直线与圆、圆与圆的位置关系

1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法

(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．

d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．

(2)代数法：

[知识拓展]

圆的切线方程常用结论

(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.

(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.

2．圆与圆的位置关系

设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r (r1>0)，

圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r (r2>0).

[知识拓展]

常用结论

(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．

(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(　×　)

(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　×　)

(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　×　)

(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　×　)

(5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(　√　)

(6)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(　√　)

1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是(　　)

A．相切 B．相交但直线不过圆心

C．相交过圆心 D．相离

答案　B

2．(2013·安徽)直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　)

A．1 B．2 C．4 D．4

答案　C

3．两圆交于点A(1,3)和B(m,1)，两圆的圆心都在直线x－y＋＝0上，则m＋c的值等于________．

答案　3

4．(2014·重庆)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．

答案　0或6

题型一　直线与圆的位置关系

例1　已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.

(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；

(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．

思维点拨　直线与圆的交点个数即为直线方程与圆方程联立而成的方程组解的个数；最短弦长可用代数法或几何法判定．

　(1)若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b)(　　)

A．在圆上 B．在圆外

C．在圆内 D．以上都有可能

(2)(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为______．

答案　(1)B　(2)

题型二　圆的切线问题

例2　(1)过点P(2,4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为__________；

(2)已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．

①与直线l1：x＋y－4＝0平行；

②与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；

③过切点A(4，－1)．

(1)答案　x＝2或4x－3y＋4＝0

　(2013·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．

(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．

题型三　圆与圆的位置关系

例3　(1)已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是________________________．

(2)两圆x2＋y2－6x＋6y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切线的条数是________．

(3)已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，若由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．

答案　(1)x－2y＋4＝0　(2)2　(3)x＝

　(1)圆C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－2x－6＝0的位置关系为(　　)

A．外离 B．外切

C．相交 D．内切

(2)设M＝{(x，y)|y＝，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－)2＝a2，a>0}，且M∩N≠∅，求a的最大值和最小值．

(1)答案　D (2)故a的取值范围是[2－2,2＋2]，a的最大值为2＋2，最小值为2－2.

高考中与圆交汇问题的求解

一、与圆有关的最值问题

典例：(1)(2014·江西)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　)

A.π B.π

C．(6－2)π D.π

(2)(2014·北京)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m，0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)

A．7 B．6 C．5 D．4

答案　(1)A　(2)B

二、圆与不等式的交汇问题

典例：(3)设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是(　　)

A．[1－，1＋]

B．(－∞，1－]∪[1＋，＋∞)

C．[2－2，2＋2]

D．(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞)

(4)(2014·安徽)过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

答案　(3)D　(4)D

A组　专项基础训练

(时间：45分钟)

1．(2014·湖南)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于(　　)

A．21 B．19 C．9 D．－11

答案　C

2．(2013·福建)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　)

A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0

C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0

答案　D

3．若圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0 (b∈R)内切，则ab的最大值为(　　)

A. B．2 C．4 D．2

答案　B

4．(2013·山东)过点P(3,1)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　)

A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0

C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0

答案　A

5．已知直线y＝kx＋b与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，当b＝时，·等于(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

答案　A

6．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是______________．

答案　1－2≤b≤3

7．(2014·上海)已知曲线C：x＝－，直线l：x＝6，若对于点A(m,0)，存在C上的点P和l上的Q使得＋＝0，则m的取值范围为________．

答案　[2,3]

8．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0 (a>0)的公共弦长为2，则a＝________.

答案　1

9．已知以点C(t，)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．

(1)求证：△OAB的面积为定值；

(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．

(1)∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝×||×|2t|＝4，

即△OAB的面积为定值．

(2)∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.

10．已知矩形ABCD的对角线交于点P(2,0)，边AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，点(－1,1)在边AD所在的直线上．

(1)求矩形ABCD的外接圆的方程；

(2)已知直线l：(1－2k)x＋(1＋k)y－5＋4k＝0(k∈R)，求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．

解　(1)矩形ABCD的外接圆的方程是(x－2)2＋y2＝8.

(2)故l的方程为y－2＝－(x－3)，即x＋2y－7＝0.

B组　专项能力提升

(时间：25分钟)

11．若直线l：y＝kx＋1 (k<0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是(　　)

A．相交 B．相切

C．相离 D．不确定

答案　A

12．设曲线C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

答案　B

13．(2013·江西)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于(　　)

A. B．－ C．± D．－

答案　B

14．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．

答案　

15．(2014·重庆)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.

答案　4±

16．已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a)．

(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；

(2)若a＝，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求|AC|＋|BD|的最大值．

解　(1)所以所求的切线方程为x＋y－4＝0或x－y－4＝0.

(2)即|AC|＋|BD|的最大值为2.

本节课的收获：

作业：

直线与圆的位置关系