清华大学自主招生数学试题

2019.06

1. 一个四面体棱长分别为6，6，6，6，6，9，求外接球的半径.

2. 求值：8428699a67efc50b0a5ac9566718346f.png.

3. 已知44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png为单位圆上一动点，e5615676496c130f0a6dbb657653ae64.png，c0bedb4ec282ccdc74da4cc5ca30e96d.png，求71c59b846529a7053f1b47a538f8fe8d.png的最大值.

4. b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png为圆f186217753c37b9b9f958d906208506e.png的直径，f31c5cd0beb9ae303e7567e2470bc484.png，69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png为4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png中点，09f3dac8963903e3e89fee085279efc8.png，则下列选项正确的是（ ）

A. c5a4f2f2b12b2ae2889de46d74e83eab.png B. 7bbb55db0bdcf0608b46b6f47bdd2f26.png C. △c6acf1c2c5f96af518cb98a7ca68dbd6.png∽△a26a78fdfbaaad78d04c16efaa98abcc.png D. 忘记

5. bec9b5ecdc88f4d2caf9f5d6efcdeacc.png，fcf03fad0584c73aa4affe9716d79b64.png，8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png是7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png到9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png的映射，若满足eec926317ddb8bc55f8318635229b35c.png，则称有序对90cbc22edf225adf8a68974f51227f05.png为“好对”，求“好对”的个数最小值.

6. 若对834a2fc2206d7e7161e6a28a140a64d1.png，0140a7246516ef217a9b349de315b02d.png，使得0f7918031daee0f374ffaec87abb23c9.png成立，则称函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png满足性质b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png，下列

函数不满足性质b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png的是（ ）

A. 19f1bdad7af509b268e947ddd7f68aab.png B. 437e5ed812624f0be31294956827f3fb.png C. 9887586359cc3ace9634ebe44825be16.png D. 690a30542c6986203022039291ca1d4c.png

7. 已知6d6283a48e3124be037a7ed9c24e3909.png，88f04dee03697defb9496af5838c5a81.png，d567daca60db5f01bdf3e767af011782.png，若c1a66c06ab5b79df2b249b120c3baaad.png，求72e292bb92b6b94f3c843ce7ea063c20.png的最大值.

8. 椭圆ef596582ed77d7111645286702042d08.png，过b55c88bc0a723b0f682072c0a9c021e0.png的直线交椭圆于7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png、9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png两点，点0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png在直线5870bb658ee9e8a6900c138365d64c80.png上，若

△902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png为正三角形，求△902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png的面积.

9. 圆0f8f39a23aa423a547f6432184b50b08.png上一点fc6c713e7eb34f6cb756d754fc2f61db.png处的切线交抛物线d52baf01efae37cf8e44ab29097ec25d.png于7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png、9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png两点，且满足03e7e096e4ae088d6decaaca501ef376.png，其中f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为坐标原点，求0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png.

10. 设0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png为d685e41de462118d20825a7364cff70d.png各位数字和，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png是0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的各位数字之和，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png为92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的各位数字之和，求4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png的值.

11. 实数9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png、415290769594460e2e485922904f345d.png满足05f55e15b3d1353fd0136ac174a5be7f.png，求099795a61b2c13863e7ea23c88491b30.png的最大值和最小值.

12. 在三棱柱0009e4dc258a3d757dba159c76dae58f.png中，已知bc7c405cec747c5fe9d8496d68881ec1.png，756808b6625c5909a3444ed3d81b7dd6.png，82059b902fc56a78fb042914ad8036f9.png，动点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png在线段9b239733ce0481d4d7ab5279c43feb37.png上，求b9f86b4eb1d57a2083fb72e02f654e2e.png最小值.

13. 若集合7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png、9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png是正整数的一个二划分，则（ ）

A. 集合7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png中不存在三项等差，集合9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png中不存在无穷项等差

B. 集合7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png中不存在三项等比，集合9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png中不存在无穷项等比

C. 忘了

D. 忘了

14. 数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png满足：7ae9fa917ce60c9924806540f32b5c68.png，9160c039652896002bdb820bec1024d1.png，则（ ）

A. 3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png单调递增 B. 3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png无上界 C. 忘了 D. c75377507f903587806501585bee9a64.png

15. 若正实数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png满足4f42678e5a422e083d4137127e0d831e.png，则5ea5743efe4a976dd4391c9f746e1b51.png的最小值为

16. 设4074a3a31f3652afa92ff7e696a2eb99.png，fcb91e46d9af368ff1ee52def1f66f4b.png，求f070deff5c0629450c5a975b58c3c33a.png最小值.

17. 设3a07bf9b6c9824cfda0bede763e9f5b2.png，则方程d1f9b493135fc7c7993e528a02b79066.png的解的个数为

18. 令35d225495f74266e8332ec5a4765abea.png（0548d9215670900db86a187772ba3c8a.png），若11e7ec15acc7c946dfb8d058799fb298.png，则（ ）

A. d0023d9e5b27762249669e8543b5818a.png B. 848e92e4ccfb9d737a2a38459267975f.png C. 124e380cb6e88874e9d4a9029573544c.png D. 8e7441016620a66104b1feb9858e5ef6.png

19. 若实数9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png、415290769594460e2e485922904f345d.png满足b7bd6bd668b1ecc3acc50cb6d77cdc1b.png，求6fe7e275c4cb77aff0f9fed71d0f8f5e.png的范围.

参考答案

1. 设79f47630e0d85c7ca406eb020b348031.png，b482f251c548ae7caa6d145335028942.png，易知△8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png的外接圆48f3e78fb1319ea1c2706c6dac1e9b9a.png半径为5dfc08f24dc504d078bc4d607ef48b10.png，

同理可得△72c5cc0e2586935d16539f31a2a4fec4.png的外接圆612275025e7d8f5e663bf9355bd422b4.png的半径为14d50c6f3efeea2d574bfd3b000c7074.png，

设外接圆的圆心为f186217753c37b9b9f958d906208506e.png，易知f116ecde0de739063c5dd2559cde9487.png，

则外接球半径22f18ede2d37026be2687058ab94bf5b.png，∴外接球半径为84507545f131b7108866546c72caaa20.png.

2. e3a740f05fc1a2ee3b3da8e007909985.png，由分部积分法可知：

fd7da0ba3cc13145afd4cb3505d53b30.pngd124fd6080cc9c79eaaac23a0287c272.png

7486caa2474a4d5e402ee98571b6840c.png 13a5e9c7bcfc65fd0abd58d47e8306fc.png

∴edd5b12c3c38fe5f0514ce3ef6f9db24.pngc49253aec86b83b9ada415a2d38214e1.png.

3. 设38af1c7177be664b3dc9bbee0e01d6b6.png，在176e4f867211c00d8b9b00b92375ded2.png

整理得：53dbdc95a9b1a776d7312e55cdfb2644.png，

由三元均值不等式可知：50dc54b280a5ac039b984b658440d56a.png,

当且仅当2305700a1277ec229deb1d9ad8d2e4e1.png时，等号成立，则71c59b846529a7053f1b47a538f8fe8d.png的最大值为84507545f131b7108866546c72caaa20.png.

4. 设圆f186217753c37b9b9f958d906208506e.png的半径为2，易知4f89635855a0a29965f10d73d52ab318.png，23d3cdee1363457ebb81b6eb6fcd60e6.png，1b20b1a84ca4e20e19fbd4f076ed7d97.png，0153675ad2041fb73be7e3e895542933.png，

在△ea0f53af913927bdb89e3362ae01ff8b.png与△39a8e755839fd97adb0c6dba2a1dfb84.png中，由余弦定理可知：03b73c0265e291472e1591c1266f8bea.png，

解得：70229a63612bc7ecfae42fa9b7600284.png，4bcd0964080a044b8117b98e854e9e68.png，选项A错误，

在△1bc591f877cb0be15095c8ef7efa3223.png中，由中线定理可知：0e33a869809482093b4165f8c14df9f6.png，解得：6e8dd53f3c42a7d291d8f255d420c5f1.png，

则7bbb55db0bdcf0608b46b6f47bdd2f26.png，选项B正确，

而c0df70513ce896ebf2ca8b05ff013e02.png，∴△c6acf1c2c5f96af518cb98a7ca68dbd6.png∽△a26a78fdfbaaad78d04c16efaa98abcc.png，选项C正确，综上：选B，C.

5. 情形一：当只对应9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png中1个元素时，此时“好对”有97a07b69b4d83bb55e8fb9817374d0b2.png对，

情形二：当只对应9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png中2个元素时，设有8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png组eec926317ddb8bc55f8318635229b35c.png，baacbe90a611155ee8de5fa5e833e134.png组eec926317ddb8bc55f8318635229b35c.png，则此时

“好对”有95dc79ed1b66379569cbed760f0c1071.png对，且6ad88114ad1885febad75c5f0d1bc59d.png，

则由柯西不等式可知：0f375f3e09014351ca5e5a9dd53dfe6a.png，

情形三：当只对应9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png中3个元素时，设有0f768ac5d5dea8d93716a27da05871de.png组eec926317ddb8bc55f8318635229b35c.png，56ece28df930bd4d153b6c74ba96c054.png组eec926317ddb8bc55f8318635229b35c.png，ec6afd67ef6d50afbb01857b9eee7d59.png组

eec926317ddb8bc55f8318635229b35c.png，则此时“好对”有45754cd9829cfb294fe4606f331648f3.png对，且3cd0866a5ab647c902bd4522453620fd.png，

则由柯西不等式可知：8198d105a5fc1ab9db271871ee346af5.png，

依次可得：易知当对应9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png中5个元素时，此时“好对”的最小值为45，当且仅当7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png中每3个元素对应9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png中一个元素时，等号成立，则“好对”的个数的最小值为45.

6. ∵834a2fc2206d7e7161e6a28a140a64d1.png，0140a7246516ef217a9b349de315b02d.png，使得0f7918031daee0f374ffaec87abb23c9.png，则50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的值域是d267392b36cc3ca35802359790ea76e6.png值域的子集，

A选项：d4e295df748954dda5acb5e4e017fd41.png，e58f9fd40808756426368baa595cc3fb.png，满足题意，

B选项：80938b7862e2bb143f2e85c3cdf93921.png，令221182f6089b1eeb5e81cfce11d08621.png，则dda13af7d1008ecd705332f61bead574.png，

当474e328d20b644ce38704a067a2c9ee6.png，7a42579250982eddfaef6c634d951e9e.png时，则由四元均值不等式可知：

cf8677e1ea96a0fc5a721b20ff44849f.png，

当且仅当66bc7b5bbde36366e08549e139dd1890.png时，等号成立，∴10fa1368fbf6568d1eb58b32cff8b496.png，aa5ff89d12ee248f94f119eec11c08b6.png，满足题意，

∵a9088af3cb0e729a5b70313d7b7ccbc6.png为奇函数，

C选项：926768d8a7099ea1ee38a75f36a5283c.png，e58f9fd40808756426368baa595cc3fb.png，def30f2f35e2069cd01da4cde2b9be68.png，不满足题意，

D选项：79f14fef1d14b28f4b00122685488f2f.png，ae22b0b33558a9bfe2798a6425a6b49d.png，7670bebf0124dd07e0723ff697d62100.png，不满足题意，

综上：选A，B.

7. 建立平面直角坐标系，且7aaca116d384246192ce623ea8aadc45.png，2f18caae03c205a74e4869b27375c42a.png，易知点7e27663a13146129da69aaf0a7b57510.png的终点的轨迹方程为0e74411945d224fd7faec178a17923ef.png，又c1a66c06ab5b79df2b249b120c3baaad.png，∴此时c71070a7b375d02768373f6ef0ee2a75.png.

8. 设直线dca3ca89d05c8b3a1f55f56dcf3de716.png，f99a5e7a20e963b917af6f0a746b0589.png，32a60b125f2f670bebc6a7a1ef8a9f5c.png，b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png中点为3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png，联立a55c48e7acce3e91bbb77528c5ff1166.png，

整理可得：3eabfece866b48fcb06d6eff0773c6d8.png，则f4b2cd770e2c39979305f220a62e902b.png，

而d597b377be69d66aa4994c7ecd85354b.png，而2342c8e302afae5c9eba3a0d8e8b7352.png，

解得：3a7fd24550ec6144a9bc1dea9e2cd690.png，∴d292aa16cab757ba2abdb726229190d8.png，则△902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png的面积为a0e950dc4545cad1f4989d54a1e697b2.png.

9. ∵03e7e096e4ae088d6decaaca501ef376.png，∴直线b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png恒过定点cca7e4071e7c59360be1546139008153.png，而切线方程为618e8ca6595c5c327593a44b693a20bf.png，

则90d6a0e60163d01372d8414b3420cc6c.png，解得：9fbb88a56dfd2eb12f7c295e5010766d.png.

10. ∵6b4eec2ba3463413b76e9726725758ab.png，则63cb4bb00698e52ba7fd85c63a776c15.png，

则59144d4e4a7d6a29440766dfa91a23a7.png，

情形一：当0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的位数为6，则38cabf887183a0d8084d74a3f16f3518.png，

情形二：当0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的位数小于6，则cbfa0fb8b914ffee4c5ce171e33dbee6.png，

由情形一和情形二可知：5ddf9f4e41e5cc32482da9fc99fa3ad4.png，

情形三：当0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的位数为2位时，则b439353a76683b7c1419a4aa2dd2092c.png，

情形四：当0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的位数1位数时，则592d10dc109725282e79cedaf2b4a528.png，

由情形三和情形四可知：d40d278a8b91a18db7cbbbb7b9c3d912.png，

又7dd3b294e8e372e980947a68a84fa95b.png，aa28a615f057c30609405199571596bd.png，则c5ed688076e439d50c6e18945875c7da.png，

而00d7fee641b55470719994fcfd5d1857.png，∴4abb49211542bf8ccf7a5cd222ecd11a.png.

11. 情形一：当e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png时，此时513bfb3ee979d56cd79cded491e14de9.png，

情形二：当887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png时，此时2fd0f74651ca11b049fd60d0078b3321.png，

易知：6e97c243eedabb7a15bf59d0490fd89b.png，令d518dab8dbb4688bb613c95972ec174f.png，1d52b6c233644bb7484c04cd263179e5.png，则93d59c5b66e5ac8953b30706bea35e1c.png，

情形三：当97fdf90850f660f05349f4ad145b62dc.png时，此时2fd0f74651ca11b049fd60d0078b3321.png，

易知：c7a8a137cc479ae5ec3845961271617d.png，令f8bb3e4d169562c24e6f1708f1e6f366.png，e8caaaffee894d2648fc40055d1e6370.png，则d57793d501abd44880854bbaf20cab74.png，

综上：44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png的最小值为1，最大值为2.

清华大学2019年自主招生数学试题