极值点偏移问题的不等式解法

我们熟知平均值不等式：

即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”

等号成立的条件是.

我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：

那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式

，

以下简单给出证明：

不妨设，设，则原不等式变为：

以下只要证明上述函数不等式即可.

以下我们来看看对数不等式的作用.

题目1：（2015长春四模题）已知函数有两个零点，则下列说法错误的是

A. B. C. D.有极小值点，且

【答案】C

【解析】函数导函数：

有极值点，而极值，，A正确.

有两个零点：，，即：

-得：

根据对数平均值不等式：

，而， B正确，C错误

而+得：，即D成立.

题目2：（2011辽宁理）已知函数.

若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：

【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：

设，，，则，

-得：，化简得：

而根据对数平均值不等式：

等式代换到上述不等式

根据：（由得出）∴式变为：

∵，∴，∴在函数单减区间中，即：

题目3：(2010天津理)已知函数.如果，且.

证明：.

【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：

设，则，，两边取对数

-得：

根据对数平均值不等式

题目4：（2014江苏南通市二模）设函数，其图象与轴交于两点，且.

证明：（为函数的导函数）.

【解析】根据题意：，移项取对数得：

-得：，即：

根据对数平均值不等式：

， +得：

根据均值不等式：

∵函数在单调递减

∴

题目5：已知函数与直线交于两点.

求证：

【解析】由，，可得：

，

-得：

+得：

根据对数平均值不等式

利用式可得：

由题于与交于不同两点，易得出则

∴上式简化为:

∴

即调和平均数小于等于几何平均数小于等于算术平