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2019年名牌大学自主招生考试数学试题

适用高校：上海交通大学

一、填空题（每题5分．共50分）

1．第一位将欧儿里得的《几何原本》译成中文的中文的中国明代学者是 ；毕业于上海交通大学，在拓扑学和机器证明上作出突出贡献的是 ．

2．某商店失窃，赵、钱、孙、李四人涉案被拘审．四人口供如下：赵说“孙是窃贼”；钱说“李是窃贼”；孙说“如果我作案，那么李是主犯”；李说“我没有偷”．已知四个口供中只有一个是假的，可以断定．说假话的是 ；作案者是 。

3．在边长为80cm的正方形地砖上随机投掷一枚半径为10rm的圆盘，圆盘中心始终在地砖内，则圆盘压在地砖边上的概率是 。

4．如图．用两个钢珠测算一圆柱形工件的内直径D，若半径为r1钢珠上端与孔口平面距离为H1， 半径为r2钢珠上端与孔口平面距离为H2，则D= ．

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5．如果抛物线y=5b7bc9adb96a6ee1dc17b024f1ddab74.png过A（−3，2）、B（5，2）两点，那么d45e749e38378d275f892989bc096cc0.png= ．

6．从空间一点O发出4条射线OA、OB、OC、OD，其两两所成的角均相等，则这些角的大小是 ．

7．已知arctanx=arccosx，则x= ．

8．设02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png是公差d≠0的等差数列，从中选出部分项以原次序可以组成等比数列60a0ee9416e346265975412c735fb6bd.png，若c9c9d064cb745dac8736a019ef894cad.png，则3b11eade3e0ebfb8a385ee33586e8779.png= ．

9．设x＋afc48b56873694f3d43097841ecc3f4f.png=2cosA，则a98366551ac5b3e80ac9e6c0e9636d64.png= ．

10．函数y=c0096cf444aeff20a3e051cf8e351852.png的值域是 ．

二、解答题（本大题共50分）

1．（本题10分）众所周知，指数函数378ef468365a2fd4ae953f909ad2dee0.png恒大于0，且有如下性质：若实数b3f7e10b4408ebf3a39cf02627d83adb.png，则250bf9c819db0ed637af300c18998fb5.png；对任意二实数9865b118af4cfc107929ec116ab9eb80.png，有53294aab24f1fad85e425db7e4e39d6e.png，如果一个函数f（x）满足类似两个性质，即：若实数b3f7e10b4408ebf3a39cf02627d83adb.png，则acd00cd1563efc8f00501162d6057fb0.png；对任意二实数9865b118af4cfc107929ec116ab9eb80.png，有394ff35bcd760c917e9fda94a7a6e6c2.png，能否判断f（x）也恒大于0？说明你的理由．

2．（本题10分）已知|m|7f05ca4e034ecb5a318a357459929b03.png，n>0，求38257d6906d2681e2683779a79da6a5e.png的最小值．

3．（本题10分）求有限集A=82e412fa5211c34856f36f84a6283b1a.png，其中634760e0ab41f9ea78d0a480aa84e183.png为互不相等的正整数，使得f699207b110ce7702450d768dc83017c.png=f35a11db35991706fb8ea0b12af42a0b.png．

4．（本题10分）设n与k均为正整数，令30ad0c62b0971a2fd8df0180806919f8.png=lk+2k+…+nk，已知1d4cfa9a1b97c925c1bd01a8869be5d0.png=l+2+…+n=0dd3f7e78ec1d8415d189545cfe7cdb9.png，

80da15a03b71eb7c5832a954aed279e4.png= l2+22+…+n2 =08171ff48a71a8c454f8e50fa8f3b260.png，9274d783d7d784a571884d78c5a097b7.png= l3+23+…+n3 =1dc1aae9ab76c9b14b9d239ad42b1e50.png，试观察上述各式右端的多项式的系数，说出其特点，进而求出fdeec32ae90c204ec77a1c03edb961c4.png．

5．（本题10分）下图是一个由9个小的九官格组成的9xg的方格．请运用已经显示的数字，确定每个空格中的数字，使之符合以下两个条件：

（1）每一行和每一列中的9个数字必须是不一复的1到9；

（2）每一个小九宫格中的9个数字必须是复的1到9;你填写的每一个数字都必须是依推理唯一确定的．

本题你只要填满任何4个小九宫格就算完成。

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