正在进行安全检测...
发布时间：2023-12-20 21:05:36
.word格式. 历届奥数竞赛题讲解精选
1. 假设n是自然数，d是2n2的正约数．证明：n2＋d不是完全平方．
【题说】 1953年匈牙利数学奥林匹克题2．
【证】 设2n2＝kd，k是正整数，如果 n2＋d是整数 x的平方，那么
k2x2＝k2（n2＋d）＝n2（k2＋2k）
但这是不可能的，因为k2x2与n2都是完全平方，而由k2＜k2＋2k＜（k＋1）2得出k2＋2k不是平方数．
试证四个连续自然数的乘积加上1的算术平方根仍为自然数．
【题说】 1962年上海市赛高三决赛题 1．
【证】 四个连续自然数的乘积可以表示成
n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n2＋3n）（n2＋8n＋2）
＝（n2＋3n＋1）2－1 因此，四个连续自然数乘积加上1，是一完全平方数，故知本题结论成立．
--------------------------------------------------------------------------- . 专业.专注
.
.word格式. 1.已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明：此级数一定含有无穷多个完全平方数．
【题说】 1963年全俄数学奥林匹克十年级题2．算术级数有无穷多项．
【证】 设此算术级数公差是 d，且其中一项 a＝m2（m∈N）．于是
a＋（2km＋dk2）d＝（m＋kd）2 对于任何k∈N，都是该算术级数中的项，且又是完全平方数．
2.求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得到一个完全平方数（假定划掉的两个数字中的一个非零）．
【题说】 1964年全俄数学奥林匹克十一年级题 1．
【解】 设 n2满足条件，令n2＝100a2＋b，其中 0＜b＜100．于是 n＞10a，即 n≥10a＋1．因此
b＝n2100a2≥20a＋1 由此得 20a＋1＜100，所以a≤4．
经验算，仅当a＝4时，n＝41满足条件．若n＞41则n2－402≥422－402＞100．因此，满足本题条件的最大的完全平方数为412 . 