清华大学自主招生试题含答案

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、选 择 冲1 ，则仁 题 2 2 1.设复数 z=cos - +isin 3 3 (A0 (B1 (C (D 1 < class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>1 < class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>z 2( 3 2 < class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>p+q>k+l ”是“ ap 既不充分也不必要 2.设数列｛aj为等差数列, p,q,k, l为正整数，则 aq ak al ”的(条件 (A充分不必要 (B必要不充分 (C充要 (D 3.设A、B是抛物线y=x2上两点，0是坐标原点，若 OAL 0B,则( (A|OA| • |OB| > 2 (B|OA|+|OB| (C直线AB过抛物线y=x2的焦点(DO至煩线AB的距离小于等于 X y 4.设函数f(x的定义域为(-1,1，且满足：① f (x >0,x € (-1,0；② f (X + f (y = f ( , X、y € 1 xy (-1,1，则 f (x为 (A奇函数(B偶函数(C减函数(D有界函数 5. 如图，已知直线 y=kx+m与曲线y=f(x相切于两点，则 F(x= f (x - kx有( 个极小值点(D3个极小值点 / C=—，且 sinC+sin(B - A - 2sin2A=0,则有( 3 (Ab=2 a (B △ ABC的周长为2+2-. 3 (C △ ABC的面积为一空(D △ ABC的外接圆半径为 3 7.设函数 f(x (x2 3ex，则( (A f (x有极小值，但无最小值 (B f (x有极大值，但无最大值 (C若方程f (x =b恰有一个实根，则 b>-6| (D若方程f (x =b恰有三个不同实根，则 0 e e
 < class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>8.已知 A={(x,y 则( (A0< a2 b2 <2r2 (C1 x2 y r }, 2 2 B={(x,y 1 (x a (y b r ,已知 An B={(x1,yJ,( X2,y2}, 2 2 2 (B aX 2 X2 b(y 1 2y 0 X1 X2 = a, y1 x,y,z y2=b (D 满足4x 2a b2 = 2ax1 2by1 2 9.已知非负实数 4y2 z +2z=3, 则5x+4y+3z的最小值为( (A1 (B2 (C3 (D4 10. 数列｛ an｝的前n项和为Sn，若对任意正整数n,总存在正整数 m,使得Sn=am，则( (A｛ an｝可能为等差数列 (B｛ an｝可能为等比数列 设 (c｛an｝的任意一项均可写成｛an｝的两项之差(D对任意正整数n，总存在正整数 m使得an = Sm 11. 会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测： 的选手不可能得第一名；观众丙猜测： 1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测： 运动3道 4,5,6道的选手 都不可能获得第一名•比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有 ( (A甲(B乙(C丙(D 丁 12.长方体 ABCDAEGD 中, 1人猜对比赛结果，此人是 AB=2, AD=AA1=1，贝U A到平面 ABD的距离为( (A - (B 3 (D 13.设不等式组 |x| |y| 2 y 2 k(x 1 所表示的区域为 D,其面积为S,U( 1 (A若S=4,则k的值唯一 (B 若S=^，贝U k的值有2个 2 2 (D若D为五边形，则 k>4 (C若D为三角形，则0< 3 14. △ ABC勺三边长是 2,3,4，其外心为 0,则 (A0 (B -15 (C - uuu uuu uuu uuu uuur uuu OA AB OB BC 0C CA=( 21 (D 29 2 ,P(A- B=0.2，则( 2 15. 设随机事件 A与B互相独立，且 P(B=0.5 (AP(A=0.4 (BP(B -A=0.3 (CP(AB=0.2 (DP(A+B=0.9 16. 过厶ABC的重心作直线将厶 ABC分成两部分，则这两部分的面积之比的( 3 (A最小值为一(B最小值为 4 5 4 (C最大值为一 5 (D最大值为一 4 17. 从正 15边形的顶点中选出 3 4 则不同的选法有( 3个构成钝角三角形，
(A105 种(B225 种(C315 种(D420 种 18. 已知存在实数r，使得圆周x2 y2 r2上恰好有n个整点，则n可以等于(
 (A4 (B6 (C8 (D12 19. 设复数z满足2|z| w |z-1|，则( 1 (A|z|的最大值为1 (B|z| 的最小值为—(Cz 2 的虚部的最大值为1 23 20.设 m,n是大于零的实数， a =(mcosa ,msin a , (Dz的实部的最大值为1 3 b =(ncos 3 ,nsin 3 ，其中 a , B€ [0,2 n a , B€ 3 r 1 , _ [0,2 n •定义向量 a2 =( 、、. m cos — ,、. m sin 一 , b2 =(、. n 2 cos— ，、齐 sin —，记 9 = a - 3,贝2 U 2 r 1 r] 2 _ 2 222(D |a b | 4, mncos2 — 4 r[ r 1 r r1 r1 (A a2 • a2 = a b2=、.mn cos— ___ (B a2r] r] „ |a2 b2| (C 4、一 mn sin2 — 4 21.设数列｛ an｝满足：a1=6, (A ? n € N?, an<(n 13 an 1 ，则( ? n€ N?, an 丰 2015 ? n € N?, an为完全立方数 < class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>(B (D (C ? n € N?, an为完全平方数 22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有( (Ap= 1 cos sin (Bp=—12 sin (C p= — 2 cos 1 (D 1 1 2si n 23. 设函数 f(x s ，则< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>( x x 1 (D < class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>曲线y= f (x存在对称中心 in x4 (A f(x w (B| f (x | w 5|x| (C曲线 y= f (x存在对称轴 3 24. △ ABC的三边分别为a,b,c，若△ ABC为锐角三角形，则( 222a b c (D a3 b3 (Asi nA>cosB (Bta nA>cotB (C 25. 设函数f (x的定义域是(-1,1, (A f (x >0, x € (- S , S (B (C f (x >1, x € (0, S (D c3 € (0,1，使得( 若f(0 = f (0 =1,则存在实数 s f (x在(-S , S 上单调递增 f (x>1 , x€ (- S ,0 A(-1,0, B(1,0 •若对于y轴上的任意n个不同的点 Pk(k=1,2，…,n，总存 26.在直角坐标系中，已知 在两个不同的点R,Pj , (A3 (B4 使得 |sin / APjB-sin / APj B| w —,贝V n 的最小值为( 3 1 (C5 (D6 2x+y=1，则 x+ x2 y2 的( 27.设非负实数x,y满足 4 2 1 V2 (A最小值为一(B最小值为一 (C最大值为1 (D最大值为-------------------- 5 5 3
 28.对于50个黑球和49个白球的任意排列(从左到右排成一行，则( (A存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 (B存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多 (D存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个 (C存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 29.从1,2,3,4,5 中挑出三个不同数字组成五位数, 12231,则能得到的不 其中有两个数字各用两次，例如 同的五位数有( 个(D1800 个 个(C900 (A300 个(B450 2 4 2 42 30.设曲线L的方程为 y (2x 2y (x 2x =0,则( (AL是轴对称图形 是中心对称图形 (BL 1 (CL ? {(x,y I (DL ? {(x,y ##A nswer## 2 ..2 1.【解析】 丄 zz 1 zz 1-z _______ 1< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'> - 2. 2 1-cos i sin 3 cos 3 3 i sin ___ 3 2 2i sin 3 cos( -i sin( < class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>3 2sin2 i 2sin cos— 3 3 3 < class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>cos0 isinO 2sin — [cos( — i sin( 丄(cos— isi n — i sin 、、3(cos— 2 -洽 2os( 2 7] 76 i sin( .3 6 6 △ =1,选 B 2 2.【简解】 ap (ak Q=[(p+q-(k+l]d ，与公差 d的符号有关，选 2 uuu uuu 2 3.【解析】设A( X1,X1 ,B( X2,X2 , OA OB =X1X2(1 X1X2 =0 X2 X 1 2 1 OB1 > /2 2|X1 | 丄=2,正确; 答案(A, |0A| lI ^x^(1 好41 —1^ = j1 X 2 |X1 | X1 2 2 2^=X2 (B,|OA|+|OB| > 2..|OA「|OB| > 2 .2,正确；答案(C,直线 AB 的斜率为 x2 x1 (答案 X1 程为 y- xj =( x1 1 (x- x1,焦点(0, 1不满足方程，错误；答案(D，原点到直线AB：( 4 X1 1 0 x-y+ 仁X1 的距离d= (X11 Jr 1 w 1,正确。选ABD
4.【解析】x=y=O f (0 =O,y=-x f ( x f(x, f(x为奇函数，(A正确；f(x. 0, (B错误; Xi X2 , f (xj - f(X2 = f(xi + f( X2 = f ® 空 >0 f (xi > f(X2 f (x J ,(C正确; 1 xi屜 f(x=-tan x满足已知条件，但无界，(D错误。选A,C 2 5.【简解】将直线平移知：斜率为 k的直线，与曲线y= f (x至多有五个公共点，其中在此直线先下方后 上方的两个区间，先上方后下方的三个区间，故 F(x有三个极大值点，两个极小值点。选 BC6. 【解析】2R= 2 _ R= '、3,D 正确; 3cosA=0 或 sinB=2sinA 0 — 又 sinC+sin(B-A=sin(B+A+sin(B-A=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosA A=—或 2 0 — A = 3 2 — a =一J3 =—: 3 2 ,Bb=2 a ; A=—时，b= — J3 , a = — J3 ,周长为 2+ J3 ,面积为一J3 ; b=2 a 时， 2 c =a b 2ab cosC 3 3 < class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>选BCD 2 2 2 ,冋样有周长为 2+..3，面积为2 & ° 3 7.【简解】f (x=(x+3(x-1 e , f极大(x f ( 36 e —, f极小(x f(1 -2e, 作出其大致图象，如图 选BD 2 2 2 2 2 2 8.【解析】已知即半径相等的两圆O O： x y r与O C： (x a (y b r交于相异的两点 R (Xyi , i 、P( X22> y2 ° <|0OC|<2|r| 0<a2 b2<4r2,(A错；四边形ORCP2是菱形 对角线OC与RP2
一 一 2 2 2 2 2 2 垂直且平分，(B(C正确；a b =2axi 正确。 总之，选BCD 9.【解析】关于z的方程z2 2z 4x2 4y2 3 0有非负实数解，z=-1+2 1 2byi (a Xi (b yi Xi yi |CR | |0R|, (D x2 x2 d=5x+4y+3z=5x+4y+6 . 1 x2 y2 -3,设 x=rcos 0 ,y=rsin 0 , [0,㊁】,「 € [0, d=r(5cos 0 +4sin 0 +6 ,1 r2 -3=r ■. 29 sin( 0 +arctan -+6 .. 1 r2 4 -3 >4r+6 ,1 r2 -3=2(2r+3 J r2 -3,设 a=(2,3 , b =(r, 1 r一 2 d> 2 a b -3=2 | a ||b | cos( a, b -3=2 .. 13 cos( a, b-3, 作图知 (a,b最大值是b与OY夹角，此时d>213 L -3=3。选C < class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>10.【解析】答案(A，常数列0,0,0,… 满足要求；答案(B,公比 q=1时因na1 z a1,结论假, 4(1 q< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>n m 1 1 qn 1 q ag m1 1 q常数，也不可能；答案(C, an Sn Sn 1 = am at,满足要求；答案 q (D, an = Sm =at，并非对所有数列成立。选 AC 11. 【简解】答案甲乙丙不能保证只有一个正确，故选 D 12. 等体积法，选B 13. 【解析】如图：不等式组表示过点 P(-1,-2的直线的下方与正方形 ABCD围成的面积图形 qz 1 时,
>4,故S=4只有一解，(A正确；△ RAB △ P3P4D的面积分别 5 < class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>4 5 1 2 2 1 的直线，(B正确；k<0时，围成的仍然 为一、1,都比一大，故再两个三角形内各存在一个围成面积为 是三角形， (C错误；围成五边形，斜率大于直线 取14. 【简解】 AB的中点 PC的斜率4，(D正确。选ABD uuu uuu 1 2 D,则 OA AB =OAX ABX cos( n - / OAB=-ABX (OAX cos / OAB=-_ AB2 同理 2 ， uuuuu uULrurn 1 2 1 29 2 2 2 1 2 CA CA2，原式= (AB2 BC2 CA2 .选 D u BC = 2BC , OC 2 2 2 OB 2 15. x=0.2;P(A=0.4 , 【简解】设 P(AB=x，贝U P(A=0.2+x，根据 P(AB=P(AP(B有 x=(0.2+x X 0.5 (A正确；P(B-A=0.5-0.2=0.3,(B 正确；P(AB=0.2 , (C正确；P(A+B=P(A+P(B-P(AB=0.7,(D 错误。 选ABC 16. ［解析】设厶ABC的重心为G,面积为1,过点G的直线与三角形边 ABAC分别相交于 D E, AD=xAB,AE=yAC, 1 则有一ABX ACsinA=1,如图 2 特别的< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'> x,y € {0,1} 时， DE为三角形的中线，此时分成两部分面积比值为 当x,y € (0,1时， 1 G E三点共线 △ ADE面S=[ ADX AEsinA= - xABX yACsinA=xy,D、 积 存在实数入，使 UULT 得DG uuur UULDE < class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>AG 2 2 UUuuur UULT uuur UULT UUU AD =入( AE AD =(1-入AD + 入 AE =(1- AGx 1 3 1 3 uuu UULT 入x AB +入 y AC ,又 UULT 1 uuu 1 uuur — (1 AG =- AB + — AC 3 3 y 1 消去入得到1 x 2 =3,因_ _ > 2. 厂1 y x y x y ,S 1 「11 2 S > S V 3
4 > -,等号成立当且仅当x=y= 9 4 5 -，最大值-。选BD 5 4 17. 形个数，加设此点为 2 3 4 9 5 9 DE// BC,故S最小值为一，1-S的最大值为—；故两面积比值有最小值 【解析】先看一个顶点处构成钝角的三角A,从A逆时针方向的点依次记为 Ak(k=1,2,3,…,7,顺时针方向的顶点依次记为 Ak(k=1,2,3,…,7 , △ A.AA m要构成以A为钝角的钝 角三角形，则 n+mc7,有1+2+3+…+6=21个。于是共可构成 15X 21=315个钝角三角形。选 C 18. 【简解】正数点关于 x轴、y轴对称，故一定是 4的倍数。选 ACD 1 2 19. 【简解】设x=x+yi(x,y € R,代入化简得到(x丄 y22 2 4 1 9 3 2 3 4，表示以(--,0为圆心，以-为半径的 3 圆及其内部，根据图形，选 ACD 20. r 1 r 1 【解析】a1 • a2是一个数值，不是向量，(A错； . . . .< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'> r 1 r 1 . a2 b2 =ncos cos nsin sin =、.. mn cos = .mn cos—,(B正确； 2 2 2 2 2 2 r 1 r 1 | a2 b212 = (、、mcos— 、、n cos—2 + (、、msin— ,n sin—2 =m+n-2 . mn cos 2 2 2 2 m+n-2m ncos — > 2 m n( 1-cos — = 4 , m nsin2—,(C正确; 2 同理(D正确 选BCD 2 4 21. ------------------------------- 【简解】 亠1 12,(A正确；2015=5 ,迭乘得到 an=(n+2(n+1n ； a. (n 13 n(n+2< (n an n X 13X 31,不可能是三个连续整数之积，(B正确；三个连续整数积不可能为完全平方数和立方数， 错误。选AB (C(D 1 22.【简解】(A去分母，化成直角坐标方程为 x+y=1 ,表示直线; (B为 p =- —-表示椭圆; (C 1 2 cos( 2 表示双曲线。选 BC 1 为p = ---- ^2 ------ 表示椭圆; (D为p = 1 2cos(- g(x= 4x 4x 4 3sin x > 0, g极小值(x二g(—=0A正确；|f (x | 2 2,(1 cos 2 4 23.【解析】f (x c 1 c 2 1 3 5|x| |sin n x| c | x3 x x |.作图象知成立,(B正确；x= 是其一条对称轴，(C正确； 2 f (a x f (a x不可能为常数，故(D错误。选ABC
24.【简解】A+B>— A>—-B sinA>sin( —-B=cosB,tanA>tan( —-B=cotB,(A(B 正确；锐角三角形, 2 2 2 2 2 2 2 定有a 时，满足锐角三角形条件，但 b c , (C正确；三角形三边长为0.5,0.9,1 3 3 0.5 0.9 0.854 <1, (D错误。总之，选 ABC f(x f(0 3 时，| -1|< £ < class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>x(1- 25.【解析】 根据导数定义，对任意£ >0,存在3 >0,当|x|< x £ +1< f (x £ +1，对£取值可知(A(C正确；f (0=1>0,知在0附近存在区间, fX>0,(B正 确；对于函数 y=x+1，(D不正确。总之，选 ABC 2 1 C：个，其中最小者不大于 ，最 26.［解析】将所有的|sin / ARBS in / APj B|，按从小到大排序，共有 3 1 2 (2大为，于是-Cn > 2,n的最小值为4.选B 3 27.【解析】设 x=rcos 0 ,y=rsin 0 , 0€ [0, ].2x+y=1 r= ,x+ . x2 y2 =rcos 2 2cos sin cos1221 sin( < class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>< class='_1'>+r= ，记作 T ；去分 母得到 Tsin 0 +(2T-1cos 0 =1, , T (2T 2cos sin 2T 1 4 2T 1 +arctan =1 w 、 T2 (2T 12 ,解得 T > ,等号成立当且仅当 0 +arctan T N T 5 3 +arctan =— , (A正确；当0 =0时T=2,0 =一时T=1，最大值为 2, (C正确。选 AC 4 2 2 28.[简解】黑球先放好，放白球，选 A 3 29.【解析】先从五个数字中，将这三个数字中选出来，有 C5种方法，如选了 123;在确定不重复用的数 -----—— 字，有C3种方法，如选3;对数字3安排有A；种方法，余下的对数字 1安排有C：种方法，剩下的两位安 排 2; 有 CCA1 C42 =900. 选 C 30.［简解】解方程得到 y2 x2 1 \ 4x2 1 ，易知它关于两坐标轴及原点都对称, (A(B正确; 22233 x y = • 4x 1 1 w 1有-— wxw —条件，但已知中无此条件，故(C错误；设2x=tan 0 , 0€ (—— , 2 2 2 1 3 11 1 5 3 ,y2 =- sec2 +sec 0 -一，当 sec 0 =2 时，y2max= 2 , - — w y w ,(D正确。选 ABD 4 4 4 2 2

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