天天练5含答案
发布时间:2018-01-18 16:03:54
发布时间:2018-01-18 16:03:54
天天练5(文)
1.已知两条直线l1:(a-1)x+2y+1=0,l2:x+ay+3=0平行,则a=( )
A.-1 B.2 C.0或-2 D.-1或2
解析 若a=0,两直线方程分别为-x+2y+1=0和x=-3,此时两直线相交,不平行,所以a≠0;当a≠0时,若两直线平行,则有=≠,解得a=-1或2.
2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B,若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|,则椭圆C的离心率e=( )
A. B. C. D.
解析 设椭圆C的焦距为2c(c<a),由于直线AB的方程为bx+ay-ab=0,
∴=c,∵b2=a2-c2,∴3a4-7a2c2+2c4=0,
解得a2=2c2或3a2=c2(舍去),∴e=.
3.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为________.
解析 设P(x0,y0),则|PF|=x0+=4,
∴x0=3,
∴y=4x0=4×3=24,∴|y0|=2.
由y2=4x,知焦点F(,0),
∴S△POF=|OF|·|y0|=××2=2.
4.已知矩形ABCD的对角线交于点P(2,0),边AB所在直线的方程为x-3y-6=0,点(-1,1)在边AD所在的直线上.
(1)求矩形ABCD的外接圆的方程;
(2)已知直线l:(1-2k)x+(1+k)y-5+4k=0(k∈R),求证:直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交,并求出相交的弦长最短时的直线l的方程.
(1)解 ∵lAB:x-3y-6=0且AD⊥AB,
点(-1,1)在边AD所在的直线上,∴AD所在直线的方程是y-1=-3(x+1),
即3x+y+2=0.由得A(0,-2).
∴|AP|==2,∴矩形ABCD的外接圆的方程是(x-2)2+y2=8.
(2)证明 直线l的方程可化为k(-2x+y+4)+x+y-5=0,
l可看作是过直线-2x+y+4=0和x+y-5=0的交点(3,2)的直线系,
即l恒过定点Q(3,2),由(3-2)2+22=5<8知点Q在圆P内,
所以l与圆P恒相交.设l与圆P的交点为M,N,
则|MN|=2 (d为P到l的距离),
设PQ与l的夹角为θ,则d=|PQ|·sin θ=sin θ,
当θ=90°时,d最大,|MN|最短.
此时l的斜率为PQ的斜率的负倒数,即-,
故l的方程为y-2=-(x-3),x+2y-7=0.