图形的初步认识讲义及练习

发布时间：2020-10-11 04:23:08

图形的初步认识

一、几何图形

柱体（圆柱、棱柱）

立体图形（体）锥体（圆锥、棱锥）

球体

点

几何图形（点、线、面、体）直线（射线、线段）

线

平面图形曲线

平面（角、三角形、平行四边形、圆等）

面

曲面

点动成线，线动成面，面动成体。

二、线段、射线和直线

1、概念及记法的区别

线段：（1）有两个端点（2）可以度量（3）A a B 记作：线段AB或线段BA或线段a

射线：（1）有一个端点（2）向一方无限延伸（3） A B 记作：射线AB

直线：（1）无端点（2）向两方无限延伸（3） A B l 记作：直线AB或直线BA或直线l

2、相关概念

两点间的距离：连接两点的线段的长度

线段的中点：分一条线段为两条相等的线段的点。如 A C B C为线段AB上一点，且

AC＝BC，则C为线段AB的中点，记作AB＝2AC＝2BC或AC＝BC或AC＝BC＝AB

3、线段大小的比较

线段长短的比较有两种方法：（1）度量法（用刻度尺量出两线段的长度再比较）（2）叠合法（用圆规）

4、相关性质公理

直线公理：过两点有且只有一条直线

线段公理：两点之间，线段最短

三、角的认识

1、角的概念

静止角度：由公共端点的两条射线组成的图形（公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边）

运动角度：由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形（起始位置的射线称为角的始边，终止位置称为角的终边）

2、角的表示方法

（1）可以用三个大写字母来表示，如

（2）在不引起混淆的情况下，可以只用顶点大写字母来表示，如

（3）可以用一个数学或小写希腊字母来表示，如或

3、角的大小

角的大小不是看角的两边的长与短，而是由两条射线的位置（张口大小）来决定。

(1) 计量单位：度，分，秒（时钟的分针，经过一分转，时针经过一小时转）

(2) 角的大小比较

两种方法：①度量法（用量角器）②叠合法（保持顶点和其中一条边重合）

（3）两个角的和或差

两个角的和是把两个角中的两条边重合后另两条边形成的一个角；两个角的差是在一个较大角中去掉一个较小角后的角。

（4）角平分线

概念：从角顶点发出的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线

表示方法：如图，若是的平分线，则①②③ B

O C

性质：角平分线的点到这个角两边的距离相等；到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上

（5）角的分类

锐角（大于小于的角）

直角（等于的角）

钝角（大于小于的角）

平角（的角，定义：一条射线绕着它的端点旋转，当终边与始边成一条直线时所形成的角）

周角（的角，定义：一条射线绕着它的端点旋转到起始位置所形成的角）

1周角＝2平角＝4个直角

注：不能说“一个平角是一条直线，一条射线就是周角”

（6）补角、余角、对顶角和邻补角

补角和余角属于数量关系角，对顶角和邻补角属于位置关系角。

①如果两个角的和是一个平角，则这两个角互为补角，即，则互为补角，简称互补，是的补角或是的补角。同角或等角的补角相等。

②如果两个角的和是一个直角，则这两个角互为余角，即，则互为余角，简称互余，是的余角或是的余角。同角或等角的余角相等。

③两条直线相交形成两类角：一是对顶角，一是邻补角。对顶角相等，邻补角是特殊位置上的补角。

如图(a)，两直线AB、CD相交于O，则对顶角有两组：；邻补角有四组：和，和，和，和

( b ) ( a ) ( c )

（7）方位角

方位角是表示方向的角，是确定物体位置的重要因素之一。具体表示时，是南（或北）在先，

再说偏东（或偏西）。

如上图(b)，OA的方向为北偏东，OB的方向为南偏西（即西南方向）

四、相交线和平行线

同一平面内，两直线的位置关系：相交或平行。

1、相交线

（1）相关概念

两直线相交：若两直线有且只有一个公共点，则称两直线相交，公共点叫做交点。

垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。如上图（c），直线AB，CD互相垂直，垂足为O，记作ABCD或CDAB于O，读作“AB垂直于CD，垂足为O”。

注：垂线是直线而不是线段。

点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这点和垂足之间的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离。

线段的垂直平分线：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线（亦叫中垂线）。

比例尺＝

（2）相关性质

①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

②直线外一点与直线上各点联结的线段中，垂线段最短

③线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等，和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

2、平行线

（1）相关概念

两直线平行：在同一平面内不相交的两条直线。如在同一平面内a与b不相交，即a平行于b，记作∥。

两平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离。

（2）平行公理及推论

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：如果同一平面内有两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即“∥”

五、作图

1、过直线l外一点A画直线l的垂线

方法一：用三角尺（作法：如下图，三角尺一条直角边和l重合，并移动使得另一直角边过A点，再用铅笔沿另一条边画直线即为所求）

方法二：用量角器（作法：如下图，量角器的线与l重合，并移动使得零刻度线过A点，零刻度线所在直线即为所求）

2、过直线a外一点P画一条直线b，使得∥

方法一：如图，①任意画一条直线l，使②过点P画直线，则∥，b即为所求

方法二：如图，用三角尺和直尺画∥

3、画已知的角平分线OP

方法一：用量角器量出的度数，以OB为始边用量角器量出，终边为OP，则OP即为所求

方法二：尺规法（同4、（4））

4、尺规作图

（1）比较两已知线段a和b的大小

作法：①将圆规的两脚和线段a的两端点重合 ②此圆规的一脚和b的一端点重合，进行叠合后若另一脚落在b上，则；若落在b外，则；若则好跟b另一端点重合，则

（2）画一线段等于已知线段a和b（）的长度的和或差

①记c为a和b长度的和，则

作法：如下图，用直尺延长a（AB）到一定长度，再用圆规往右顺次截取BC＝b，则AC即为所求

②记d为a和b长度的差，则

作法：如下图，用圆规在a上截取AC＝b，则BC即为所求

（3）画一已知线段AB的垂直平分线

作法：如图（3）①分别以AB为圆心，大于长为半径在AB上下画弧，上面两条弧的交点为C，下面两条弧的交点为D ②连接CD，则直线CD即为所求

（4）画一已知的角平分线OP

作法：如图（4）①以O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA，OB于C，D ②分别以C，D为圆心，大于长为半径在内画弧，两弧交点为P ③连结OP，则OP即为所求

图(3) 图(4)

【探索】

1、已知直线l上有n个点，问共有多少条线段和多少条射线？

答案：线段有：

射线有：

2、如果以O为端点有n条射线（构成的角都小于平角），组成的角有多少个？

答案：角有：

3、利用一副三角板可以拼出多少个角（不包括和角）？

答案：可以拼出11个角（这11个角分别以递增：

【练习】

单元测试 ( A )

一、填空题（每小题2分，共20分）

1．不在同一直线上的四点最多能确定条直线.

2．如图，从A地到B地走条路线最近，它根据的是 .

3．(02宁德市 )如图，是用对顶角的量角器测量圆锥形零件的锥角的示意图，则此零件的锥角等于

度.

4． (02杭州市)当图中的∠1和∠2满足_________时，能使OA⊥OB（只需填上一个条件即可）.

5．从A市开往B市的特快列车，途中要停靠三个站点，如果任意两站间的票价都不相同，那么有种不同的票价

6．小明每天下午5:30回家，这时分针与时针所成的角的度数为___________．

7．(02岳阳市)在同一平面内，1个圆把平面分成0×1+2=2个部分，2个圆把平面最多分成1×2+2=4个部分，3个圆把平面最多分成2×3+2=8个部分，4个圆把平面最多分成3×4+2=14个部分，那么10个圆把平面最多分成个部分.

8．有边长为1的等边三角形卡片若干张，使用这些三角形卡片拼出边长分别是2，3，4，…的等边三角形 (如图所示)．根据图形推断，每个等边三角形所用卡片总数s与边长n的关系式是 .

9．如图所示的4×4正方形网格中，∠l+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= ．

二、选择题（每小题3分，共30分）

10．若∠α=30°，则∠α的补角为( )．

A．30° B．60° C．120° D．150°

11. 平面上有三点A、B、C，如果AB=8，AC=5，BC=3，则（）

A．点C在线段AB上 B．点B在线段AB的延长线上

C．点C在直线AB外 D．点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外

12.在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯塔的（）

A．南偏西50度方向 B．南偏西40度方向 C．北偏东50度方向 D．北偏东40度方向

13．如图，, ,点B、O、D在同一直线上，则的度数为（）

A． B． C． D．

14．如图，已知∠AOC＝90º，∠COB＝α，OD平分∠AOB，则∠COD等于（　　）

A．　　　B．　　C．　　D．

15．某公司员工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有30人，B区有1 5人，C区有1 0人.三个区在同一条直线上，位置如图所示．该公司的接送车打算在此问只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在( )

A．A区 B．B区 C．C区 D．A，B两区之间

16．一条信息可通过如图的网络线由上(A点)往下向各站点传送．例如信息到b2点可由经al的站点送达，也可由经a2的站点送达，共有两条途径传送．则信息由A点到达d3的不同途径共有( )．

A．3条 B．4条 C．6条 D．12条

17．为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路．现已知各村及电厂之间的距离如图所示（单位：公里），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是( )

A．19．5 B．20．5 C．21．5 D．25．5

18．(02烟台市)花园内有一块边长为a的正方形土地，园艺师设计了四种不同的图案，如下图的A、B、C、D所示，其中的阴影部分用于种植花草．种植花草部分面积最大的图案是( )．

(说明：A、B、C中圆弧的半径均为，D中圆弧的半径为a)

19．已知α、β是两个钝角，计算的值，甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不同的答案分别为24°、48°、76°、86°，其中只有一个答案是正确的，则正确的答案是（）

A．86° B．76° C．48° D．24°(02烟台市)

三、解答题（21~25题每题6分，26~27题每题10分，共50分）

20．已知∠1与∠2互为补角，且∠2的比∠1大15°，求∠1的余角．

21．如图所示，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20º,求∠AOB的度数。

22．如图，已知B、C是线段AD上的两点，M是AB的中点，N是CD的中点，MN=a，BC=b，求线段AD的长．

23．如图，已知A、O、E三点在一条直线上，OB平分∠AOC，∠AOB+∠DOE=90°，试问：∠COD与∠DOE之间有什么关系?说明理由．

24．如图，OA的方向是北偏东15°,OB的方向是西偏北50°．

（1）若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是___________；

（2） OD是OB的反向延长线,OD的方向是_________；

（3） ∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE,OE的方向是____________；

（4）在(1)、（2）、（3）的条件下，∠COE=______°．

25．如图，是某风景区的旅游路线示意图，其中B、C、D为风景点,E为两条路的交叉点，图中数据为相应两点间的路程(单位：千米).一学生从A处出发，以 2千米 /小时的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为0.5小时.（01南昌）

(1)当他沿着路线A—D—C—E—A游览回到A处时，共用了3小时，求CE的长；

(2)若此学生打算从A处出发，步行速度与在景点的逗留时间保持不变，且在4小时内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行路线，并说明这样设计的理由(不考虑其他因素).

单元测试（B）

一、填空题（每小题2分，共20分）

1．若∠α的补角为1200，则∠α＝度．

2．如图，直线AB⊥CD于O，直线EF过点O，且∠AOE＝40°，则∠DOF＝度．

3． 38°12′等于度．

4．在同一个平面内，四条直线的交点个数不能是个．

5．从A市开往B市的特快列车，途中要停靠三个站点，如果任意两站间的票价都不相同，那么有种不同的票价．

6．如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，则线段AC的长度为．

7．将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为．

8．观察两两相交但无三线共点的若干条直线，将平面划分成的区域个数K，有如下事实：一条直线将平面划分成2个区域，K=2=+1；两条直线将平面划分成4个区域，K=4=+1；三条直线将平面划分成7个区域，K=7=+1；…．请根据你的推测，n条直线最多可将平面划分成的区域个数K，用n的代表式表示为K=　　　　．