2018年浙江专升本高数考试真题及答案
发布时间:2020-06-11 08:56:55
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2018年浙江专升本高数考试真题及答案
1、选择题:本大题共5小题,每小题4分,共20分。
1、设,则在内( C )
A、有可去间断点 B、连续点 C、有跳跃间断点 D、有第二间断点
解析:
,但是又存在,是跳跃间断点
2、当时,是的( D )无穷小
A、低阶 B、等阶 C、同阶 D、高阶
解析:高阶无穷小
3、设二阶可导,在处,,则在处( B )
A、取得极小值 B、取得极大值 C、不是极值 D、是拐点
解析:,则其,
为驻点,又是极大值点。
4、已知在上连续,则下列说法不正确的是( B )
A、已知,则在上,
B、,其中
C、,则内有使得
D、在上有最大值和最小值,则
解析:A.由定积分几何意义可知,,为在上与轴围成的面积,该面积为0,事实上若满足
B.
C. 有零点定理知结论正确
D. 由积分估值定理可知,,,
则
5、下列级数绝对收敛的是( C )
A、 B、 C、 D、
解析:A.,由发散发散
B. ,由发散发散
C. ,而=1,由收敛收敛收敛
D. 发散
2、填空题
6、
解析:
7、,则
解析:
8、若常数使得,则
解析:
所以根据洛必达法则可知:
9、设,则
解析:,
10、是所确定的隐函数,则
解析:方程两边同时求导,得:,,
方程同时求导,得:,将带入,
则得,,
11、求的单增区间是
解析:
令,则,
12、求已知,则
解析:
13、
解析:
14、由:围成的图形面积为
解析:
15、常系数齐次线性微分方程的通解为(为任意常数)
解析:特征方程:,特征根:
通解为(为任意常数)
三、计算题 (本大题共8小题,其中16-19小题每小题7分,20-23小题每小题8分,共60分)
16、求
解析:
17、设,求在处的微分
解析:
将代入上式,得微分
18、求
解析:
19、求
解析:,
20、
解析:为奇函数,
21、已知在处可导,求
解析:
22、求过点且平行于又与直线相交的直线方程。
直线过点,因为直线平行于平面,所以,,
设两条直线的交点,所以,
所以,,,所以,
所以直线方程为。
23、讨论极值和拐点
解析:
(1)的极值
令,则
列表如下:
1 | 3 | ||||
+ | 0 | - | 0 | + | |
极大值 | 极小值 | ||||
所以极大值为,极小值
(2)的拐点
令 则
列表如下:
2 | |||
- | 0 | + | |
凸 | 拐点 | 凹 | |
拐点为。
4、综合题(本大题共3大题,每小题10分,共30分)
24、利用,
(1)将函数展开成的幂级数
(2)将函数展开成的幂级数
解析:(1)令,,当时,
当时,级数发散;当时,级数收敛,故收敛域为。
(2)
其中,。
25、在上导函数连续,,已知曲线与直线及=1()及轴所围成的去边梯形绕轴所围成的旋转体体积是该曲边梯形的倍,求
解析:,
由题意知,,求导得,得
再求导,得
即,则,,,
,,,,
由,带入得,故曲线方程为。
26、在连续且和的直线与曲线交于,证明:
(1)存在
(2)在存在
解析:
解法一:
(1)过的直线方程可设为:
所以可构造函数:
所以
又因为在连续可导的,则在连续可导,
所以根据罗尔定理可得存在,
使。
(2)由(1)知,又二阶可导,存在且连续,故由罗尔定理可知,
,使得。
解法二:
(1)考虑在及上的格拉朗日中值定理有:
,,有,,
由于共线,
则有的斜率与的斜率相等,
于是有
(2)与解法一(2)做法一致。