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2020年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）

理科数学

注意事项：

1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.

2.考生领到试卷后,须按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.

3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（共50分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求（本大题共10小题,每小题5分,共50分）.

1.集合,,则 (　　)

A. B. C. D.

2.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 (　　)

A. B. C. D.

3.设,是虚数单位,则“”是“复数为纯虚数”的 (　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知圆：,是过点的直线,则 (　　)

A.与相交 B.与相切

C.与相离 D.以上三个选项均有可能

5.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱,,则直线与

直线夹角的余弦值为 (　　)

A. B.

C. D.

6.从甲乙两个城市分别随机抽取16 台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎

叶图表示（如图所示）.设甲乙两组数据的平均数分别为,,中位数分别为,

,则 (　　)

A.,

B.,

C.,

D.,

7.设函数,则(　　)

A.为的极大值点

B.为的极小值点

C.为的极大值点

D.为的极小值点

8.两人进行乒乓球比赛,先赢3 局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形（各人

输赢局次的不同视为不同情形）共有 (　　)

A.10 种 B.15 种 C.20 种 D.30 种

9.在△中,角,,所对边的长分别为,,,若,则的最

小值为 (　　)

A. B. C. D.

10.右图是用模拟方法估计圆周率值的程序框图,P表示估计结果,则图中空白框内应填入 (　　)

A.

B.

C.

D.

第二部分（共100分）

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题,每小题5分,共25分）.

11.观察下列不等式

……

照此规律,第五个不等式为　　　　.

12.展开式中的系数为10,则实数的值为　　　　.

13.右图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2 米,水面宽4 米.水位下降1 米后,水面宽　　　　米.

14.设函数是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域,则在上的最大值为　　　　.

15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分）

A.（不等式选做题）若存在实数使成立,则实数的取值范围

是　　　　.

B.（几何证明选做题）如图,在圆中,直径与弦垂直,

垂足为,,垂足为,若,,则

　　　　.

C.（坐标系与参数方程选做题）直线与圆

相交的弦长

为　　　　.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题,共75分）.

16.（本小题满分12分）

函数的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之

间的距离为.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）设,,求的值.

17.（本小题满分12分）

设是公比不为1的等比数列,其前项和为,且成等差数列.

（Ⅰ）求数列的公比；

（Ⅱ）证明：对任意,成等差数列.

18.（本小题满分12分）

（Ⅰ）如图,证明命题“是平面内的一条直线,

是外的一条直线（不垂直于）,是直线

在上的投影,若,则”为真；

（Ⅱ）写出上述命题的逆命题,并判断其真假（不

需证明）.

19.（本小题满分12分）

已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设为坐标原点,点,分别在椭圆和上,,求直线

的方程.

20.（本小题满分13分）

某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间相互独立,且都是整

数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：

从第一个顾客办理业务时计时.

（Ⅰ）估计第三个顾客恰好等待4 分钟开始办理业务的概率；

（Ⅱ）表示至第2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求的分布列及数学期望.

21.（本小题满分14分）

设函数.

（Ⅰ）设,证明：在区间内存在唯一零点；

（Ⅱ）设,若对任意,有,求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下,设是在（,1）内的零点,判断数列

的增减性.

2020年高考数学理科陕西卷