度量空间(距离空间)

发布时间：2023-03-15 13:58:34

《度量空间》读书笔记
金融数学10本黄小听17号

关键词：度量空间距离连续映射可分性列紧性完备性完备化

在数学分析中，当实数集R中点列{xn}的极限为x时，用|xnx|来表示xn与x的接近程度。实际上，|xnx|可表示为数轴上xn与x这两点间的距离。那么R中点列{xn}收敛于x也就是指xn与x之间的距离随着n而趋于0，即limd(xn,x0。
n于是设想在一般的点集X中如果也有“距离”，则在点集X中也可借这一距离来定义极限，那么究竟什么是距离呢？

一度量空间的定义
定义1.1设X是一个非空集合，若存在映射d:XXR，使得x,y,zX，均满足以下三个条件：
(1d(x,y0，且d(x,y0当且仅当xy（非负性）；(2d(x,yd(y,x（对称性）；
(3d(x,zd(x,yd(y,z（三角不等式），
则称d为X上的一个度量函数（或距离函数），(X,d为度量空间（或距离空间），简记为X。
注：若X为度量空间，Y是X的一个非空子集，则Y也是一个度量空间，称Y为X的子空间。
例1-1n维欧氏空间Rn。
解析：n维欧氏空间Rn，Rn表示n维向量x(x1,x2,,xn。
对于Rn中任意两点x(x1,x2,,xn，y(y1,y2,,yn，定义：d(x,y[|xiyi|]2i1n12易证d(x,y）满足距离的条件，且其中的三角不等式为：

[|xizi|]2i1n12[|xiyi|][|yizi|]
22i1i1n12n12因此，(Rn,d是度量空间，其中d称为欧几里得距离。
实际上，度量空间是n维欧氏空间Rn的推广，度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。[2]除了欧氏空间，序列空间S，有界函数空间B(A，可测函数空间M(X，连续函数空间C[a,b]，有界数列空间l，p次幂可和的数列空间lp，p次幂可积函数空间等，也都是度量空间。

二度量空间的重要定理
定理2.1对度量空间(X,d，有
（1）任意个开集的并集是开集，有限个开集的交集是开集；（2）任意个闭集的交集是闭集，有限个闭集的并集是闭集；（3）X与既是开集又是闭集。
注：任意多个开集的交不一定是开集，比如：
11An(2,3，n1,2,...，An[2,3]是闭集；
n2nn1任意多个闭集的并不一定是闭集，比如：
11F[,1],n3,4,...n，Fn(0,1是开集。
nnn3x0E,EX，定理2.2设(X,d是度量空间，则以下三个陈述是等价的：（1）x0E；
（2）x0的任一邻域内都有属于E而异于x0的点；
（3）存在点列xnE(xnx0，使d(xn,x00(n。

三度量空间上的连续映射
把数学分析中连续函数的概念推广到度量空间，可得度量空间上的连续映射。
定义3.1设X,Y都是度量空间，f:XY,x0X。如果对0，0，当d(x,x0时，有d(fx,fx0，则称f在x0连续。又若f在X中

度量空间(距离空间)

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