习题二

1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.

【解】

故所求分布律为

2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求：

（1） X的分布律；

（2） X的分布函数并作图；

(3)

.

【解】

故X的分布律为

（2） 当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0

当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=

当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=

当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1

故X的分布函数

(3)

3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.

【解】

设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.

故X的分布律为

分布函数

4.（1） 设随机变量X的分布律为

P{X=k}=，

其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a.

（2） 设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a/N， k=1，2，…，N，

试确定常数a.

【解】（1） 由分布律的性质知

故

(2) 由分布律的性质知

即 .

5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为,,今各投3次，求：

（1） 两人投中次数相等的概率;

（2） 甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，）,Y~b(3,

(1)

+

(2)

=

6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于(每条跑道只能允许一架飞机降落)？

【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,，设机场需配备N条跑道，则有

即

利用泊松近似

查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.

7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？

【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，）

8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.

【解】设在每次试验中成功的概率为p，则

故

所以 .

9.设事件A在每一次试验中发生的概率为，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，

（1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；

（2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.

【解】（1） 设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，）

(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b（7，）

10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.

（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；

（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.

【解】（1） (2)

11.设P{X=k}=, k=0,1,2

P{Y=m}=, m=0,1,2,3,4

分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=，试求P{Y≥1}.

【解】因为，故.

而

故得

即

从而

12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.

【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,.利用泊松近似计算,

得

13.进行某种试验，成功的概率为，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.

【解】

14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：

（1） 保险公司亏本的概率;

（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.

【解】以“年”为单位来考虑.

（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元.

设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,，则所求概率为

由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有

(2) P(保险公司获利不少于10000)

即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上

P（保险公司获利不少于20000）

即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%

15.已知随机变量X的密度函数为

f(x)=Ae?|x|, ?∞<x<+∞,

求：（1）A值；（2）P{0<X<1}; (3) F(x).

【解】（1） 由得

故 .

(2)

(3) 当x<0时，

当x≥0时，

故

16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为

f(x)=

求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率；

（2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率；

（3） F（x）.

【解】

（1）

(2)

(3) 当x<100时F（x）=0

当x≥100时

故

17.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.

【解】 由题意知X~∪[0,a]，密度函数为

故当x<0时F（x）=0

当0≤x≤a时

当x>a时，F（x）=1

即分布函数

18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.

【解】X~U[2,5]，即

故所求概率为

19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布.某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.

【解】依题意知，即其密度函数为

该顾客未等到服务而离开的概率为

,即其分布律为

20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）.

（1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？

（2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？

【解】（1） 若走第一条路，X~N（40，102），则

若走第二条路，X~N（50，42），则

++

故走第二条路乘上火车的把握大些.

（2） 若X~N（40，102），则

若X~N（50，42），则

故走第一条路乘上火车的把握大些.

21.设X~N（3，22），

（1） 求P{2<X≤5}，P{?4<X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3};

（2） 确定c使P{X＞c}=P{X≤c}.

【解】（1）

(2) c=3

22.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（,）,规定长度在±内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.

【解】

23.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200}≥，允许σ最大不超过多少？

【解】

故

24.设随机变量X分布函数为

F（x）=

（1） 求常数A，B；

（2） 求P{X≤2}，P{X＞3}；

（3） 求分布密度f（x）.

【解】（1）由得

（2）

(3)

25.设随机变量X的概率密度为

f（x）=

求X的分布函数F（x），并画出f（x）及F（x）.

【解】当x<0时F（x）=0

当0≤x<1时

当1≤x<2时

当x≥2时

故

26.设随机变量X的密度函数为

（1） f(x)=ae??|x|,λ>0;

(2) f(x)=

试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）.

【解】（1） 由知

故

即密度函数为

当x≤0时

当x>0时

故其分布函数

(2) 由

得 b=1

即X的密度函数为

当x≤0时F（x）=0

当0<x<1时

当1≤x<2时

当x≥2时F（x）=1

故其分布函数为

27.求标准正态分布的上分位点，

（1）=，求;

（2）=，求，.

【解】（1）

即

即

故

（2） 由得

即

查表得

由得

即

查表得

28.设随机变量X的分布律为

求Y=X2的分布律.

【解】Y可取的值为0，1，4，9

故Y的分布律为

29.设P{X=k}=()k, k=1,2,…,令

求随机变量X的函数Y的分布律.

【解】

30.设X~N（0，1）.

（1） 求Y=eX的概率密度；

（2） 求Y=2X2+1的概率密度；

（3） 求Y=｜X｜的概率密度.

【解】（1） 当y≤0时，

当y>0时，

故

(2)

当y≤1时

当y>1时

故

(3)

当y≤0时

当y>0时

故

31.设随机变量X~U（0,1），试求：

（1） Y=eX的分布函数及密度函数；

（2） Z=?2lnX的分布函数及密度函数.

【解】（1）

故

当时

当1<y时

当y≥e时

即分布函数

故Y的密度函数为

（2） 由P（0<X<1）=1知

当z≤0时，

当z>0时，

即分布函数

故Z的密度函数为

32.设随机变量X的密度函数为

f(x)=

试求Y=sinX的密度函数.

【解】

当y≤0时，

当0<y<1时，

当y≥1时，

故Y的密度函数为

33.设随机变量X的分布函数如下：

试填上(1),(2),(3)项.

【解】由知②填1。

由右连续性知，故①为0。

从而③亦为0。即

34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律.

【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。（i=1,2）,P(Ai)=.且A1与A2相互独立。再设C={每次抛掷出现6点}。则

故抛掷次数X服从参数为的几何分布。

35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于?

【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则

X~b(n,

即

得 n≥22

即随机数字序列至少要有22个数字。

36.已知

F（x）=

则F（x）是（ ）随机变量的分布函数.

（A） 连续型； （B）离散型；

（C） 非连续亦非离散型.

【解】因为F（x）在（?∞,+∞）上单调不减右连续，且

,所以F（x）是一个分布函数。

但是F（x）在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F（x）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C）

37.设在区间[a,b]上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，则区间 [a,b]等于（ ）

(A) [0,π/2]; (B) [0,π];

(C) [?π/2,0]; (D) [0,].

【解】在上sinx≥0，且.故f(x)是密度函数。

在上.故f(x)不是密度函数。

在上，故f(x)不是密度函数。

在上，当时，sinx<0，f(x)也不是密度函数。

故选（A）。

38.设随机变量X~N（0，σ2），问：当σ取何值时，X落入区间（1，3）的概率最大？

【解】因为

利用微积分中求极值的方法，有

得,则

又

故为极大值点且惟一。

故当时X落入区间（1，3）的概率最大。

39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P（λ），每个顾客购买某种物品的概率为p，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y的分布律.

【解】

设购买某种物品的人数为Y，在进入商店的人数X=m的条件下，Y~b(m,p)，即

由全概率公式有

此题说明：进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为λp.

40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：Y=1?e?2X在区间（0，1）上服从均匀分布.

【证】X的密度函数为

由于P（X>0）=1，故0<1?e?2X<1，即P（0<Y<1）=1

当y≤0时，FY（y）=0

当y≥1时，FY（y）=1

当0<y<1时，

即Y的密度函数为

即Y~U（0，1）

41.设随机变量X的密度函数为

f(x)=

若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范围. (2000研考)

【解】由P（X≥k）=知P（X<k）=

若k<0,P(X<k)=0

若0≤k≤1,P(X<k)=

当k=1时P（X<k）=

若1≤k≤3时P（X<k）=

若3<k≤6，则P（X<k）=

若k>6,则P（X<k）=1

故只有当1≤k≤3时满足P（X≥k）=.

42.设随机变量X的分布函数为

F(x)=

求X的概率分布. （1991研考）

【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的概率分布为

43.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27，求A在一次试验中出现的概率.

【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，若设P（A）=p,则

X~b(3,p)

由P（X≥1）=知P（X=0）=（1?p）3=

故p=

44.若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？

【解】

45.若随机变量X~N（2，σ2），且P{2<X<4}=，则

P{X<0}= .

【解】

故

因此

46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率可以直接出厂；以概率需进一步调试，经调试后以概率可以出厂，以概率定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n≥2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求

（1） 全部能出厂的概率α；

（2） 其中恰好有两台不能出厂的概率β；

（3）其中至少有两台不能出厂的概率θ.

【解】设A={需进一步调试}，B={仪器能出厂}，则

={能直接出厂}，AB={经调试后能出厂}

由题意知B=∪AB，且

令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则X~6（n，）,

故

47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.

【解】设X为考生的外语成绩，则X~N（72，σ2）

故

查表知 ,即σ=12

从而X~N（72，122）

故

48.在电源电压不超过200V、200V~240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为，和（假设电源电压X服从正态分布N（220，252））.试求：

（1） 该电子元件损坏的概率α;

(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240V的概率β

【解】设A1={电压不超过200V}，A2={电压在200~240V}，

A3={电压超过240V}，B={元件损坏}。

由X~N（220，252）知

由全概率公式有

由贝叶斯公式有

49.设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y).

【解】

因为P（1<X<2）=1,故P（e2<Y4）=1

当y≤e2时FY（y）=P(Y≤y)=0.

当e2<y4时，

当y≥e4时，

即

故

50.设随机变量X的密度函数为

fX(x)=

求随机变量Y=eX的密度函数fY(y). (1995研考)

【解】P（Y≥1）=1

当y≤1时，

当y>1时，

即

故

51.设随机变量X的密度函数为

fX(x)=,

求Y=1?的密度函数fY(y).

【解】

故

52.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为λt的泊松分布.

（1） 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；

（2） 求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q.（1993研考）

【解】（1） 当t<0时，

当t≥0时，事件{T>t}与{N(t)=0}等价，有

即

即间隔时间T服从参数为λ的指数分布。

（2）

53.设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=?1}=1/8，P{X=1}=1/4.在事件{?1<X<1}出现的条件下，X在{?1，1}内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求X的分布函数F（x）=P{X≤x}. (1997研考)

【解】显然当x<?1时F（x）=0；而x≥1时F（x）=1

由题知

当?1<x<1时，

此时

当x=?1时，

故X的分布函数

54. 设随机变量X服从正态分N（μ1,σ12),Y服从正态分布N(μ2,σ22)，且P{|X-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1}，试比较σ1与σ2的大小. (2006研考)

解： 依题意 ，，则

，

.

因为，即

，

所以有 ，即.

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