§6.2 等差数列

一．课程目标

1.理解等差数列的概念；

2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；

4.了解等差数列与一次函数的关系.

二．知识梳理

1.定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.

数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数).

2.通项公式

若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.

3.前项和公式

等差数列的前n项和公式：其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项).

3.等差数列的常用性质

已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和.

(1)通项公式的推广：

(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有。特别的，当时，

(3)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.

(4)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.

(5)若是等差数列，则仍是等差数列.

4.与等差数列各项和相关的性质

（1）若是等差数列，则也是等差数列，其首项与的首项相同，公差为的公差的。

（2）数列…也是等差数列.

（3）关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。

.若项数为，则。

.若项数为，则，，。

（4）若两个等差数列的前项和分别为，则

5.等差数列的前n项和公式与函数的关系：

（1），数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).

（2）在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.

三．考点梳理

1.等差数列的概念及运算

例1.(2016·全国Ⅰ卷)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)

A.100 B.99 C.98 D.97

例2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________.

练习1.(2015·全国Ⅰ卷)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和.若S8＝4S4，则a10等于(　　)

A. B. C.10 D.12

2.等差数列的性质

例1.(2015·全国Ⅱ卷)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)

A.5 B.7 C.9 D.11

例2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　)

A.63 B.45 C.36 D.27

例3.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为(　　)

A.13 B.12 C.11 D.10

例4.(2015·广东卷)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.

例5.(2016·武汉调研)已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d等于(　　)

A.－1 B.－2 C.－3 D.－4

例6.设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为________.

3.等差数列与函数

例1.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是(　　)

A.5 B.6 C.7 D.8

例2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1>0且＝，则当Sn取最大值时，n的值为(　　)

A.9 B.10 C.11 D.12

例3.已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(　　)

A.a1＋a101＞0 B.a2＋a100＜0 C.a3＋a99＝0 D.a51＝51

例4.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝24，则a6·a7的最大值为(　　)

A.36 B.6 C.4 D.2

例5.设{}是公差为d（）的无穷等差数列的前n项和，则下列命题错误的是（ ）

A.若d<0，则数列{}有最大项

B.若数列{}有最大项，则d<0

C.若数列{}为递增数列，则对任意，均有>0

D.若对任意，均有>0，则数列{}为递增数列

例6.设等差数列{an}满足a2＝7，a4＝3，Sn是数列{an}的前n项和，则使得Sn>0成立的最大的自然数n是(　　)

A．9 B．10 C．11 D．12

方法总结：求等差数列前n项和的最值，常用的方法：

(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；

(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；

(3)将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.

（完整版）等差数列性质