z0+h*m3 m4=(x0+h*k3*(y0+h*l3-8.0/3.0*(z0+h*m3 从而可以计算得到：
x1=x0+1.0/6.0*(k1+2*k2+2*k3+k4*h y1=y0+1.0/6.0*(l1+2*l2+2*l3+l4*h z1=z0+1.0/6.0*(m1+2*m2+2*m3+m4*h 利用时间循环： do while(t<50.0 { } t=t+dt end
do 可以得到时间的积累计算得到所要求解的x,y,z的值，将他们输入到文本中可以利用origin作图得到如下结果：

蝴蝶效应

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