初中数学建模思想的策略研究

一． 什么是数学建模 ？

1.1 数学建模（ Mathematical Modeling ）是建立数学模型并用它解决问题这一过程的简称，有代表的定义如下：

（ 1 ）、普通高中数学课程标准 [4] 中认为，数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育的重要内容和基本内容 .

（ 2 ）、叶其孝在《数学建模教学活动与大学数学教育改革》一书中认为 ，数学建模 (Mathematical Modeling) 就是应用建立数学模型来解决各种实际问题的方法，也就是通过对实际问题的抽象、简化，确定变量和参数，并应用某些 “ 规律 ” 建立起变量、参数间的确定的数学问题 ( 也可称为一个数学模型 ) ，求解该数学问题，解释、验证所得到的解，从而确定能否用于解决实际问题的多次循环、不断深化的过程。

两种定义的区别在于课程标准对数学建模的定义没有强调建立特定的解决问题的数学模型。数学建模的过程中当然会运用数学思想、方法和知识解决实际问题，但仅仅如此很难称得上是“数学建模”。处理很多事情，比如法律和组织上的问题，常常会用到分类讨论的思想、转化的思想、类比的思想，而并没有建立数学模型，这就不能说是进行了数学建模。这里所谈（实际上，同大部分人认为的一样）的数学建模，其过程是要建立具体的数学模型的。

什么是数学模型？根据 徐利治 先生在《数学方法论选讲》一书中所谈到， 所谓“数学模型”（ Mathematic Model ）是一个含义很广的概念，粗略的讲，数学模型是指参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表达出来的一个数学结构。广义的说，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、数学方程以及由之构成的算法系统都可以称为数学模型；狭义的解释，只有那些反应特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构才叫数学模型。

本论文所谈到的数学建模，其过程一定是建立了一定的数学结构。

另外，我们所谈的数学建模主要侧重于解决非数学领域内的问题。这类问题往往来自于日常生活、经济、工程、医学等其他领域，呈现“原胚”状态，需要分析、假设、抽象等加工，才能找出其隐含的数学关系结构。

一般地，数学建模的过程可用下面的框图表示：

1.2 什么是中学数学建模 ？

这里的“中学数学建模”有两重含义，

一是按数学意义上的理解、在中学中做的数学建模。主要指基于中学范围内的数学知识所进行的建模活动，同其它数学建模一样，它仍以现实世界的具体问题为解决对象，但要求运用的数学知识在中学生认知水平内，专业知识不能要求太高，并且要有一定的趣味性和教学价值 。

二是按课程意义理解，它是本文要展开讨论的，一种要在中学中实施的特殊的课程形态。它是一种以“问题引领、操作实践”为特征的活动型课程。学生要通过经历建模特有的过程，真实地解决一个实际问题，由此积累做数学、学数学、用数学的经验，提升对数学及其价值的认识。其设置目的是希望通过教师对数学建模有目标、有层次的教与学的设计和指导，影响学生的学习过程，改变传统的学习方式，实现激发学生自主思考，促进学生合作交流，提高学生学习兴趣，发展学生创新精神，培养学生应用意识和应用数学的能力，最终使学生提升适应现代社会要求的可持续发展的素养。

二．《全日制义务教育数学课程标准（修改稿）》有关数学建模的内容

教育部新启动的《义务教育阶段数学课程标准》的修订中，东北师大史宁中校长提议，将原来的“双基”增加到“四基”，增加了“基本数学活动经验和基本数学思想”。基本活动经验是指学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验。 另外，《全日制义务教育数学课程标准（修改稿）》在“数与代数”的内容中提出了“要初步形成模型思想”，对“综合与实践” 部分内容加以明确并提供了具体课例。上述变化正是课标对培养学生数学应用能力的应措。相比数学建模，综合与实践部分是学习数学建模的最初阶段，因此内容包含的更加基本、广泛，下面我们将分别介绍全日制义务教育数学课程标准（修改稿）提出的“模型思想”，“综合与实践” 的内容，以及内容在实验稿基础上的变化，最后在通过实例来说明综合与实践部分的学习内容。

（ 1 ）模型思想

2007 年 12 初全日制义务教育数学课程标准（修改稿）提出 在“数与代数”的教学中，应帮助学生建立数感和符号意识，发展运算能力和推理能力，初步形成模型思想。 模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。

（ 2 ） “综合与实践”部分 与实验稿相比有如下变化：

目的和内涵进一步明确，统一了名称 ，给出了明确的定义：“综合与实践”，是一类以问题为载体，学生主动参与的学习活动，是帮助学生积累数学活动经验、培养学生应用意识与创新意识的重要途径。针对问题情境，学生综合所学的知识和生活经验，独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的全过程，感悟数学各部分内容之间、数学与生活实际之间、数学与其他学科之间的联系，加深对所学数学内容的理解。

明确要求 “综合与实践”应当保证每学期至少一次。 三个学段“综合与实践”的要求和教学目标有了差异。

（3）“综合与实践”的常用教学形式和案例

按照教学内容不同，“综合与实践”可以分为三种内容形式：体现数学知识内部联系；体现数学与生活联系；体现数学与其它学科联系。

若按照活动开展的地点不同，可以分为课堂内、课堂内外结合、课堂外三种形式。为了配合课程标准的编制和修改，我和北大附中、北达资源中学的老师们做了不少课例研究，以下就是我们试验过的，对应这三种形式的教学案例。

三．新高中数学课程标准中与数学建模相关的部分

新高中数学课程标准在研制过程中，对是否增加数学建模的要求是有争议的。一些专家认为，中学数学是打基础的阶段，核心是学好将来需要的基础知识，应用不必强调，强调了也没有用——在大跃进时期我们曾强调过“理论联系实际”，文革中我们的教学内容里加入了类似“三机一泵”，地主如何算“变天帐”一类的内容，弱化了基础理论的学习，效果是不好的。但一批数学家深刻注意到了数学的发展和变化，姜伯驹、李大潜、丁石孙、叶其孝等先生都分别撰文阐明在中学培养学生数学应用能力的重要性。我们多年开展中学数学建模竞赛和中学数学建模教学的实践也证明了，数学建模对培养中学生应用能力的良好作用。种种努力，使数学建模最终成为 新高中数学标准中规定的高中数学内容的一部分。

新高中数学标准在基本理念的第 5 条即是发展学生的数学应用意识 ，认为高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，开展“数学建模”的学习活动，设立体现数学某些重要应用的专题课程。高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。由此在数学内容中特别加入了：数学探究、数学建模 。这些内容不单独设置，渗透在每个模块或专题中。标准要求高中阶段至少各应安排一次较为完整的数学探究、数学建模活动。

(1) 数学探究

与前面所说的探究性学习、课题学习稍有区别，标准中所提出的数学探究侧重于围绕一个数学问题展开，被看做是一种新的学习方式。数学探究即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明。数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式，有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，初步理解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神；有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力；有助于发展学生的创新意识和实践能力。

(2) 数学建模

这里标准中谈到的数学建模，内容即是一般意义上的数学建模。数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育重要和基本的内容。数学建模可以通过以下框图体现：

数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。

课程标准提出的教学要求是：

1 ．在数学建模中，问题是关键。数学建模的问题应是多样的，应来自于学生的日常生活、现实世界、其他学科等多方面。同时，解决问题所涉及的知识、思想、方法应与高中数学课程内容有联系。

2 ．通过数学建模，学生将了解和经历上述框图所表示的解决实际问题的全过程，体验数学与日常生活及其他学科的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力。

3 ．每一个学生可以根据自己的生活经验发现并提出问题，对同样的问题，可以发挥自己的特长和个性，从不同的角度、层次探索解决的方法，从而获得综合运用知识和方法解决实际问题的经验，发展创新意识。

4 ．学生在发现和解决问题的过程中，应学会通过查询资料等手段获取信息。

5 ．学生在数学建模中应采取各种合作方式解决问题，养成与人交流的习惯，并获得良好的情感体验。

6 ．高中阶段至少应为学生安排 1 次数学建模活动。还应将课内与课外有机地结合起来，把数学建模活动与综合实践活动有机地结合起来。

标准未对数学建模的课时和内容做具体安排。学校和教师可根据各自的实际情况，统筹安排数学建模活动的内容和时间。例如，可以结合统计、线性规划、数列等内容安排数学建模活动。

与传统应用题相比，数学建模所解决的问题往往呈现一种“混沌”状态，没有明显的数据和关系可用，所给的条件也不一定有用，得出的结论往往不唯一，建立的数学模型也要在实践中反复修改验证，由于具有这些特点，数学建模是学习“数学应用”的最佳方式之一，能让学生更好地体验数学是怎样运用于实际的过程，形成他们的数学经验。

四，初中数学建模的若干简要案例

4.1 初中数学建模学习案例 1 ： ----- 与自行车有关的问题（小组学习实践）

课 题：了解自行车中的数学问题，应用学过的数学知识，解决以下问题。

问题 1 ：用自己或同学的一辆自行车为观察对象，观察并解决下列问题：

（ 1 ）我观察的这辆自行车是什么牌子的？

（ 2 ）它的直径是 _______cm ，轮子转动一周，在地面走过的距离是_______cm ，精确到 1cm 。

（ 3 ）自行车中轴的大齿轮盘的齿数是_______齿，后轴的小齿轮（飞轮）的齿数是_______，中轴的大齿轮被踏动一周时，后轴的小齿轮在链条传动下，不计算惯性将转动_______周（保留 2 位小数）。

问题 2 ：如果你有自行车，并骑车上学，你能借助于自行车，测量出从你的家到学校的路程吗？请你设计一个测量方案，并尽可能地通过实际操作测量出从你的家到学校的路程。

问题 3 ：如果你的（或你的朋友）自行车是可以变速的自行车（如山地车、多飞轮的自行车）、请你观察一下在这辆自行车上有几个（中轴上的）大轮盘，几个飞轮，它们都各有多少齿？记录这些数据。如果你骑车时每一秒脚蹬一圈，请你根据上面测量的数据计算出这辆自行车运行时最大的速度和最小的速度各是每小时多少公里？：

选做问题 4 ：你认为对问题 3 中的自行车的各个齿轮的齿数安排的合理吗？你能发现或提出什么样的问题？如果有可能请你做设计改进的话，你会做什么？

求解工作的表格省略

4.2 初中数学数学建模案例 2 ： ----- 线路设计问题（自学、探索、创新实践）

课题： 为所在小区设计一个最佳的邮政投递路线 , 、一个合理的保安巡逻路线。

实施建议： 1: 按居住地成立 4-6 人的小组，对你们要研究的小区 , 进行观察 , 收集必要的数据和信息 ,( 如平面图 , 楼的门洞的朝向 , 道路情况 , 小区的进出口位置等 ). 发挥各自的特长，分工合作完成测量方案的设计、实测、作图、计算、论证、比较、计算机文稿录入、结果介绍等。

2: 复习必要的知识 , 如一笔画方法 , 最短邮路的画法和算法等 .

3: 画出小区的平面示意图 , ( 最好复印一下 , 以避免后面画坏时重画 ), 在图上完成邮政投递路线的设计 , ( 使邮递员走的路线最短 ).

4 ：实践环节：先不加思索按投递要求随意地走一遍 , 再按你设计的路线 , 实际走一遍 , 测算出路程看一看相差多少 ? ( 记录数据 )

创新实践项目 : 为你们居住的小区设计一个合理的保安巡逻路线、或合理的送奶的路线。首先思考 ” 合理 ” 的含义

4.3 初中数学数学建模案例 3 ： --- 穿衣镜的最佳设计（个人的创意与设计）

课题：自己提出几个有关穿衣镜设计的问题，给出你们认为最合理、最佳、最有创意的设计方案或解决办法。

实施建议：

1. 成立工作小组，讨论本小组的工作目标、分工、。

2 ．有可能的话到家具店、超市、（别忘了带尺子或相机）有关杂志或网站上收集一点相关资料，可以发现问题或提出你们更好的设计。

3 ．分工合作完成你们的设计，最好有一个图、或一个小的模型，可以用纸板做。

4 ．准备在全班交流，可以用实物、照片、模型、“ ppt ”，等形式表现你们的成果和创意，如果给你 3 分钟讲演、展示，怎样让班里同学为你们的成果叫好？

4.4 数学建模的可供学生选择上的假期作业

1. 利用放寒假与父母逛商场的机会，认真注意收集春节商场“打折消费”“诱导消费”的各种广告信息， 测算化 1000 元可以最多实际买到价值多少的商品。计算实际打折率。开动你的大脑，为消费者设计一种收益较多的购物方式；或者为商场设计一个更好的吸引消费者的、也使的商场收益较多的购物方式。

2. 测量一个比较高的建筑物的高度，说明测量方案，测量过程和测量数据。看谁想出更好的方法？

3. 自编 3 道方程和方程组的应用题，要求联系实际，有真实的实际背景，请写出题目、题解。看谁编的有趣。

4. 到超市观察各种不同包装设计的同种商品，如同一个牌号的大、小牙膏，收集它们的价格信息，找一个表示它们的重量和价格的公式。

5. 到各大商场，超市观察不同的商品的外包装，提出一个与“节约”有关的问题，将问题数学化，并用学过的知识试着解决它。进而自己在提出一些新的问题，或将自己得到的结果推广以适用于更大的范围。

6. 了解出租车的计价方式，（如起步每公里，每种车型多少钱；运行中每公里，每种车型多少钱；等候时每分钟，每种车型多少钱？）给出一个根据距离、等候时间计算付多少钱的方法或公式。

7. 调查邮局中不同重量、寄往本市、外地、港澳、国外的平信（包括航空）的邮资表，如果限定信封上只准贴至多 3 枚邮票，请你设计邮票应该有哪些面值？

8. 自己找到的用学过和还没有学过的数学知识解决的实际问题，（可以只提出问题，或仅仅提供一个解决问题的想法。）

（学生实际的学习成果从略）

五． 我们的体会和认识

5.1 开展数学建模学习不仅是学习方式的改变，而且是育人模式的变化。

人才培养模式集中而具体的体现形式是教育教学模式。改革传统的以 “ 升学 — 应试 ” 为目标的学校教育教学模式，创建以全体学生全面发展为目标的、体现素质教育方向和要求的新型教育教学模式，是当前学校实施素质教育的首要任务。而创建体现素质教育思想和要求的教育教学模式重要的着眼点就是要改变学生那种单纯地被动接受教师知识传输的学习方式，帮助和指导学生在开展有意义接受学习的同时，形成一种对知识技能进行主动探求、并重视实际问题解决的主动积极的学习方式。这就是培养学生在教师指导下，从自身的学习生活和社会生活、自然界以及人类自身的发展中选取研究专题（专题、主题），以探究的方式主动地获取知识、应用知识、解决问题的数学建模。这对于培养学生的创新精神和实践能力、创造能力、终身学习的能力具有十分重要的意义。而数学建模活动的实际结果告诉我们，它不仅对好学生、而且对学习有一定困难的学生都能起到培养兴趣、激发创造的目的。数学建模的成果还可以为学生建立一种更表现学生素质的评价体系。数学建模的过程可以为不同水平的学生都提供体验成功的机会，真正把筛子变成泵。

实际上，数学建模的教学过程（或者更自然地说是师生一起学和做的过程）对教师的成长和专业发展，更新教育观念，主动参与并推进素质教育，有着越来越重要的作用。

它表现在下面的几个方面：

首先，它可以帮助教师转变教学观，更有利于发挥教师的主导作用和学生的主体作用。教师的主导作用体现在创设好的问题环境 , 激发学生自主地探索解决问题的积极性和创造性上 ; 学生的主体作用体现在问题的探索、发现、解决的深度和方式尽量由学生自主控制和完成。它体现了教学过程由以教为主到以学为主的重心的转移。课堂的主活动不应都是教师的讲授 , 而应是学生自主的自学、讨论、调查、探索、解决问题。教师要自觉适时地改变他的教育角色，平等地参与学生的探索、学习活动。教师不应只是“讲演者”、不应是“总是正确的指导者”，而应不时扮演下列角色： 模特－－他不仅演示正确的开始，也表现失误的开端和“拨乱返正”的思维技能；参谋－－提一些求解的建议，提供可参考的信息，但并不代替学生做出决断；询问者－－故作不知，问原因、找漏洞，督促学生弄清楚、说明白，完成进度；仲裁者和鉴赏者－－评判学生工作及成果的价值、意义、优劣，鼓励学生的有创造性的想法和作法；在教学的组织中体现“学法”，把教和学融为一体。

其次，它可以可以帮助教师转变学习观。

过去在封闭式教育中，教师是知识的输出者。由于教育被定位为在学校这个“围墙”内，由知识的拥有者和惟一源泉——教师向知识的需求者——学生输出知识的活动，教师和学生之间的关系就是教师“单向输出”和学生“被动接受”的关系。在数学建模的实践活动中，问题环境充分敞开，教师不可能也不再是学生获取知识的惟一源泉，而且常常会无计可施，教师的指导作用更多地表现在“策略”的指导。教师把握教学目标时应立足于“做”而不是讲，立足于学生对问题的分析，对解决问题过程的理解，而不以仅仅有正确的解答为满足。要让学生在问题、困难、挑战、挫折、取胜的交替体验中；在选择、判断、协作、交流的轮换操作中 ; 经历一个个学、用知识 , 进而发现问题 , 走向新的学、用知识的过程。从而培养能力、激发兴趣、形成学生主动学习的良性循环。

同时，它还可以改变教师自己的成材观、发展观。

事实上，数学建模对教师也很陌生 , 对许多问题教师可能都不会 , 怎么教学生 ? 在数学建模过程中表现出的问题形式与内容的多样，问题解决方法的多样性、新奇性和个性的展示，问题解决过程和结果层次的多样性，无疑是对参与者创造力的一种激发、挑战、考验和有效的锻炼。教师在陌生的问题前感到困难、失去相对于学生的优势是自然的，常常出现的。这里有两个认识需要改变，一是数学建模教学能力提高的主要途径恰恰是自己多参与，多独立的思考和实际去“做”；二是数学建模的教学过程中，教师的角色不应该总是“正确的指导者，总是正确的化身”，而应该平等地参与，适时扮演“同事、参谋、建议者、欣赏者”。教师要在自己的视野内努力寻找宜于学生使用的数学建模问题，做好每个问题解决过程的记录，学生成功的经验和自己在挫折中得到的教训对于今后的数学建模的教学设计有重要的价值，也是教师由数学建模的生手到行家的有效途径之一。

5.2 对在数学新课程中开展数学建模活动的小结：

选材：联系学生和教材的实际。

资源：你的学生、家长、同事、朋友和他们的实践，相关刊物和网站。

内容： 好入手、有趣味、可深入 设计：强调 ------ 开放思维、实践活动、

小组功能、过程体验；

鼓励：（使用）计算工具、提出问题、多途求解、情感交流、共享成果；

促进：学习过程的良性循环、对学生产生积极的评价、课内知识的学习

数学建模思想