2019年山东省济宁市中考数学试卷(含答案解析)

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求

1．（3分）下列四个实数中，最小的是（　　）

A．﹣ B．﹣5 C．1 D．4

2．（3分）如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数是（　　）

A．65° B．60° C．55° D．75°

3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

4．（3分）以下调查中，适宜全面调查的是（　　）

A．调查某批次汽车的抗撞击能力

B．调查某班学生的身高情况

C．调查春节联欢晚会的收视率

D．调查济宁市居民日平均用水量

5．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．＝﹣3 B．＝ C．＝±6 D．﹣＝﹣0.6

6．（3分）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自此有了5G网络．5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是（　　）

A．﹣＝45 B．﹣＝45

C．﹣＝45 D．﹣＝45

7．（3分）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（　　）

A． B．

C． D．

8．（3分）将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　）

A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2

9．（3分）如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′B′C′．若反比例函数y＝的图象恰好经过A′B的中点D，则k的值是（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18

10．（3分）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（　　）

A．﹣7.5 B．7.5 C．5.5 D．﹣5.5

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

11．（3分）已知x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是　 　．

12．（3分）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是　 　．

13．（3分）已知点P（x，y）位于第四象限，并且x≤y+4（x，y为整数），写出一个符合上述条件的点P的坐标　 　．

14．（3分）如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC＝，AC＝3．则图中阴影部分的面积是　 　．

15．（3分）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是　 　．

三、解答题：本大题共7小题，共55分，

16．（6分）计算：6sin60°﹣+（）0+|﹣2018|

17．（7分）某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调查结果按性别整理如下：

女生阅读时间人数统计表

根据图表解答下列问题：

（1）在女生阅读时间人数统计表中，m＝　 　，n＝　 　；

（2）此次抽样调查中，共抽取了　 　名学生，学生阅读时间的中位数在　 　时间段；

（3）从阅读时间在2～2.5小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？

18．（7分）如图，点M和点N在∠AOB内部．

（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）请说明作图理由．

19．（8分）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y（km）与小王的行驶时间x（h）之间的函数关系．

请你根据图象进行探究：

（1）小王和小李的速度分别是多少？

（2）求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）若DH＝9，tanC＝，求直径AB的长．

21．（8分）阅读下面的材料：

如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，

（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；

（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．

例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数．

证明：设0＜x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．

∵0＜x1＜x2，

∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．

∴＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．

∴f（x1）＞f（x2）．

∴函数f（x）═（x＞0）是减函数．

根据以上材料，解答下面的问题：

已知函数f（x）＝+x（x＜0），

f（﹣1）＝+（﹣1）＝0，f（﹣2）＝+（﹣2）＝﹣

（1）计算：f（﹣3）＝　 　，f（﹣4）＝　 　；

（2）猜想：函数f（x）＝+x（x＜0）是　 　函数（填“增”或“减”）；

（3）请仿照例题证明你的猜想．

22．（11分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．

（1）求线段CE的长；

（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．

①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；

②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

2019年山东省济宁市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求

1．（3分）下列四个实数中，最小的是（　　）

A．﹣ B．﹣5 C．1 D．4

【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．

【解答】解：根据实数大小比较的方法，可得

﹣5＜﹣＜1＜4，

所以四个实数中，最小的数是﹣5．

故选：B．

【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

2．（3分）如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数是（　　）

A．65° B．60° C．55° D．75°

【分析】首先证明a∥b，推出∠4＝∠5，求出∠5即可．

【解答】解：∵∠1＝∠2，

∴a∥b，

∴∠4＝∠5，

∵∠5＝180°﹣∠3＝55°，

∴∠4＝55°，

故选：C．

【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；

B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．

故选：A．

【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．

4．（3分）以下调查中，适宜全面调查的是（　　）

A．调查某批次汽车的抗撞击能力

B．调查某班学生的身高情况

C．调查春节联欢晚会的收视率

D．调查济宁市居民日平均用水量

【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．

【解答】解：A、调查某批次汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故A选项错误；

B、调查某班学生的身高情况，适合全面调查，故B选项正确；

C、调查春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，故C选项错误；

D、调查济宁市居民日平均用水量，适于抽样调查，故D选项错误．

故选：B．

【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．

5．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．＝﹣3 B．＝ C．＝±6 D．﹣＝﹣0.6

【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分析得出答案．

【解答】解：A、＝3，故此选项错误；

B、＝﹣，故此选项错误；

C、＝6，故此选项错误；

D、﹣＝﹣0.6，正确．

故选：D．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及立方根的性质，正确掌握相关性质是解题关键．

6．（3分）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自此有了5G网络．5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是（　　）

A．﹣＝45 B．﹣＝45

C．﹣＝45 D．﹣＝45

【分析】直接利用5G网络比4G网络快45秒得出等式进而得出答案．

【解答】解：设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是：

﹣＝45．

故选：A．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等式是解题关键．

7．（3分）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】由平面图形的折叠及几何体的展开图解题，注意带图案的一个面不是底面．

【解答】解：选项A和C带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；

选项B能折叠成原几何体的形式；

选项D折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同．

故选：B．

【点评】本题主要考查了几何体的展开图．解题时勿忘记正四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意做题时可亲自动手操作一下，增强空间想象能力．

8．（3分）将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　）

A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2

【分析】先把y＝x2﹣6x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），再把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．

【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），

把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），

所以平移后得到的抛物线解析式为y＝（x﹣4）2﹣2．

故选：D．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

9．（3分）如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′B′C′．若反比例函数y＝的图象恰好经过A′B的中点D，则k的值是（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18

【分析】作A′H⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA＝BH，OB＝A′H，求出点A′坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．

【解答】解：作A′H⊥y轴于H．

∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，

∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，

∴∠BAO＝∠A′BH，

∵BA＝BA′，

∴△AOB≌△BHA′（AAS），

∴OA＝BH，OB＝A′H，

∵点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），

∴OA＝2，OB＝6，

∴BH＝OA＝2，A′H＝OB＝6，

∴OH＝4，

∴A′（6，4），

∵BD＝A′D，

∴D（3，5），

∵反比例函数y＝的图象经过点D，

∴k＝15．

故选：C．

【点评】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

10．（3分）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（　　）

A．﹣7.5 B．7.5 C．5.5 D．﹣5.5

【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案．

【解答】解：∵a1＝﹣2，

∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，……

∴这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，

∵100÷3＝33…1，

∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣）﹣2＝﹣＝﹣7.5，

故选：A．

【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

11．（3分）已知x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是　﹣2　．

【分析】根据根与系数的关系得出x1x2＝＝﹣2，即可得出另一根的值．

【解答】解：∵x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，

∴x1x2＝＝﹣2，

∴1×x2＝﹣2，

则方程的另一个根是：﹣2，

故答案为﹣2．

【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键．

12．（3分）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是　140°　．

【分析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．

【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，

则每个内角的度数＝＝140°．

故答案为：140°．

【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理：180°•（n﹣2），比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和．

13．（3分）已知点P（x，y）位于第四象限，并且x≤y+4（x，y为整数），写出一个符合上述条件的点P的坐标　（1，﹣2）（答案不唯一）　．

【分析】直接利用第四象限内点的坐标特点得出x，y的取值范围，进而得出答案．

【解答】解：∵点P（x，y）位于第四象限，并且x≤y+4（x，y为整数），

∴x＞0，y＜0，

∴当x＝1时，1≤y+4，

解得：0＞y≥﹣3，

∴y可以为：﹣2，

故写一个符合上述条件的点P的坐标可以为：（1，﹣2）（答案不唯一）．

故答案为：（1，﹣2）（答案不唯一）．

【点评】此题主要考查了点的坐标，正确把握横纵坐标的符号是解题关键．

14．（3分）如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC＝，AC＝3．则图中阴影部分的面积是　　．

【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，再证明BD＝BC，进而由AD＝AB﹣BD可求出AD的长度；利用特殊角的锐角三角函数可求出∠A的度数，则圆心角∠DOA的度数可求出，在直角三角形ODA中求出OD的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．

【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC＝，AC＝3．

∴AB＝＝2，

∵BC⊥OC，

∴BC是圆的切线，

∵⊙O与斜边AB相切于点D，

∴BD＝BC，

∴AD＝AB﹣BD＝2﹣＝；

在Rt△ABC中，∵sinA＝＝＝，

∴∠A＝30°，

∵⊙O与斜边AB相切于点D，

∴OD⊥AB，

∴∠AOD＝90°﹣∠A＝60°，

∵＝tanA＝tan30°，

∴＝，

∴OD＝1，

∴S阴影＝＝．

故答案是：．

【点评】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键．

15．（3分）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是　x＜﹣3或x＞1　．

【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．

【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，

∴﹣m+n＝p，3m+n＝q，

∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（1，p），Q（﹣3，q）两点，

观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的下方，

∴不等式ax2+mx+c＞n的解集为x＜﹣3或x＞1．

故答案为：x＜﹣3或x＞1．

【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．

三、解答题：本大题共7小题，共55分，

16．（6分）计算：6sin60°﹣+（）0+|﹣2018|

【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解答】解：原式＝6×，

＝2019．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

17．（7分）某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调查结果按性别整理如下：

女生阅读时间人数统计表

根据图表解答下列问题：

（1）在女生阅读时间人数统计表中，m＝　3　，n＝　30%　；

（2）此次抽样调查中，共抽取了　50　名学生，学生阅读时间的中位数在　1≤t＜1.5　时间段；

（3）从阅读时间在2～2.5小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？

【分析】（1）由0≤t＜0.5时间段的人数及其所占百分比可得女生人数，再根据百分比的意义求解可得；

（2）将男女生人数相加可得总人数，再根据中位数的概念求解可得；

（3）利用列举法求得所有结果的个数，然后利用概率公式即可求解．

【解答】解：（1）女生总人数为4÷20%＝20（人），

∴m＝20×15%＝3，n＝×100%＝30%，

故答案为：3，30%；

（2）学生总人数为20+6+5+12+4+3＝50（人），

这组数据的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据均落在1≤t＜1.5范围内，

∴学生阅读时间的中位数在1≤t＜1.5时间段，

故答案为：50，1≤t＜1.5；

（3）学习时间在2～2.5小时的有女生2人，男生3人．

共有20种可能情况，则恰好抽到男女各一名的概率是＝．

【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

18．（7分）如图，点M和点N在∠AOB内部．

（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）请说明作图理由．

【分析】（1）根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图；

（2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质解答．

【解答】解：（1）如图，点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等；

（2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．

【点评】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本作图的一般步骤、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键．

19．（8分）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y（km）与小王的行驶时间x（h）之间的函数关系．

请你根据图象进行探究：

（1）小王和小李的速度分别是多少？

（2）求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度；

（2）根据（1）中的结果和图象中的数据可以求得点C的坐标，从而可以解答本题．

【解答】解：（1）由图可得，

小王的速度为：30÷3＝10km/h，

小李的速度为：（30﹣10×1）÷1＝20km/h，

答：小王和小李的速度分别是10km/h、20km/h；

（2）小李从乙地到甲地用的时间为：30÷20＝1.5h，

当小李到达甲地时，两人之间的距离为：10×1.5＝15km，

∴点C的坐标为（1.5，15），

设线段BC所表示的y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，

，得，

即线段BC所表示的y与x之间的函数解析式是y＝30x﹣30（1≤x≤1.5）．

【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．

20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）若DH＝9，tanC＝，求直径AB的长．

【分析】（1）根据垂径定理得到OE⊥AC，求得∠AFE＝90°，求得∠EAO＝90°，于是得到结论；

（2）连接AD，解直角三角形即可得到结论．

【解答】解：（1）∵D是的中点，

∴OE⊥AC，

∴∠AFE＝90°，

∴∠E+∠EAF＝90°，

∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C，

∴∠CAE＝∠AOE，

∴∠E+∠AOE＝90°，

∴∠EAO＝90°，

∴AE是⊙O的切线；

（2）连接AD，在RtADH中，

∵∠DAC＝∠C，

∴tan∠DAC＝tanC＝，

∵DH＝9，

∴AD＝12，

在RtBDA中，∵tanB＝tanC＝，

∴sinB＝，

∴AB＝20．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．

21．（8分）阅读下面的材料：

如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，

（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；

（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．

例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数．

证明：设0＜x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．

∵0＜x1＜x2，

∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．

∴＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．

∴f（x1）＞f（x2）．

∴函数f（x）═（x＞0）是减函数．

根据以上材料，解答下面的问题：

已知函数f（x）＝+x（x＜0），

f（﹣1）＝+（﹣1）＝0，f（﹣2）＝+（﹣2）＝﹣

（1）计算：f（﹣3）＝　﹣　，f（﹣4）＝　﹣　；

（2）猜想：函数f（x）＝+x（x＜0）是　增　函数（填“增”或“减”）；

（3）请仿照例题证明你的猜想．

【分析】（1）根据题目中函数解析式可以解答本题；

（2）由（1）结论可得；

（3）根据题目中例子的证明方法可以证明（1）中的猜想成立．

【解答】解：（1）∵f（x）＝+x（x＜0），

∴f（﹣3）＝﹣3＝﹣，f（﹣4）＝﹣4＝﹣

故答案为：﹣，﹣

（2）∵﹣4＜﹣3，f（﹣4）＜f（﹣3）

∴函数f（x）＝+x（x＜0）是增函数

故答案为：增

（3）设x1＜x2＜0，

∵f（x1）﹣f（x2）＝+x1﹣﹣x2＝（x1﹣x2）（1﹣）

∵x1＜x2＜0，

∴x1﹣x2＜0，x1+x2＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0

∴f（x1）＜f（x2）

∴函数f（x）＝+x（x＜0）是增函数

【点评】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．

22．（11分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．

（1）求线段CE的长；

（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．

①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；

②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x．在Rt△ECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．

（2）①证明△ADM∽△GMN，可得＝，由此即可解决问题．

②存在．有两种情形：如图3﹣1中，当MN＝MD时．如图3﹣2中，当MN＝DN时，作MH⊥DG于H．分别求解即可解决问题．

【解答】解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，

∴∠B＝∠BCD＝90°，

由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x．

在Rt△ABF中，BF＝＝6，

∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，

在Rt△EFC中，则有：（8﹣x）2＝x2+42，

∴x＝3，

∴EC＝3．

（2）①如图2中，

∵AD∥CG，

∴＝，

∴＝，

∴CG＝6，

∴BG＝BC+CG＝16，

在Rt△ABG中，AG＝＝8，

在Rt△DCG中，DG＝＝10，

∵AD＝DG＝10，

∴∠DAG＝∠AGD，

∵∠DMG＝∠DMN+∠NMG＝∠DAM+∠ADM，∠DMN＝∠DAM，

∴∠ADM＝∠NMG，

∴△ADM∽△GMN，

∴＝，

∴＝，

∴y＝x2﹣x+10．

当x＝4时，y有最小值，最小值＝2．

②存在．有两种情形：如图3﹣1中，当MN＝MD时，

∵∠MDN＝∠GMD，∠DMN＝∠DGM，

∴△DMN∽△DGM，

∴＝，

∵MN＝DM，

∴DG＝GM＝10，

∴x＝AM＝8﹣10．

如图3﹣2中，当MN＝DN时，作MH⊥DG于H．

∵MN＝DN，

∴∠MDN＝∠DMN，

∵∠DMN＝∠DGM，

∴∠MDG＝∠MGD，

∴MD＝MG，

∵MH⊥DG，

∴DH＝GH＝5，

由△GHM∽△GBA，可得＝，

∴＝，

∴MG＝，

∴x＝AM＝8﹣＝．

综上所述，满足条件的x的值为8﹣10或．

【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

2019年山东省济宁市中考数学试卷（含答案解析）