有理数运算法则
发布时间:2018-12-27 02:15:15
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有理数运算法则(第一课时)
1.3有理数的加减法
1.3.1有理数的加法
有理数的加法法则:
⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
⑵绝对值不相等的饿异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。
⑶一个数同0相加,仍得这个数。
两个数相加,交换加数的位置,和不变。
加法交换律:a+b=b+a
三个数相加,先把前面两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。
加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
1.3.2有理数的减法
有理数的减法可以转化为加法来进行。
有理数减法法则:
减去一个数,等于加这个数的相反数。
a-b=a+(-b)
1.4有理数的乘除法
1.4.1有理数的乘法
有理数乘法法则:
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
任何数同0相乘,都得0。
乘积是1的两个数互为倒数。
几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数。
两个数相乘,交换因数的位置,积相等。
ab=ba
三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。
(ab)c=a(bc)
一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加。
a(b+c)=ab+ac
数字与字母相乘的书写规范:
⑴数字与字母相乘,乘号要省略,或用“”
⑵数字与字母相乘,当系数是1或-1时,1要省略不写。
⑶带分数与字母相乘,带分数应当化成假分数。
用字母x表示任意一个有理数,2与x的乘积记为2x,3与x的乘积记为3x,则式子2x+3x是2x与3x的和,2x与3x叫做这个式子的项,2和3分别是着两项的系数。
一般地,合并含有相同字母因数的式子时,只需将它们的系数合并,所得结果作为系数,再乘字母因数,即
ax+bx=(a+b)x
上式中x是字母因数,a与b分别是ax与bx这两项的系数。
去括号法则:
括号前是“+”,把括号和括号前的“+”去掉,括号里各项都不改变符号。
括号前是“-”,把括号和括号前的“-”去掉,括号里各项都改变符号。
括号外的因数是正数,去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相同;括号外的因数是负数,去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。
1.4.2有理数的除法
有理数除法法则:
除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数。
a÷b=a·(b≠0)
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,都得0。
因为有理数的除法可以化为乘法,所以可以利用乘法的运算性质简化运算。乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果。
1.5有理数的乘方
1.5.1乘方
求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。在an中,a叫做底数,n叫做指数,当an看作a的n次方的结果时,也可以读作a的n次幂。
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。
有理数混合运算的运算顺序:
⑴先乘方,再乘除,最后加减;
⑵同极运算,从左到右进行;
⑶如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行
1.5.2科学记数法
把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a是整数数位只有一位的数,n是正整数),使用的是科学记数法。
用科学记数法表示一个n位整数,其中10的指数是n-1。
1.5.3近似数和有效数字
接近实际数目,但与实际数目还有差别的数叫做近似数。
精确度:一个近似数四舍五入到哪一位,就说精确到哪一位。
从一个数的左边第一个非0 数字起,到末位数字止,所有数字都是这个数的有效数字。
对于用科学记数法表示的数a×10n,规定它的有效数字就是a中的有效数字。
有理数运算法则(第二课时)
一、 有理数加法
(-9)+(-13) (-12)+27 (-28)+(-34) 67+(-92) (-27.8)+43.9
(-23)+7+(-152)+65 |+(-)| (-)+|―|
38+(-22)+(+62)+(-78) (-8)+(-10)+2+(-1) (-)+0+(+)+(-)+(-)
(-8)+47+18+(-27) (-5)+21+(-95)+29 (-8.25)+8.25+(-0.25)+(-5.75)+(-7.5)
6+(-7)+(9)+2 72+65+(-105)+(-28) (-23)+|-63|+|-37|+(-77)
19+(-195)+47 (+18)+(-32)+(-16)+(+26) (-0.8)+(-1.2)+(-0.6)+(-2.4)
(-8)+(-3)+2+(-)+12 5+(-5)+4+(-) (-6.37)+(-3)+6.37+2.75
二、 有理数减法
7-9 ―7―9 0-(-9) (-25)-(-13) 8.2―(―6.3)
(-3)-5 (-12.5)-(-7.5) (-26)―(-12)―12―18 ―1―(-)―(+)
(-20)-(+5)-(-5)-(-12) (-23)―(-59)―(-3.5) |-32|―(-12)―72―(-5)
(-)―(-)― (+)―(-)―(-)― (-)―3―(-3.2)―7
(+)―(-)― (+6.1)―(-4.3)―(-2.1)―5.1 (-)―(-1)―(-1)―(+1.75)
(-3)―(-2)―(-1)―(-1.75) -8-5+4-3 -4++(-)―
0.5+(-)-(-2.75)+ (+4.3)-(-4)+(-2.3)-(+4) (-0.5)-(-3)+6.75-5
三、 有理数乘法
(-9)× (-)×(-0.26) (-2)×31×(-0.5)
×(-5)+×(-13) (-4)×(-10)×0.5×(-3) (-)××(-1.8)
(-0.25)×(-)×4×(-7) (-)×(-)×(-) (-8)×4×(-)×(-0.75)
4×(-96)×(-0.25)× (-1+)×56 (――)×36
(-36)×(+-) (-)×(8--0.4) (-66)×〔1-(-)+(-)〕
25×-(-25)×+25× (+-+)×72 ×(2-)×(-)×(-)
四、 有理数除法
18÷(-3) (-24)÷6 (-57)÷(-3) (-)÷ (-42)÷(-6)
(+)÷(-) (-)÷9 0.25÷(-) -36÷(-1)÷(-) (-1)÷(-4)÷
3÷(-)×(-) 0÷[(-3)×(-7)] -3÷(-) (-24)÷(-6)
2÷(5-18)× 1÷(-3)×(-) -×(-)÷(-) (-)÷(-)
(-+)÷(-) -3.5 ×(-0.5)×÷ -1÷(-1)×1×(-7)
×(--)÷ ÷(-2)-×-÷4 0.8×+4.8×(-)-2.2÷+0.8×
五、有理数混合运算
(-)×(-15×4) (-2.4) 2÷(-)×÷(-5)
[15-(1÷1+3]÷(-1) ×(-5)÷(-)×5 -(-+-)÷(-)
-13×-0.34×+×(-13)-×0.34 8-(-25)÷(-5) (-13)×(-134)××(-)
(-4)-(-5)+(-4)-3 (-16-50+3)÷(-2) (-0.5)-(-3)+6.75-5
178-87.21+43+53-12.79 (-6)×(-4)+(-32)÷(-8)-3 --(-)+|-1|
(-9)×(-4)+ (-60)÷12 [(-)-1+]÷(-) -|-3|÷10-(-15)×
-1×(-)÷2 (2-3+1)÷(-1)×(-7) -×(8-2-0.04)
-2× -- - -2× ÷
× + ×× ×-
++ -×- -+
0-÷3× ×÷ -×-÷
×(-+1) ×0 6+× -10+8÷-4×3
-- -(1-0.5)× ××
4×+6 ××× -+2×+(-6)÷
÷(-8)-×(-) ×()×
-2[-3×]÷ ÷9÷ 36×
-{} -+(1-0.5)××[2×]
-4×+ --+×÷
有理数的混合运算习题
一.选择题
1. 计算( )
A.1000 B.-1000 C.30 D.-30
2. 计算( )
A.0 B.-54 C.-72 D.-18
3. 计算
A.1 B.25 C.-5 D.35
4. 下列式子中正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 的结果是( )
A.4 B.-4 C.2 D.-2
6. 如果,那么的值是( )
A.-2 B.-3 C.-4 D.4
二.填空题
1.有理数的运算顺序是先算 ,再算 ,最算 ;如果有括号,那么先算 。
2.一个数的101次幂是负数,则这个数是 。
3. 。
4. 。
5. 。
6. 。
7. 。
8. 。
三.计算题
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
有理数及其运算测试题(一)
一、耐心填一填:(每题3分,共30分)
1、的绝对值是 ,的相反数是 ,的倒数是 .
2、某水库的水位下降1米,记作 -1米,那么 +1.2米表示 .
3、数轴上表示有理数-3.5与4.5两点的距离是 .
4、已知|a-3|+=0,则= .
5、已知p是数轴上的一点,把p点向左移动个单位后再向右移个单位长度,那么p点表示的数是______________。
6、最大的负整数与最小的正整数的和是_________ 。
7、+= 。
8、若x、y是两个负数,且x<y,那么|x| |y|
9、若|a|+a=0,则a的取值范围是
10、若|a|+|b|=0,则a= ,b=
二、精心选一选:(每小题3分,共24分.请将你的选择答案填在下表中.)
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
答案 | ||||||||||
1、如果一个数的平方与这个数的差等于0,那么这个数只能是( )
A 0 B -1 C 1 D 0或1
2、绝对值大于或等于1,而小于4的所有的正整数的和是( )
A 8 B 7 C 6 D 5
3、计算:(-2)100+(-2)101的是( )
A 2100 B -1 C -2 D -2100
4、两个负数的和一定是( )
A 负 B 非正数 C 非负数 D 正数
5、已知数轴上表示-2和-101的两个点分别为A,B,那么A,B两点间的距离等于( )
A 99 B 100 C 102 D 103
6、的相反数是( )
A -3 B 3 C D
7、若x>0,y<0,且|x|<|y|,则x+y一定是( )
A 负数 B 正数 C 0 D 无法确定符号
8、一个数的绝对值是,则这个数可以是( )
A B C 或 D
9、等于( )
A B C D
10、则是( )
A 或 B C D 或
三、计算题(每小题4分,共32分)
1、+++ 2、+
3、 4、
5、 6、8+
7、 8、100
四、(5分)=, =,求m+n的值
五、(5分)已知、互为相反数,、互为负倒数(即),是最小的正整数。试求的值
六、(6分)出租车司机小李某天下午运营全是在东西走向的人民大道上进行的,如果规定向东为正,向西为负,这天下午他的行车里程(单位:千米)如下:
+15,-2,+5,-1,+10,-3,-2,+12,+4,-5,+6
(1)将最后一名乘客送到目的地时,小李距下午出车时的出发点多远?
(2)若汽车耗油量为3升/千米,这天下午小李共耗油多少升?
七、(7分)毕节倒天河水库的警戒水位是米,下表记录的是今年某一周内的水位变化情况,取河流的警戒水位作为点,并且上周末(星期六)的水位达到警戒水位,正号表示水位比前一天上升,负号表示水位比前一天下降。(本题10分)
星期 | 日 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
水位变化(米) | |||||||
⑴ 本周哪一天河流的水位最高?哪一天河流的水位最低?它们位于警戒水位之上还是之下?
⑵ 与上周末相比,本周末河流的水位是上升了还是下 水位变化(米)
降了?
⑶ 以警戒水位作为零点,用折线统计图表示本周的水位情况。
日 一 二 三 四 五 六
八、(6分)观察下列各式:
… … …
1、计算 :的值
2、试猜想的值
有理数及其运算测试题(二)
一、填空题(每小题3分,共30分)
1、 在数轴上,若点A与表示-2的点相距5个单位, 则点A表示的数是
2、某地某天的最高气温为5℃,最低气温为-3℃,这天的温差是 。
3、最小的正整数是______,最大的负整数是______,绝对值最小的整数是______.
4、观察下列数:-2,-1,2,1,-2,-1……,从左边第一个数算起,第99个数是 。
5、若|a-2|+|b+3|=0,则3a+2b= .
6、水池中的水位在某天8个时间测得的数据记录如下(规定上升为正,单位:cm):+3、-6、-1、+5、-4、+2、-3、-2,那么这天中水池水位最终的变化情况是 。
7、已知芝加哥比北京时间晚14小时,问北京时间9月21日早上8:00,芝加哥时间为9月
日 点。
8、若a<0,b<0,则a-(-b)一定是 (填负数,0或正数)
9、比较大小:,-100 0.01,99a 100a(a<0)
10、(-1)2n+(-1)2n+1=______(n为正整数).
二、选择题(每小题3分,共30分)
11、如图所示,A、B两点所对的数分别为a、b,则AB的距离为( )
A、a-b B、a+b C、b-a D、-a-b
12、在-(-5),-(-5)2,-|-5|,(-5)3中负数有( )
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
13、一个数的平方是81,这个数是( )
A、9 B、-9 C、+9 D、81
14、若b<0,则a+b,a,a-b的大小关系为( )
A、a+b>a>a-b B、a-b>a>a+b C、a>a-b>a+b D、a-b>a+b>a
15、如果一个数的平方等于它的倒数,那么这个数一定是( )
A、0 B、1 C、-1 D、1或-1
16、下列说法正确的是( )
A.有理数的绝对值为正数
B.只有正数或负数才有相反数
C.如果两数之和为0,则这两个数的绝对值相等( )
D.如果两个数的绝对值相等,则这两个数之和为0
17. 学校、小明家、书店依次座落在一条南北走向的大街上,学校在小明家的正南2千米,书店在小明家的正北边10千米。规定向北走为正。小明骑车从家出发,
向北走了5千米,接着又向北走了-7千米,此时张明的位置在 ( )
(A)在家 (B) 学校 (C) 书店 (D) 不在上述地方
18.下面四种说法:(1)在+5与+6之间没有正数;(2)在-1与0之间没有负数;(3)在+5与+6之间有无穷多个正分数;(4)在-1与0之间没有正分数,其中( )
A.仅(3)正确; B.仅(4)正确;
C.仅(3),(4)正确; D.仅(1),(2),(4)正确.
19. a,b,c在数轴上的位置如图所示,则a+b+c为 [ ]
A.负数 B.正数 C.非负数 D.非正数
20、点M、N是数轴上的两点,m、n分别表示点M、N到原点O的距离.如果n>m,那么下列说法中正确的有( ).
① 点M表示的数比点N表示的数小;
② 点M表示的数比点N表示的数大;
③ 点M、N表示的数肯定不相等.
A、3个 B、2个 C、1个 D、0个
三、计算题(每题5分,共20分)
四、(本大题24分,每小题8分)
20、有四个有理数3,4,-6,10,运用“二十四点”游戏规则,写出两种不同的方法的运算式,使其结果等于24。
21、某天,小明和小亮利用温差法测量紫金山一个山峰的高度,小明测得山顶温度为-1.1℃,同时,小亮测得山脚温度是1.6℃,已知该地区高度每增加100m,气温大约降低0.6℃,问这个山峰的高度大约是多少米?
22、把下列各数填在相应的大括号内
15,,0.81,-3,,-3.1,-4,171,0,3.14, π
正数集合{ …}
负数集合{ …}
正整数集合{ …}
负整数集合{ …}
有理数集合{ …}
五、(本大题共18分,每小题9分)
23、小明早晨跑步,他从自家向东跑了2千米到达小彬家,继续向东跑了1.5千米到达小红家,然后向西跑了4.5千米到达中心广场,最后回到家。
(1)以小明家为原点,以向东的方向为正方向,用1 个单位长度表示1千米,你能在数轴上表示出中心广场,小彬家和小红家的位置吗?
(2)小彬家距中心广场多远?
(3)小明一共跑了多少千米?
六、(本大题共10分)
24、小红爸爸上星期五买进某公司股票1000股,每股27元,下表为本周内每日该股票的涨跌情况。(单位:元)
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 |
每股涨跌 | +4 | +4.5 | -1 | -2.5 | -6 |
(1)通过上表你认为星期三收盘时,每股是多少?
(2)本周内每股最高是多少?最低是多少元?
(3)用折线统计图表示本周内每日该股票的涨跌情况