对称——自然美的基础

在丰富多彩的物质世界中，对于各式各样的物体的外形，我们经常可以碰到完美匀称的例子。它们引起人们的注意，令人赏心悦目。每一朵花，每一只蝴蝶，每一枚贝壳都使人着迷；蜂房的建筑艺术，向日葵上种子的排列，以及植物茎上叶子的螺旋状颁都令我们惊讶。仔细的观察表明，对称性蕴含在上述各种事例之中，它从最简单到最复杂的表现形式，是大自然形式的基础。

花朵具有旋转对称的性征。花朵绕花心旋转适当位置，每一花瓣会占据它相邻花瓣原来的位置，花朵就自相重合。旋转时达到自相重合的最小角称为元角。不同的花这个角不一样。例如梅花为72°，水仙花为60°。“对称”在生物学上指生物体在对应的部位上有相同的构造，分两侧对称（如蝴蝶），辐射对称（放射虫，太阳虫等）。我国最早记载了雪花是六角星形。其实，雪花形状千奇百怪，但又万变不离其宗（六角星）。既是中心对称，又是轴对称。

很多植物是螺旋对称的，即旋转某一个角度后，沿轴平移可以和自己的初始位置重合。例如树叶沿茎杆呈螺旋状排列，向四面八方伸展，不致彼此遮挡为生存所必需的阳光。这种有趣的现象叫叶序。向日葵的花序或者松球鳞片的螺线形排列是叶序的另一种表现形式。

“晶体闪烁对称的光辉”，这是俄国学者费多洛夫的名言。无怪乎在古典童话故事中，奇妙的宝石交织着温馨的幻境，精美绝伦，雍容华贵。在王冠上，以其熠熠光彩向世人炫耀，保持永久不衰的魅力。

对数螺线与蜘蛛网

曾看过这样一则谜语:“小小诸葛亮，稳坐军中帐。摆下八卦阵，只等飞来将。”动一动脑筋，这说的是什么呢?原来是蜘蛛，后两句讲的正是蜘蛛结网捕虫的生动情形。我们知道，蜘蛛网既是它栖息的地方，也是它赖以谋生的工具。而且，结网是它的本能，并不需要学习。

你观察过蜘蛛网吗 ?它是用什么工具编织出这么精致的网来的呢?你心中是不是有一连串的疑问，好，下面就让我来慢慢告诉你吧。在结网的过程中，功勋最卓著的要属它的腿了。首先，它用腿从吐丝器中抽出一些丝，把它固定在墙角的一侧或者树枝上。然后，再吐出一些丝，把整个蜘蛛网的轮廓勾勒出来，用一根特别的丝把这个轮廓固定住。为继续穿针引线搭好了脚手架。它每抽一根丝，沿着脚手架，小心翼翼地向前走，走到中心时，把丝拉紧，多余的部分就让它聚到中心。从中心往边上爬的过程中，在合适的地方加几根辐线，为了保持蜘蛛网的平衡，再到对面去加几根对称的辐线。一般来说，不同种类的蜘蛛引出的辐线数目不相同。丝蛛最多，42条；有带的蜘蛛次之，也有32条；角蛛最少，也达到21条。同一种蜘蛛一般不会改变辐线数。

到目前为止，蜘蛛已经用辐线把圆周分成了几部分，相临的辐线间的圆周角也是大体 相同的。现在，整个蜘蛛网看起来是一些半径等分的圆周，画曲线的工作就要开始了。蜘蛛从中心开始，用一条极细的丝在那些半径上作出一条螺旋状的丝。这是一条辅助的丝。然后，它又从外圈盘旋着走向中心，同时在半径上安上最后成网的螺旋线。在这个过程中，它的脚就落在辅助线上，每到一处，就用脚把辅助线抓起来，聚成一个小球，放在半径上。这样半径上就有许多小球。从外面看上去，就是许多个小点。好了，一个完美的蜘蛛网就结成了。

让我们再来好好观察一下这个小精灵的杰作:从外圈走向中心的那根螺旋线，越接近中心，每周间的距离越密，直到中断。只有中心部分的辅助线一圈密似一圈，向中心绕去。小精灵所画出的曲线，在几何中称之为对数螺线。

对数螺线又叫等角螺线，因为曲线上任意一点和中心的连线与曲线上这点的切线所形成的角是一个定角。大家可别小看了对数螺线:在工业生产中，把抽水机的涡轮叶片的曲面作成对数；螺线的形状，抽水就均匀；在农业生产中，把轧刀的刀口弯曲成对数螺线的形状，它就会按特定的角度来切割草料，又快又好。

蜂房中的数学

蜜蜂是勤劳的,它们酿造出了最甜的蜜;蜜蜂是聪明的,它们会分工合作,还会用舞蹈的形式告诉同伴:哪里有花源,数量怎么样。实际上,不仅如此,蜜蜂还是出色的建筑师。它们建筑的蜂房就是自然界诸多奇迹中的一个。

蜂房是正六棱柱的形状,它的底是由三个全等的菱形组成的。达尔文称赞蜜蜂的建筑艺术, 说它是:天才的工程师。法国的学者马拉尔狄曾经观察过蜂房的结构,在1712年,他写出了一篇关于蜂房结构的论文。他测量后发现,每个蜂房的体积几乎都是0.25立方厘米。底部菱形的锐角是70度32分,钝角是109度28分,蜜蜂的工作竟然是这样的精细。物理学家列奥缪拉也曾研究了这个问题,它想推导出:底部的菱形的两个互补的角是多大时,才能使得蜂房的容量达到最大,他没有把这项工作进行下去。苏格兰的数学家马克劳林通过计算得出了与前面观察完全吻合的数据。

公元4世纪,数学家巴普士就告诉我们:正六棱柱的蜂房是一种最经济的形状,在其他条件相同的情况下,这种结构的容积最大,所用的材料最少。他给出了严格的证明。看来,我们不得不为蜜蜂的高超的建筑艺术所折服了。马克思也高度地评价它:蜜蜂建筑蜂房的本领使人间的许多建筑师感到惭愧。现在,许多建筑师开始模仿蜂房的结构,并把它们应用到建筑的实践中去。

龟背上的学问

传说大禹治水时，在一次疏通河道中，挖出了一只大龟，人们很是惊讶，争相观看，只见龟背上清晰刻着图1所示的一个数字方阵。

这个方阵，按《孙子算经》中筹算记数的纵横相间制：“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。六不积算，五不单张。”可译成现代的数字，如图2所示。

方阵包括了九个数字，每一行一与列的数字和均为15，两条对角线上的数也有相同的性质。当时，人们以为是天神相助，治水有望了。后来，人们称刻在龟背上的方阵为“幻方”(国外称为“拉丁方”)，属于组合数学范畴。使用整数1—9构成的3×3阶“拉丁方”唯一可能的和数是15，这一点只要把这“拉丁方”中所有数加起来便可证明，1十2十3十4十5十6十7十8十9＝45，要把这几个数分配到三行(或列)使得每行(或列)有同样的和，那么，每行(或列)的和应为45／3＝150。

组合数学是数学中的一个分支，在实际生活中应用很广泛，请看下面的例子。

5名待业青年，有7项可供他们挑选的工作，他们是否能找到自己合适的工作呢?由于每个人的文化水平、兴趣爱好及性别等原因，每个人只能从七项工作中挑选某些工种，也就是说每个人都有一张志愿表，最后根据需求和志愿找到一个合适的工作。

组合数学把每一种分配方案叫一种安排。当然第一个问题是考虑安排的存在性，这就是存在问题；第二个问题是有多少种安排方法，这就是计数问题。接下去要考虑在众多的安排中选择一种最好的方案，这就是所谓的“最优化问题”。

存在问题、构造问题、计数问题和最优化问题就构成了全部组合数学的内容。如果你想了解更多的组合数学问题，那就要博览有关书籍，你会得到许多非常有趣的知识，会给你许多的启发和教益。

红木树——数学与自然

自然总是让人大吃一惊，当我们仔细看看自然界的各个领域，便会得出这样的结论：自然似乎懂得数学!

那高高的海岸红木，那巨大的加利福尼亚美洲杉，都是地球上最古老的活在世上的东西。在它上面我们能够发现一些诸如同心圆、同心圆柱、平行线、概率、螺线以及比等数学概念。

●同心圆、圆柱体和平行线——

在旧金山以北几英里的缪尔树木名胜古迹区，人们可以发现一丛巨大的红木树。在缪尔树木陈列室里有一个古代树的横断面。沿着断面上的同心环，有着许多历史资料的记录。在这些记录中，有基督的生日、诺尔曼人的征服，哥伦布发现新大陆等年份的标记。

一棵树的水平断面显示出同心圆的形式。正常每年生成一个圆环，环的宽度则依赖于气候的变化。干旱的季节所生的环窄些，除了用这些环确定树的大致年龄外，这些环还揭示了影响它生长的气候和自然现象的信息。科学家们能够用这些环来证实诸如干旱、火灾、洪水和饥荒等假说。

当观察树的整段长度时，这些同心圆表现为同心圆柱。这些圆柱的纵断面是一系列平行线。靠中心的平行线是树的心材(死细胞)。接下来是白木质的平行线，它为树木上下输送养料。随着树的生长，白木质圆柱层逐渐变为树的心材。在树皮与白木质之间有一个单细胞的圆柱层，称为形成层，新的细胞正是由形成层制造并变为树皮和白木质。

●概率——

不同树种之间种子的大小和数量有着很大的差异，例如，七叶树的种子每磅只有27个，而相比之下红木树种子每磅却多达12000个。红木树的毯果长度在英寸到1英寸之间，其中带有80到130个的种子。这些种子能够在15年之内发芽、生长。事实上，一棵巨大的红木树每年产生几百万颗种子，通过种子的数量对种子的发芽率予以补偿。在逆境下，许许多多小小的种子会增加红木树萌芽的机会。而种子发芽后说不定几千个中也只有一株有望长成大树。

●螺线——

看一看红木树的树皮，人们注意到在它的生长图案中有一些轻微的旋动。这是一个在增大的螺线。它是由于地球的自转以及稠密森林中微弱阳光对红木树生长方式的影响两者造成的。

●比——

有一个令人惊异的根系支撑着这些高大挺拔的巨树。这些根系主要由浅根(4—6英尺深)构成。支撑巨大红木树的是通过侧向向外的支根。根系与树高的比通常在与之间。例如，树高为300英尺，则它根系的侧根从树干的底部算起大约要有100—200英尺，才能为大树提供一个坚实的基础!

森林火灾的数学

“互相作用的粒子系统”作为概率论的一个分支始于60年代后期，这是一门扩展了的数学疆界。数学的模型和计算机的拟态，是研究各种自然偶发事件蔓延的有效手段。

一个分子随意而蜿蜒扩散的集合，其数学模型就像森林火灾那样。描画在棋盘式的方格纸上，每个做记号的小格或单个的或连成一片都表示树。而小格要么被烧过了，要么正在烧，要么没有触及。时间每增加一个量，正在烧的小格以某种概率向与它相邻的四个小格中的一个蔓延，除非该树周围的小格都已被烧过。

正如大家看到的那样，这些模型不像现实的境况那样复杂。类似的模型也可用于研究传染病的蔓延，在这种情况下每个小格表示一个个体，或健康，或生病，或免疫。

数学家们研究不同情况下事件的概率，并用计算机对这种概率下的过程进行模拟，即使更为复杂的情形也能构造出数学模型。可以断言，这项工作对于了解和驾驭自然现象必将起着重要的作用。

自取灭亡的飞蛾

相信大家都听过飞蛾扑火这个成语,其典故出自《梁书》。说的是,飞蛾见到火光,就会从老远飞过来,扑在火上自焚而死。为什么飞蛾会这么义无返顾地扑向火光,自取灭亡呢?我们可以从飞蛾古老的生活习性中看出些端倪来。在很多年以前,飞蛾就和其它昆虫一起,形成了根据自然光源—日光和月光—来引导自己飞行的生活习性.而太阳和月球距离地球是那么遥远,所以它们的光线射到地球上几乎可以视作是平行光线.飞蛾习惯于让光线以固定的角度射入它的眼中.那么,飞蛾在自然光中就会沿直线飞行。
当普通光源离飞蛾较近时,光线就不再是平行光线了。此时,飞蛾仍要让光线以固定角射入它的眼睛,它的飞行线路不再是一条直线,而是一条不断逼近光源的螺旋线,也就是数学中常常说到的阿基米德螺线。细心观察就会发现,飞蛾正是沿着一条螺旋线飞向火光.其实,早在1000多年以前,勤劳智慧的人们就发现了,飞蛾的这一起奇异的生活习性,并利用它在农田边上,用火光 来诱杀飞蛾,保护农作物免遭荼毒.这种方法一直沿用至今,为农民的丰收 立下了不可磨灭的功绩。

斐波那契数列

斐波那契数列在自然界中的出现是如此地频繁，人们深信这不是偶然的。

（1）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。

（2）细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。

斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：

3………………………百合和蝴蝶花

5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草

8………………………翠雀花

13………………………金盏草

21………………………紫宛

34，55，84……………雏菊

（3）斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。

（4）斐波那契数有时也称松果数，因为连续的斐波那契数会出现在松果的左和右的两种螺旋形走向的数目之中。这种情况在向日葵的种子盘中也会看到。此外，你能发现一些连续的鲁卡斯数吗？

（5）菠萝是又一种可以检验斐波那契数的植物。对于菠萝，我们可以去数一下它表面上六角形鳞片所形成的螺旋线数。

斐波那契数列与黄金比值

相继的斐波那契数的比的数列：

它们交错地或大于或小于黄金比的值。该数列的极限为。这种联系暗示了无论（尤其在自然现象中）在哪里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线，那里也就会出现斐波那契数，反之亦然。

来自大海的数学宝藏

有道是海洋是生命的摇篮。在大海中与在陆地上一样，生命的形式成为数学思想的一种财富。

人们能够在贝壳的形式里看到众多类型的螺线．有小室的鹦鹉螺和鹦鹉螺化石给出的是等角螺线．

海狮螺和其他锥形贝壳，为我们提供了三维螺线的例子．对称充满于海洋--轴对称可见于蚶蛤等贝壳、古生代的三叶虫、龙虾、鱼和其他动物身体的形状；而中心对称则见于放射虫类和海胆等。

几何形状也同样丰富多彩--在美国东部的海胆中可以见到五边形，而海盘车的尖端外形可见到各种不同边数的正多边形；海胆的轮廓为球状；圆的渐开线则相似于鸟蛤壳形成的曲线；多面体的形状在各种放射虫类中可以看得很清楚；海边的岩石在海浪天长地久的拍击下变成了圆形或椭圆形；珊瑚虫和自由状水母则形成随机弯曲或近平分形的曲线。

黄金矩形和黄金比也出现在海洋生物上--无论哪里有正五边形，那里我们就能找到黄金比．在美国东部海胆的图案里，就有许许多多的五边形；而黄金矩形则直接表现在带小室的鹦鹉螺和其他贝壳类的生物上。

在海水下游泳可以给人们一种真正的三维感觉。人们能够几乎毫不费力地游向空间的三个方向。

在海洋里我们甚至还能发现镶嵌的图案。为数众多的鱼鳞花样，便是一种完美的镶嵌。

海洋的波浪由摆线和正弦曲线组成。波浪的动作像是一种永恒的运动。海洋的波浪有着各种各样的形状和大小，有时强烈而难于抗拒，有时却温顺而平静柔和，但她们总是美丽的，而且为数学的原则(摆线、正弦曲线和统计学)所控制。最后，难道没有理由认为海中的沙曾经激发了古代人形成了无限的思想?当我们对每一个数学思想进行深层次研究的时候，会发觉它们是复杂和连带的。而每当在自然界中发现它们时，便就获得了一种新的意义和联系。

数学与自然