初中数学竞赛辅导资料

观察法

甲内容提要

数学题可以猜测它的结论（包括经验归纳法），但都要经过严谨的论证，才能确定是否正确.

观察是思维的起点，直觉是正确思维的基础.

观察法解题就是用清晰的概念，直觉的思维，根据题型的特点，得出题解或猜测其结论，再加以论证.

敏锐的洞察力来自对概念明晰的理解和熟练的掌握.

例如：用观察法写出方程的解，必须明确方程的解的定义，掌握方程的解与方程的系数这间的关系. 一元方程各系数的和等于零时，必有一个解是1；而奇次项系数的和等于偶次项系数的和时，则有一个根是－1；n次方程有n个根，这样才能判断是否已求出全部的根，当根的个数超过方程次数时，可判定它是恒等式.

对题型的特点的观察一般是注意已知数据，式子或图形的特征，分析题设与结论，已知与未知这间的联系，再联想学过的定理，公式，类比所做过的题型，试验以简单的特例推导一般的结论，并探求特殊的解法.

选择题和填空题可不写解题步骤，用观察法解答更能显出优势.

乙例题

例1. 解方程：x+=a+.

解：方程去分母后，是二次的整式方程，所以最多只有两个实数根.

根据方程解的定义，易知 x=a；或x=.

观察本题的特点是：左边x, 右边a.　（常数1相同）.

可推广到：若方程f(x)+（am≠0），　

则f(x)=a； 　f(x)=.

如：方程x2+, x2+3x－ (∵8=10－).

都可以用上述方法解.

例2. 分解因式 a3+b3+c3－3abc.

分析：观察题目的特点，它是a,　b,　c的齐三次对称式.

若有一次因式，最可能的是a+b+c；若有因式a+b－c,必有b+c－a, c+a－b；

若有因式a+b, 必有b+c, c+a； 若有因式b－c,必有c－a, a－b.

解：∵用a=－b－c 代入原式的值为零， ∴有因式a+b+c.

故可设　a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)[m(a2+b2+c2)+n(ab+bc+ca)].

比较左右两边a3的系数，得m=1, 　

比较abc的系数， 得 n=－1.

∴a3+b3+c3－3abc=(a+b+c) (a2+b2+c2－ab－bc－ca)

例3. 解方程.　

分析：观察题目的特点猜想用自身迭代验证：　x=.

解：∵x=， 可化为x－2－x－3=0,

∴ x=. 经检验是增根.　

∴原方程只有一个实数根x=.

例4. 求证：.

证明：把等式看作是关于x的二次方程，最多只有两个实数根；

但x=a, x=b, x=c，都能使等式成立，且知a≠b≠c，这样，方程 就有三个解；

∵方程的解的个数，超过了方程的次数.

∴原等式是恒等式. 证毕.

例5. 选择题 (只有一个正确的答案)

　 1. 四边形ABCD内接于圆，边长依次为25，39，52，60，那么这个圆的直径长等于（　　）

　 （A）66.　　（B）65.　　（C）63.　　（D）62.

2. 直角梯形ABCD的垂腰AB=7，两底AD=2，BC=3，如果边AB上的一点P，使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似. 这样的点P有几个？答：( )

(A) 1个. (B) 2个 . (C) 3个. (D) 4个.

解：1. 选 (B)； 　2. 选 ( C).

1. 观察数字的特征:

∵25∶60∶65=5∶12∶13 ； 39∶52∶65=3∶4∶5 都是勾股数.

∴直径等于65，故选( B )

2. 观察 相似比可以是或.　设AP为x, 则；或.

解得：x=2.8 ， x=1， 或 x=6 . 共有三解. 故选(C).

丙练习58

一. 填空题

1. 三角形的三边长分别为192，256，320.则最大角等于____度.

2. 化简 48(72+1)(74+1)(78+1)……(7+1)+1=______.

3. 方程x2－(4+)x+3+=0 的两个解是______.

4. 方程x3+2x2+3x+2=0的实数根是__________.

5. 方程的实数解是_______.

6. 若x,y为实数且x+y=a, xy=b,则x2+y2=_________.

7. 方程的解是__________.

8. 写出因式分解的结果：

①x3－7x2+36=______________.

②(a+b－c)3－(a3+b3+c3)=_______________.

9. 方程(a－x)3+(b－x)3=(a+b－2x)3的三个解是_____，_____，______..

10. 方程组 的实数解是：

11. 有一个五位正奇数x，将x的所有2都换成5，所有5都换成2，其他的数字不变，得到一个新五位数记作y，若x,y满足等式y=2(x+1),那么x是___________

(1987年全国初中数学联赛题 )

12. 　　　 如左图试问至少要用几种颜色，才能给图中的各边正常着色.

(正常着色是指使图中有公共顶点的相邻的边涂上

不同的颜色)

(1983年福建省初中数学竞赛题)

二. 选择题(只有一个正确的答案)

1. 四边形的边 a, b, c, d, 满足等式 a4+b4+c4+d4=4abcd,那么这个四边形一定是 ( )

(A) 矩形. (B) 菱形. (C) 等腰梯形. (D)不等边的四边形.

2. 当k>0时，函数y=kx+k与y=图象在同一直角坐标系内是( )

3.实数a和b，ab<0, a+b<0, a－b<0,则a, b的大体位置是( 　 )

4. a=1+, b=1+, a, b都不等于0，那么 b= ( ).

(A) a. (B) –a.　　 (C) a－1. 　 (D) 1－a.

5.　a,b,c中至少有一个是零，可表示为( )

(A) a+b+c≠0 (B) abc≠0. (C) a2+b2+c2≠0. (D) ab+ca+bc≠0.

三. 解方程：

1.x2+2x+；

2.；

3..

四. 求证：.

五. 已知：x4+x3+x2+x+1=0.　　求：x1989+x1988+x1987+x1986的值.

练习58

一.1.　90　　　2.　7　　3.　1，3＋　　　　4.　－1　5.　－2

6. a2－2b,当a2－2b＜0时无解　　　7.　2，－2　　　　8.②3（a+b）(b+c)(c+a)

9. a,b, 　　　　　　 10. x=y=z=w=±

二.①B　②C　③C　④A　⑤C

三.①　－3，1，　　②－，－1，－5　　③2（增根－1）

四.（仿例4）

五.已知两边乘以x-1得x5=1,　 原式=x1985(x4+x3+x2+x)=1×(-1)=-1

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