神奇的数学折纸（2）：正十二面体着色，从头再来(常文武)

作者简介：常文武 复旦大学数学博士，上海市普陀区现代教育技术中心跨学科高级教师，全国首批英特尔未来教育骨干教师。多次参加亚洲数学技术大会（ATCM）并出访美国、欧洲等地。2013年起潜心研究折纸在数学中的应用，连续在《科学》等杂志上发表10多篇论文，两度参加上海科学艺术展。2014、2015年连续两年受澳门中华教育会邀请向澳门数学教师传授折纸，2014年出版《动手动脑 玩转数学》一书。 前文《神奇的数学折纸：正十二面体，从制作到理解(常文武) 》谈及正十二面体的制作和四种着色方案。现在进一步研究着色方案的完备性。我们将证明这些着色方案已经无一遗漏了。 对正十二面体有了一定的具象经验，我们就可以抽象一点来看这个问题。图1是一个平面化的正十二面体。想象一个用橡皮绳拉出的正十二面体笼状结构，图1中五边形外轮廓正是其中一个撑开的正五边形洞。换个说法，将笼子的一个五边形洞拉大到可以摊平到桌面的地步，正十二面体就平面化了。那就要记住这个最大的正五边形轮廓也代表一个面。

给定四种颜色，如何用它们来给这个五边形网的每一个洞眼着色呢？

我们制定一个“先两头再中间”的顺序：也就是先把最里面的以及最外面的两个洞眼涂色（这两块在原立体结构中位于平行相对的位置，下文称为打对），接着涂靠近中心的一圈五个洞眼，最后处理剩下的五个洞眼。 图2显示我们给中心涂色为红色，轮廓（代表相对的被拉大的洞眼）涂色为蓝色。这只是一种着色方案，您也可以根据喜好换任何的两种不同颜色。但是注意，这两个打对的洞眼必须是不同色的！

为何它们必须不同颜色呢？且听我细细道来。

如果我们把同色(比如蓝色)赋给两头的洞眼，那么因为其余10个网眼要么与中心网眼相邻，要么与外轮廓代表的洞眼相邻，它们就都不可再用蓝色了。所以，涂其它10个面只能靠3种颜色了。这显然导致有一色要用4次或更多次。可是每个圈上最多只能放两个同色块(否则在该圈内同色相邻)，于是4个同色块必须按“2-2”格局分属两个圈。即便如此仍不可避免带来问题。因为内圈两个隔开的同色色块会排除了外圈四个区块不得取该色，这就使2-2分配格局不可能实现了,见图3。 以上论证过程不但确立了“打对不同色，同色不打对”的原则，而且还可得到一个推论：任何颜色不用四次。

这是因为，如果某一色使用达到4次，第一次用该色块就排除了与它相邻的5块。考虑到同色不打对，仅剩外圈的5个位置。该圈里要放3个同色块是不可能不撞色的。至此，我们事实上还得出要给十二面体用4色涂色，每色必须各用3次。

现在回到图2的着色设定继续分析下去。容易看出2个蓝色块必须放在第一圈，否则同色毗邻（图4）。5个位置选择哪两个并无区别，只要旋转就可以统一为图4的样子。 内圈还有3块区域，只能用有别于红蓝的其它2色（这里用黄绿二色）来涂了。记这二色为A色和B色。显然，毗邻的两个区域有AB或BA两种排列方案，孤立的一个区域也有A或B两色可选。用乘法原理就可以得出内圈的着色方案有图5中所列4种。 内圈涂好色后，我们发现外圈中有一块（图6中正上方一块红色）是可确定下来的。然后紧接着剩下的4块也被唯一确定了的。至此所有的4种可能方案已经产生了： 为何是所有呢？难道中心块和轮廓的不同颜色组合不导致新的方案吗？

观察图6这四种方案发现，各方案中打对的面都正好遍历红-蓝；红-绿；红-黄；蓝-绿；蓝-黄；绿-黄这6种情况。这现象不因改变“红内蓝外”的开局而改变。换句话说，就算是换了别的开局组合，也会出现全部六种异色打对组合。好比一个轮换对称多项式 ab+ac+ad+bc+bd+cd中a,b,c,d无论怎么对调变换仍然总体不变。

所以我们就得到结论，任何一个完美的着色方案其上必有一对红-蓝打对的情况发生。让其蓝色的块当拉开的洞，就可以回到我们开头的开局讨论了。

神奇的数学折纸(2)：正十二面体着色从头再来（常文武）